Bài 2: Đồ thị hàm số y = ax^2 (a khác 0)

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2-x-m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+m=0\)

\(\text{Δ}=1-4m\)

Để (P) và (d) tiếp xúc thì 1-4m=0

hay m=1/4

Khi m=1/4 thì \(y=x+\dfrac{1}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2+x+\dfrac{1}{4}=0\)

=>(x+1/2)²=0

=>x=-1/2

Khi x=-1/2 thì \(y=-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{4}\)

Lời giải:

Điểm $A$ có \(x_A=4; A\in (y=\frac{1}{4}x^2)\Rightarrow y_A=\frac{1}{4}x_A^2=4\)

Vậy điểm $A$ có tọa độ \((4,4)\)

Để đường thẳng $(d)$: \(y=x-m\) đi qua $A$ thì:

\(y_A=x_A-m\Leftrightarrow 4=4-m\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\)

Lời giải:

Từ \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)

\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)

Cộng các BĐT vừa thu được ở trên theo vế và rút gọn:

\(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}+\frac{36}{b+2c+3a}+\frac{36}{c+2a+3b}\)

\(\Leftrightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36F\)

\(\Leftrightarrow 18\geq 36F\Leftrightarrow F\leq \frac{1}{2}\)

Vậy \(F_{\max}=\frac{1}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

2: Vì (d) có hệ số góc là m nên (d): y=mx+b

Thay x=0 và y=-2 vào (d), ta được:

\(b+0=-2\)

=>b=-2

Vậy: (d); y=mx-2

PTHĐGĐ là:

\(\dfrac{-1}{4}x^2-mx+2=0\)

a=-1/4; b=-m; c=2

Vì ac<0 nên (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

a, với m=1, ta đc:

\(x^2-x-1=0\)

\(\Delta=1+4=5>0\)

\(\Rightarrow x_1=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\(x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)

b, theo hệ thức viet, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

theo đk đề bài, ta có:

\(x_1^2+x_2^2=15\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=15\)

\(\Rightarrow\left(2m-1\right)^2-2\left(m-2\right)=15\)

\(\Rightarrow4m^2-4m+1-2m+4=15\)

\(\Rightarrow4m^2-6m-10=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_1=-1\\m_2=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Thử lại, ta thấy \(m_1,m_2\) tmđk đề bài

cắt hai điểm => \(\dfrac{1}{2}x^2=mx-2\) có hai nghiệm pb

\(\Leftrightarrow x^2-2mx+4=0\)

\(\Delta>0;m^2-4>0=>\left[{}\begin{matrix}m< -2\\m>2\end{matrix}\right.\)

Xét hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có: \(\dfrac{1}{2}\)x² =mx-2 ⇔\(\dfrac{1}{2}\) x²-mx+2=0 pt có △=b²-4ac=m²-4 Để pt có 2 nghiệm phân biệt ⇔△>0 ⇔m²-4>0⇔m>2 hoặc m>-2 ⇒m>2

Vậy m>2 thì d cắt P tại 2 điểm phân biệt AvàB

Câu 2: 

a: Gọi (d): y=ax+b là phương trình đường thẳng AB

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{2}{3}a+b=-7\\2a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-5\end{matrix}\right.\)

Vậy: y=3x-5

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-2x^2-3x+5=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3x-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+5\right)\left(x-1\right)=0\)

=>x=1 hoặc x=-5/2

Khi x=1 thì y=-2

Khi x=-5/2 thì \(y=-2\cdot\dfrac{25}{4}=-\dfrac{25}{2}\)

Cái này hình như đều ứng dụng của vi-et mà. B về lật phần vi-et rồi áp dụng vô là được

(d) : 2(m-1) x +(m-2) y = 2

m =2 <=> (d) : <=> x =1 => d// oy => chỉ cắt (p) tại một điểm

xét m khác 2

\(\left(d\right):y=\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-2}.x+\dfrac{2}{m-2}\\ \)

pt hoành độ giao điểm (d) và (p)

\(x^2+\dfrac{2\left(m-1\right)}{m-2}.x-\dfrac{2}{m-2}=0\) (1)

a) (1) phải có hai nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta_x=\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(m-2\right)^2}+\dfrac{2}{m-2}=\dfrac{\left(m-1\right)^2+2\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^2}>0\)\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m^2-3>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -\sqrt{3}\\\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m>\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

b) \(I\left(x_I;y_I\right);\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-\dfrac{m-1}{m-2}\\Y_I=-2.\left(\dfrac{m-1}{m-2}\right).\left(-\dfrac{m-1}{m-2}\right)+\dfrac{2}{m-2}\end{matrix}\right.\)

c) làm d) trước

d)

\(\left(d\right):\left(2x+y\right)m=2\left(x+y+1\right)\)

\(D\left(x_D;y_D\right);\left\{{}\begin{matrix}2x_D+y_D=0\\x_D+Y_D+1=0\end{matrix}\right.\) =>\(D\left(1;-2\right)\)

c)

đường thẳng qua OD : (d1) : y =-2x

để k/c từ O đến (d) lớn nhất => (d) vuông (d1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-2}.\left(-2\right)=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\4\left(m-1\right)=-\left(m-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(m=\dfrac{6}{5}\) thỏa mãn

m=0 nghiệm duy nhất x =0

m >0 vô nghiệm do VT<=0 ; VP >0

m<0 có hai nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x_1=-\sqrt{\dfrac{\left|m\right|}{2}}\\x_2=\sqrt{\dfrac{\left|m\right|}{2}}\end{matrix}\right.\)