Chương 5: ĐẠO HÀM

Do tiếp tuyến tại M là \(y=4x-7\Leftrightarrow y=4\left(x-1\right)-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(1\right)=4\\f\left(1\right)=-3\end{matrix}\right.\)

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=f'\left(x\right).f'\left(f\left(x\right)\right)\)

Do tiếp tuyến tại N là \(y=24x+5=24\left(x-1\right)+29\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g'\left(1\right)=24\\g\left(1\right)=29\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(1\right).f'\left(f\left(1\right)\right)=24\\f\left(f\left(1\right)\right)=29\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(-3\right)=6\\f\left(-3\right)=29\end{matrix}\right.\) 

Đặt \(h\left(x\right)=f\left(x^2-4\right)\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2-4\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h'\left(1\right)=2.1.f'\left(-3\right)=12\\h\left(1\right)=f\left(-3\right)=29\end{matrix}\right.\)

Phương trình tiếp tuyến tại P:

\(y=12\left(x-1\right)+29\Leftrightarrow y=12x+17\)

Xét khai triển:

\(\left(1-x\right)^{2019}=C_{2019}^0-xC_{2019}^1+x^2C_{2019}^2-...-x^{2019}C_{2019}^{2019}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(-2019\left(1-x\right)^{2018}=-C_{2019}^1+2xC_{2019}^2-...-2019x^{2018}C_{2019}^{2019}\)

\(\Rightarrow2019x\left(1-x\right)^{2018}=xC_{2019}^1-2x^2C_{2019}^2+...+2019x^{2019}C_{2019}^{2019}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(2019\left(1-x\right)^{2018}-2018.2019x\left(1-x\right)^{2017}=C_{2019}^1-2^2xC_{2019}^2+...+2019^2x^{2018}C_{2019}^{2019}\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow0=C_{2019}^1-2^2C_{2019}^2+...+2019^2C_{2019}^{2019}\)

\(\Rightarrow S=0\)

\(y'=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(m;0\right)\) là điểm thuộc trục hoành, đường thẳng d qua M có dạng: \(y=k\left(x-m\right)\)

d không là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-1}=k\left(x-m\right)\\k=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{-2\left(x-m\right)}{\left(x-1\right)^2}\) vô nghiệm

\(\Rightarrow x^2+2x-2m-1=0\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\Delta'=2m+2< 0\Rightarrow m< -1\)

Hay \(x< -1\)

Tất cả các đáp án đều sai

\(y'=\dfrac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}.\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{2\sqrt{x^2+1}}\)

Ta có : \(y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)

Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đths trên \(\). Ta có : 

 PT d : \(y=\dfrac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_{0-1}}=\dfrac{-x}{\left(x_0-1\right)^2}+\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}\) 

K/C từ B(1;1) đến d : d(B;d) = \(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+1-\dfrac{x_0^2}{\left(x_0-1\right)^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^4}+1}}\right|\)  

= \(\left|\dfrac{2\left(1-x_0\right)}{\left(x_0-1\right)^2}\right|:\dfrac{\sqrt{\left(x_0-1\right)^4+1}}{\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{\left(1-x_0\right)^4+1}}\)   \(\le\dfrac{2\left|1-x_0\right|}{\sqrt{2\left(1-x_0\right)^2}}=\sqrt{2}\)

" = " \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)

Suy ra : y = -x hoặc y = -x + 4 

\(y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)

Giả sử \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến d:

\(y=-\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{x_0}{x_0-1}\)

\(\Rightarrow x+\left(x_0-1\right)^2y-x_0^2=0\)

\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|1+\left(x_0-1\right)^2-x_0^2\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2\left|x_0-1\right|}{\sqrt{1+\left(x_0-1\right)^4}}=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}+\left(x_0-1\right)^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\dfrac{1}{\left(x_0-1\right)^2}=\left(x_0-1\right)^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x\\y=-x+4\end{matrix}\right.\)

\(y=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\right)\)

\(y'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{-1}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(-1\right)^1.1!}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{\left(-1\right)^1.1!}{\left(x-1\right)^2}\right)\)

\(y''=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(-1\right)^2.2!}{\left(x+1\right)^3}+\dfrac{\left(-1\right)^2.2!}{\left(x-1\right)^3}\right)\)

\(\Rightarrow y^{\left(n\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x+1\right)^{n+1}}+\dfrac{\left(-1\right)^n.2!}{\left(x-1\right)^{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow y^{\left(2019\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(-1\right)^{2019}.2019!}{\left(x+1\right)^{2020}}+\dfrac{\left(-1\right)^{2019}.2019!}{\left(x-1\right)^{2020}}\right)\)

\(=-\dfrac{2019!}{2}\left(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^{2020}}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)^{2020}}\right)\)

\(y'=\dfrac{\left(sin^3\left(x^2+2x\right)\right)'}{2\sqrt{sin^3\left(x^2+2x\right)}}=\dfrac{3sin^2\left(x^2+2x\right).\left(sin\left(x^2+2x\right)\right)'}{2\sqrt{sin^3\left(x^2+2x\right)}}\)

\(=\dfrac{3\left(x+1\right)sin^2\left(x^2+2x\right)cos\left(x^2+2x\right)}{\sqrt{sin^3\left(x^2+2x\right)}}\)

Tham khảo

Em kiểm tra lại đề bài

Những điểm nằm trên trục tung thì hiển nhiên sẽ có hoành độ \(x=0\) nên câu hỏi của đề bài là cực kì vô nghĩa

\(y'=4x^3-4mx\Rightarrow y'\left(1\right)=4-4m\)

\(A\left(1;1-m\right)\)

Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng:

\(y=\left(4-4m\right)\left(x-1\right)+1-m\)

\(\Leftrightarrow\left(4-4m\right)x-y+3m-3=0\)

\(d\left(B;d\right)=\dfrac{\left|\dfrac{3}{4}\left(4-4m\right)-1+3m-3\right|}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(4-4m\right)^2+1}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(4-4m=0\Rightarrow m=1\)

Phương trình tiếp tuyến d tại A có dạng: