Bài 1: Định lý Talet trong tam giác

GIẢI :

Xét \(\Delta AEC\) có :

\(\text{BD//CE}\left(gt\right)\)

\(B\in AC\)

\(D\in AE\)

=> \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DE}=\dfrac{1}{3}\) (Định lí Ta -lét trong tam giác)

Ta có : \(AE=AD+DE=1+3=4\)

\(AD=1\)

Do đó : \(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{4}{1}=4\)

AC/AB=2/(3+2)=2/5

CB/AB=1-2/5=3/5

Nối A với C . Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét ΔADC có EO //DC

Áp dụng định lí Ta-lét cho ΔABC ta có :
\(\dfrac{ED}{AD}=\dfrac{OC}{AC}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có OF //AB

Áp dụng định lí Ta -lét cho ΔABC :

\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{AO}{AC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có : \(\dfrac{ED}{AC}+\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{OC}{CA}+\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{AC}{AC}=1\)

Vậy \(\dfrac{ED}{AD}+\dfrac{BF}{BC}=1\)

Câu 2: 

Xét ΔABC có MN//BC

nên AN/NC=AM/MB

=>AN/11=NC/8

Áp dụng tính chất của dãytỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AN}{11}=\dfrac{NC}{8}=\dfrac{AN+NC}{11+8}=\dfrac{24}{19}\)

Do đó: AN=264/19cm; NC=192/19(cm)

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác trong:

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{BD}{BD+DC}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)

\(\Leftrightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}\Rightarrow BD=BC.\frac{2}{5}=3\) (cm)

Theo tính chât phân giác ngoài:

\(\frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{EB}{EB+BC}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{EB}{EB+7,5}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow 3EB=2(EB+7,5)\Rightarrow EB=15\) (cm)

Ta có: \(ED=EB+BD=15+3=18\) (cm)

Sử dụng đường trung bình trong tam giác

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC

Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

Xét ΔANB có

E là trung điểm của AB

EM//BN

Do đó: M là trung điểm của AN

=>AM=MN(1)

Xét ΔDMC có

F là trung điểm của DC

FN//DM

DO đó: N là trung điểm của CM

=>CN=NM(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=MN=NC(ĐPCM)