Đề trắc nghiệm chuyên để thể tích

Tọa độ C là (x;y;2) thì đề bài sai

G ko thể là trọng tâm tam giác ABC

Do \(z_G=2\ne\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}=\dfrac{2}{3}\)

\(AC=a\sqrt{2}=SA\Rightarrow\Delta SAC\) vuông cân \(\Rightarrow SC=SA\sqrt{2}=2a\)

Kẻ \(AM\perp SC\Rightarrow M\) là trung điểm SC \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SC=a\)

Gọi N là trung điểm AM \(\Rightarrow ON||CM\) (đường trung bình) \(\Rightarrow ON\perp AM\)  \(\Rightarrow ON\perp\left(AHK\right)\)

\(\Rightarrow ON=d\left(O;\left(AHK\right)\right)\) ; \(ON=\dfrac{1}{2}CM=\dfrac{1}{4}SC=\dfrac{a}{2}\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=AK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Gọi I là giao điểm AM và HK

\(AK^2=AI.AM\Rightarrow AI=\dfrac{AK^2}{AM}=\dfrac{2a}{3}\)

\(IK=\sqrt{AK^2-AI^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}\Rightarrow HK=2IK=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}\)

\(V=\dfrac{1}{3}ON.\dfrac{1}{2}AI.HK=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{27}\)

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt BC kéo dài tại D

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AD\\AD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAC\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AB\left(gt\right)\\SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAD}\) là góc giữa (AC) và (SBC) hay \(\widehat{HAD}=60^0\)

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2a\)

\(AD=AC.tanC=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=AD.cos60^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow\dfrac{1}{SA^2}=\dfrac{1}{AH^2}-\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{2}{a^2}\Rightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(V=\dfrac{1}{6}.SA.AB.BC=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}\)

Đặt \(x^2-4x+6-\left|x^2-4\right|=t\)

Khi \(x\in\left[0;3\right]\) thì \(t\in\left[-2;2\right]\) 

Trên \(\left[-2;2\right]\) ta thấy \(f\left(t\right)\) có 3 nghiệm: \(-2< t_1< -1< 0< t_2< 1< t_3< 2\)

Xét pt: \(g\left(x\right)=x^2-4x+6-\left|x^2-4\right|=k\) trên \(\left[0;3\right]\) (k ứng với các giá trị t bên trên)

Khá dễ dàng để lập BBT (hoặc đồ thị) của \(g\left(x\right)\) trên đoạn đã cho. Từ BBT ta thấy:

- Với \(-2< k< -1\) pt có đúng 1 nghiệm

- Với \(0< k< 1\) pt có 3 nghiệm

- Với \(1< k< 2\) pt cũng có 3 nghiệm

Vậy pt đã cho có 7 nghiệm phân biệt

Chọn A

Lời giải:

Vì \(SA\perp SB\perp SC\) theo tính đôi một nên áp dụng định lý Pitago:

\(\left\{\begin{matrix} SA^2+SB^2=AB^2=25\\ SB^2+SC^2=BC^2=36\\ SC^2+SA^2=AC^2=49\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} SA^2=19\\ SB^2=6\\ SC^2=30\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} SA=\sqrt{19}\\ SB=\sqrt{6}\\ SC=\sqrt{30}\end{matrix}\right.\)

Vì $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc nên:

\(V=\frac{SA.SB.SC}{6}=\frac{\sqrt{19}.\sqrt{6}.\sqrt{30}}{6}=\sqrt{95}\)