Bài này biểu diễn ngược hơi mệt xíu, cộng trừ mấy lần mới ra:
Gọi O là tâm đáy thì \(\overrightarrow{SO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SD}\) (1)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\) (2)
Bây giờ tìm cách đưa \(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SC};\overrightarrow{SD}\) biểu diễn qua \(\overrightarrow{SM};\overrightarrow{SN};\overrightarrow{SG}\) là được
Với \(\overrightarrow{SB};\overrightarrow{SD}\) đơn giản: \(\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}=3\overrightarrow{SG}\)
\(\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{SN}=\overrightarrow{SM}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SN}\)
Đặt \(\overrightarrow{SC}=x.\overrightarrow{SH}\)
Thế vào (2):
\(\Rightarrow\overrightarrow{SM}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SN}+x.\overrightarrow{SH}=3\overrightarrow{SG}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SM}=\dfrac{9}{2}\overrightarrow{SG}-\overrightarrow{SN}-x.\overrightarrow{SH}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AD//BC và AD = 2BC. Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM = 1/3SD. Mặt phẳng (ABM) cắt cạnh SC tại N. Tính SN/ SC
Vẫn dùng kĩ thuật cũ:
\(\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SD}-2\overrightarrow{BS}-2\overrightarrow{SC}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SB}-2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\) (1)
Đặt \(\overrightarrow{SC}=x.\overrightarrow{SN}\)
Giả thiết suy ra \(\overrightarrow{SD}=3\overrightarrow{SM}\)
Thế vào (1): \(\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SB}-2x.\overrightarrow{SN}+3\overrightarrow{SM}\)
Do A, B, N, M đồng phẳng
\(\Rightarrow2-2x+3=1\)
\(\Rightarrow x=2\Rightarrow SC=2SN\Rightarrow SN=\dfrac{1}{2}SC\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho AM = 2MB, AN = NC và AP = 3PD. Gọi I là trọng tâm tam giác BCD và S là giao điểm của (MNP) và đường thẳng AI. Tính \(\dfrac{AI}{AS}\)
Do I là trọng tâm \(\Rightarrow\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AI}\) (1)
Đặt \(\overrightarrow{AI}=x.\overrightarrow{AS}\) (2)
Từ giả thiết:
\(AM=2MB\Rightarrow\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM}\) (3)
\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AC}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}\) (4)
\(\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AP}\) (5)
Thế (2);(3);(4);(5) vào (1):
\(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AP}=3x.\overrightarrow{AS}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AS}=\dfrac{1}{2x}\overrightarrow{AM}+\dfrac{2}{3x}\overrightarrow{AN}+\dfrac{4}{15x}\overrightarrow{AP}\)
Theo định lý về đồng phẳng, do S, M, N, P đồng thẳng nên:
\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{2}{3x}+\dfrac{4}{15x}=1\) \(\Rightarrow x=\dfrac{43}{30}\)
Ủa có nhầm gì ko mà số xấu ta
Định lý về đồng phẳng đã nói ở đây, phần này rất hay sử dụng trong toán tỉ lệ không gian nên em nhớ là tốt nhất:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD, CD. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (MNP) tại E. Tính tỉ số EB/ EA
MN song song BD (đường trung bình)
Do đó qua P kẻ đường thẳng song song BD kéo dài cắt AB tại E
=>DPEB là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)
=>EB=DP=AB/2
EA=AB+EB=3AB/2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA và \(\Delta\) là đường thẳng qua M song song với mặt phẳng (SBD) và cắt BC. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta\) với BC và mặt phẳng (SCD). Tính tỉ số MI/MJ
Chà, bài này dựng xong hình là xong thôi (tính toán đơn giản bằng Talet)
Đầu tiên là dựng mp qua M và song song (SBD): qua M kẻ các đường thẳng song song SB, SD lần lượt cắt AB, AD tại E và F
Nối EF kéo dài cắt BC tại I và CD tại G
Qua G kẻ đường thẳng song song MF (hoặc SD) cắt MI kéo dài tại J
Talet cho ta: \(\dfrac{MI}{MJ}=\dfrac{IF}{GF}\)
Mà \(\dfrac{GF}{GI}=\dfrac{DF}{BI}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AD}{BC+\dfrac{1}{2}BC}=...\)
Vậy là xong
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành, M và P là hai điểm lần lượt di động trên AD và SC sao cho: MA/MD = PS/PC = x (x>0). Mặt phẳng (a) đi qua M và song song với (SAB) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện và cắt BD tại J.
