Bài 2: Đồ thị hàm số y = ax^2 (a khác 0)

b) Để (d) đi qua (0;-1) thì

Thay x=0 và y=-1 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot0+b=-1\)

\(\Leftrightarrow b=-1\)

Vậy: (d): y=ax-1

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=ax-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-ax+1=0\)

\(\Delta=a^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot1=a^2-2\)

Để (d) và (P) tiếp xúc với nhau thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow a^2=2\)

hay \(a\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\)

Vậy: Để (d) tiếp xúc với (P) và (d) đi qua (0;-1) thì \(\left(a,b\right)=\left\{\left(\sqrt{2};-1\right);\left(-\sqrt{2};-1\right)\right\}\)

a. Bạn tự giải

b.

Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(\dfrac{1}{2}x^2=x-m\Leftrightarrow x^2-2x+2m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-2m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là :

\(-x^2=mx+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+mx+2=0\)

Lại có : \(\Delta=m^2-8>0\)

Theo định lí Vi - et ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=-m\\x1x2=2\end{matrix}\right.\)

\(\left(x1+1\right)\left(x2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x1x2+x1+x1+1=0\)

\(\Leftrightarrow2-m+1=0\Leftrightarrow m=3\)

$-x^2=mx+2$

$\iff x^2+mx+2=0$

chúng ta sẽ lại có : $\Delta =m^2-8>0$

Theo định lí Vi - et ta có :

$\{\begin{array}{c}x1+x2=-m\\ x1x2=2\end{array}$

\(\trái(x1+1\phải)\trái(x2+1\phải)=0\)

$\iff x1x2+x1+x1+1=0$

$\iff 2-m+1=0\iff m=3$

Lời giải:

1.PT hoành độ giao điểm:

$x^2-mx-4=0(*)$ 

Khi $m=3$ thì pt trở thành: $x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-4)=0$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=4$

Với $x=-1$ thì $y=(-1)^2=1$. Giao điểm thứ nhất là $(-1;1)$

Với $x=4$ thì $y=4^2=16$. Giao điểm thứ hai là $(4;16)$

2.

$\Delta (*)=m^2+16>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, đồng nghĩa với việc 2 ĐTHS luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A(x_1,y_1); B(x_2,y_2)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m$ và $x_1x_2=-4$

Khi đó:

$y_1^2+y_2^2=49$

$\Leftrightarrow (mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49$

$\Leftrightarrow m^2(x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2(m^2+8)+8m^2=17$

$\Leftrightarrow m^4+16m^2-17=0$

$\Leftrightarrow (m^2-1)(m^2+17)=0$

$\Rightarrow m^2=1$

$\Leftrightarrow m=\pm 1$

a) Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x=0 thì 2m-1>0

\(\Leftrightarrow2m>1\)

hay \(m>\dfrac{1}{2}\)

b) Để hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0 thì 2m-1<0

\(\Leftrightarrow2m< 1\)

hay \(m< \dfrac{1}{2}\)