Bài 2: Đồ thị hàm số y = ax^2 (a khác 0)

Lời giải:

\(A,B\in (P); x_A=-1; x_B=2\Rightarrow y_A=(-1)^2=1; y_B=2^2=4\)

Vậy \(A(-1;1);B(2;4)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-1-2)^2+(1-4)^2}=3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB^2=18\)

$M$ nằm trên cung $AB$ tức là M nằm trên đường tròn đường kinh $AB$

Do $AB$ là đk nên \(\widehat{AMB}=90^0\Leftrightarrow MA\perp MB\)

\(\Rightarrow S_{ABM}=\frac{MA.MB}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM và Pitago:

\(MA.MB\leq \frac{MA^2+MB^2}{2}=\frac{AB^2}{2}=\frac{18}{2}=9\)

\(\Rightarrow S_{AMB}\leq \frac{9}{2}\). Vậy $S_{MAB}$ max bằng $\frac{9}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $MA=MB$ (theo BĐT AM-GM) hay $M$ là điểm chính giữa cung $AB$

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-(2x-m+3)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0(*)\)

Để hai đths cắt nhau tại hai điểm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \Delta'=1-(m-3)>0\Leftrightarrow m < 4\)

Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-2(x_1+x_2)+x_1x_2=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-4+m-3=-12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1+m+5=0\)

Kết hợp với \(x_1^2-2x_1+m-3=0\)

Suy ra: \(4x_1+8=0\Rightarrow x_1=-2\Rightarrow x_2=4\)

\(\Rightarrow x_1x_2=-8\Leftrightarrow m-3=-8\Leftrightarrow m=-5\) (thỏa mãn)

Vậy.............

Cái này hình như đều ứng dụng của vi-et mà. B về lật phần vi-et rồi áp dụng vô là được

(d) : 2(m-1) x +(m-2) y = 2

m =2 <=> (d) : <=> x =1 => d// oy => chỉ cắt (p) tại một điểm

xét m khác 2

\(\left(d\right):y=\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-2}.x+\dfrac{2}{m-2}\\ \)

pt hoành độ giao điểm (d) và (p)

\(x^2+\dfrac{2\left(m-1\right)}{m-2}.x-\dfrac{2}{m-2}=0\) (1)

a) (1) phải có hai nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta_x=\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left(m-2\right)^2}+\dfrac{2}{m-2}=\dfrac{\left(m-1\right)^2+2\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)^2}>0\)\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m^2-3>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -\sqrt{3}\\\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m>\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

b) \(I\left(x_I;y_I\right);\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-\dfrac{m-1}{m-2}\\Y_I=-2.\left(\dfrac{m-1}{m-2}\right).\left(-\dfrac{m-1}{m-2}\right)+\dfrac{2}{m-2}\end{matrix}\right.\)

c) làm d) trước

d)

\(\left(d\right):\left(2x+y\right)m=2\left(x+y+1\right)\)

\(D\left(x_D;y_D\right);\left\{{}\begin{matrix}2x_D+y_D=0\\x_D+Y_D+1=0\end{matrix}\right.\) =>\(D\left(1;-2\right)\)

c)

đường thẳng qua OD : (d1) : y =-2x

để k/c từ O đến (d) lớn nhất => (d) vuông (d1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(m-1\right)}{m-2}.\left(-2\right)=-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\4\left(m-1\right)=-\left(m-2\right)\end{matrix}\right.\)

\(m=\dfrac{6}{5}\) thỏa mãn

* pt có 2 ngiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\Rightarrow\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)>0\)

\(\Rightarrow\Delta=4m^2+4m+1-4m^2-4m+24=25>0\)

\(\Rightarrow\)pt luôn có 2 nghiệm pb \(\forall\)m.

* Theo hệ thức vi-ét :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1^2+x^2_2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1x_2\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=10\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)=10\)

\(\Rightarrow4m^2+4m+1-m^2-m+6-10=0\)

\(\Rightarrow3m^2+3m-3=0\Rightarrow m^2+m-1=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)( thỏa mãn).

Vậy....

Đây là ý kiến của mk.Nếu đúng thì bn cho 1 tick, còn nếu sai thì mong bn góp ý.

Phương trình: \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)\)

= \(4m^2+4m+1-4m^2-4m+24=25>0\)

\(\Rightarrow\Delta>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1.x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=10\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1x_2=10\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)-10=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-m^2-m+6-10=0\)

\(\Leftrightarrow3m^2+3m-3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1-\sqrt{5}\right)\left(2m+1+\sqrt{5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1-\sqrt{5}=0\\2m+1+\sqrt{5}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=10\) thì \(m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)

cảm ơn 2 bạn !