a) Xác định x để PJ // (SAD)
b) Tính x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích tam giác SAB (k là số thực dương cho trước, \(k\le1\))
Bài này ko hề khó, đầu tiên ta dễ dàng xác định được thiết diện đi qua P theo Talet.
Gọi giao của thiết diện với BC, SD lần lượt là E, F
Để \(PJ||\left(SAD\right)\Rightarrow PJ||ME\Rightarrow PJME\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)
\(\Rightarrow PF=MJ\)
Đến đây sử dụng tỉ lệ tam giác đồng dạng là ra x
Câu b thì từ P kẻ vuông xuống ME và S vuông xuống AB, 2 đường cao này song song theo tỉ lệ tương ứng CP/CS (Talet). Vậy là ra tỉ lệ diện tích
cho hình chóp SABC đáy là tam giác vuông cân tại B, AC=2a, SA vuông góc với đáy, SA=a, M là trung điểm của AC
a.cm BM vuông góc (SAC)
b.cm SBC là tam giác vuông
c. gọi (\(\alpha\)) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. xác định thiết diện và tính diện tích
c.
Từ M kẻ \(MH\perp SC\) (H thuộc SC)
\(\Rightarrow H\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\) thiết diện là tam giác BMH
Do \(\left\{{}\begin{matrix}BM\perp\left(SAC\right)\\MH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM\perp MH\Rightarrow\Delta BMH\) vuông tại M
Trong tam giác vuông ABC: \(BM=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Hai tam giác vuông CHM và CAS đồng dạng (chung góc C)
\(\Rightarrow\dfrac{MH}{SA}=\dfrac{CM}{SC}\Rightarrow MH=\dfrac{SA.CM}{SC}=\dfrac{SA.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
\(\Rightarrow S_{BMH}=\dfrac{1}{2}BM.MH=\dfrac{a^2\sqrt{5}}{10}\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, tâm O, SA = SB = 4a. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, (α) là mặt phẳng qua G và song song với (SAD). Tính diện tích thiết diện của (α) và hình chóp.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, tam giác SBD đều cạnh a. Gọi M, P là hai điểm lần lượt di động trên cạnh SA, SC (không trùng với S) sao cho SA/SM + SC/ SP = 3, (a) là mặt phẳng di động chứa M, P cắt SB, SD lần lượt tại N, Q. Diện tích tam giác SNQ đạt giá trị nhỏ nhất là
Bài này ứng dụng 1 phần cách giải của bài này:
Gọi O' là giao điểm của SO và MP, tương tự như bài trên, ta có 3 đường thẳng SO, MP, NQ đồng quy tại O'
Đồng thời sử dụng diện tích tam giác, ta cũng chứng minh được:
\(3=\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{2SO}{SO'}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\)
Áp dụng BĐT Cô-si: \(3=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\ge2\sqrt{\dfrac{SB.SD}{SN.SQ}}\Rightarrow SN.SQ\ge\dfrac{4}{9}.SB.SD\)
Theo bổ đề về diện tích tam giác chứng minh ở đầu:
\(\dfrac{S_{SNQ}}{S_{SBD}}=\dfrac{SN.SQ}{SB.SD}\ge\dfrac{\dfrac{4}{9}SB.SD}{SB.SD}=\dfrac{4}{9}\)
\(\Rightarrow S_{SBD}\ge\dfrac{4}{9}.S_{SBD}=\dfrac{4}{9}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{9}\)