Chương 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

Bài này biểu diễn ngược hơi mệt xíu, cộng trừ mấy lần mới ra:

Gọi O là tâm đáy thì \(\overrightarrow{SO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SD}\) (1)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\) (2)

Bây giờ tìm cách đưa \(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC};\overrightarrow{SD}\) biểu diễn qua \(\overrightarrow{SM};\overrightarrow{SN};\overrightarrow{SG}\) là được

Với \(\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SD}\) đơn giản: \(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}=3\overrightarrow{SG}\)

\(\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{SM}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SN}\)

Đặt \(\overrightarrow{SC}=x.\overrightarrow{SH}\)

Thế vào (2):

\(\Rightarrow\overrightarrow{SM}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SN}+x.\overrightarrow{SH}=3\overrightarrow{SG}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SM}=\dfrac{9}{2}\overrightarrow{SG}-\overrightarrow{SN}-x.\overrightarrow{SH}\)

Vẫn dùng kĩ thuật cũ:

\(\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SD}-2\overrightarrow{BS}-2\overrightarrow{SC}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SB}-2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\) (1)

Đặt \(\overrightarrow{SC}=x.\overrightarrow{SN}\)

Giả thiết suy ra \(\overrightarrow{SD}=3\overrightarrow{SM}\)

Thế vào (1): \(\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SB}-2x.\overrightarrow{SN}+3\overrightarrow{SM}\)

Do A, B, N, M đồng phẳng

\(\Rightarrow2-2x+3=1\)

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow SC=2SN\Rightarrow SN=\dfrac{1}{2}SC\)

Do I là trọng tâm \(\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AI}\) (1)

Đặt \(\overrightarrow{AI}=x.\overrightarrow{AS}\) (2)

Từ giả thiết:

\(AM=2MB\Rightarrow\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM}\) (3)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\) (4)

\(\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AP}\) (5)

Thế (2);(3);(4);(5) vào (1):

\(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AP}=3x.\overrightarrow{AS}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AS}=\dfrac{1}{2x}\overrightarrow{AM}+\dfrac{2}{3x}\overrightarrow{AN}+\dfrac{4}{15x}\overrightarrow{AP}\)

Theo định lý về đồng phẳng, do S, M, N, P đồng thẳng nên:

\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{3x}+\dfrac{4}{15x}=1\) \(\Rightarrow x=\dfrac{43}{30}\)

Ủa có nhầm gì ko mà số xấu ta

Định lý về đồng phẳng đã nói ở đây, phần này rất hay sử dụng trong toán tỉ lệ không gian nên em nhớ là tốt nhất:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightar... - Hoc24

MN song song BD (đường trung bình)

Do đó qua P kẻ đường thẳng song song BD kéo dài cắt AB tại E

=>DPEB là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

=>EB=DP=AB/2

EA=AB+EB=3AB/2

Chà, bài này dựng xong hình là xong thôi (tính toán đơn giản bằng Talet)

Đầu tiên là dựng mp qua M và song song (SBD): qua M kẻ các đường thẳng song song SB, SD lần lượt cắt AB, AD tại E và F

Nối EF kéo dài cắt BC tại I và CD tại G

Qua G kẻ đường thẳng song song MF (hoặc SD) cắt MI kéo dài tại J

Talet cho ta: \(\dfrac{MI}{MJ}=\dfrac{IF}{GF}\)

Mà \(\dfrac{GF}{GI}=\dfrac{DF}{BI}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD}{BC+\dfrac{1}{2}BC}=...\)

Vậy là xong

Bài này ko hề khó, đầu tiên ta dễ dàng xác định được thiết diện đi qua P theo Talet.

Gọi giao của thiết diện với BC, SD lần lượt là E, F

Để \(PJ||\left(SAD\right)\Rightarrow PJ||ME\Rightarrow PJME\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)

\(\Rightarrow PF=MJ\)

Đến đây sử dụng tỉ lệ tam giác đồng dạng là ra x

Câu b thì từ P kẻ vuông xuống ME và S vuông xuống AB, 2 đường cao này song song theo tỉ lệ tương ứng CP/CS (Talet). Vậy là ra tỉ lệ diện tích

c.

Từ M kẻ \(MH\perp SC\) (H thuộc SC)

\(\Rightarrow H\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\) thiết diện là tam giác BMH

Do \(\left\{{}\begin{matrix}BM\perp\left(SAC\right)\\MH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM\perp MH\Rightarrow\Delta BMH\) vuông tại M

Trong tam giác vuông ABC: \(BM=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Hai tam giác vuông CHM và CAS đồng dạng (chung góc C)

\(\Rightarrow\dfrac{MH}{SA}=\dfrac{CM}{SC}\Rightarrow MH=\dfrac{SA.CM}{SC}=\dfrac{SA.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\Rightarrow S_{BMH}=\dfrac{1}{2}BM.MH=\dfrac{a^2\sqrt{5}}{10}\)

Bài này ứng dụng 1 phần cách giải của bài này:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử mp (a) cắt SA; SB;SC; SD thứ tự tại A' B' C' D'. Tính \(\dfra... - Hoc24

Gọi O' là giao điểm của SO và MP, tương tự như bài trên, ta có 3 đường thẳng SO, MP, NQ đồng quy tại O'

Đồng thời sử dụng diện tích tam giác, ta cũng chứng minh được:

\(3=\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{2SO}{SO'}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\)

Áp dụng BĐT Cô-si: \(3=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\ge2\sqrt{\dfrac{SB.SD}{SN.SQ}}\Rightarrow SN.SQ\ge\dfrac{4}{9}.SB.SD\)

Theo bổ đề về diện tích tam giác chứng minh ở đầu:

\(\dfrac{S_{SNQ}}{S_{SBD}}=\dfrac{SN.SQ}{SB.SD}\ge\dfrac{\dfrac{4}{9}SB.SD}{SB.SD}=\dfrac{4}{9}\)

\(\Rightarrow S_{SBD}\ge\dfrac{4}{9}.S_{SBD}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{9}\)