Đại số lớp 8 - Hỏi đáp

Lời giải:

a) Áp dụng định lý Bê-du về phép chia đa thức ta có:

Số dư khi chia đa thức \(f(x)=2x^2+ax+1\) cho $x-3$ là \(f(3)\)

Ta có:

\(f(3)=4\)

\(\Leftrightarrow 2.3^2+a.3+1=4\Rightarrow a=-5\)

b) Ta thêm bớt để đa thức $x^4+ax^2+b$ xuất hiện $x^2-x+1$

\(x^4+ax^2+b=(x^4+x)+ax^2-x+b\)

\(=x(x^3+1)+a(x^2-x+1)+ax-x-a+b\)

\(=x(x+1)(x^2-x+1)+a(x^2-x+1)+x(a-1)+(b-a)\)

\(=(x^2-x+1)(x^2+x+a)+x(a-1)+(b-a)\)

Từ trên suy ra đa thức $x^4+ax^2+b$ khi chia cho đa thức $x^2-x+1$ thì dư \(x(a-1)+(b-a)\)

Để phép chia là chia hết thì :

\(x(a-1)+(b-a)=0, \forall x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=0\\ b-a=0\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=1\)

Muốn rút gọn phân thức ta làm như sau:

- phân tích cả tử và mẫu thành phân tử để tìm nhân tử chung

-chia cả tử và mẫu vs nhân tử chung

a) 4x(x + 1) = 8(x + 1)

=> 4x(x + 1) - 8(x + 1) = 0

=> 4(x + 1).(x - 2) = 0

=> (x + 1)(x - 2) = 0

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+1=0\\x-2=0\end{array}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\x=2\end{array}\right.\)

Vậy \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\x=2\end{array}\right.\)

b) x²(x - 2) + 2 - x = 0

=> x².(x - 2) - (x - 2) = 0

=> (x - 2).(x² - 1) = 0

=> (x - 2).(x - 1).(x + 1) = 0

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-2=0\\x-1=0\\x+1=0\end{array}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=1\\x=-1\end{array}\right.\)

Vậy \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\x=1\\x=-1\end{array}\right.\)

Ta có :

\(21^{10}-1=\left(21^5-1\right)\left(21^5+1\right)=\left(...00\right)\left(21^5+1\right)\)

Đặt \(21^5+1=2k\) ( Do tổng 2 số lẻ chia hết cho 2 )

\(21^5-1=\left(...00\right)=100n\)

\(\Rightarrow21^{10}-1\)có dạng \(200kn\)chia hết cho 200.

Ta có: 21²=441 đồng dư với 1(mod 200)

=>21² đồng dư với 1(mod 200)

=>(21²)⁵ đồng dư với 1⁵(mod 200)

=>21¹⁰ đồng dư với 1(mod 200)

=>21¹⁰-1 đồng dư với 1-1=0(mod 200)

=>21¹⁰-1 đồng dư với 0(mod 200)

=>21¹⁰-1 chia hết cho 200

\(\frac{x^3-16x}{x^4+64x}=\frac{A}{x^2-4x+16}\)

\(\Rightarrow\frac{x\left(x^2-16\right)}{x\left(x^3+4^3\right)}=\frac{A}{x^2-4x+16}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x^2-4x+16\right)}=\frac{A}{x^2-4x+16}\)

\(\Rightarrow\frac{x-4}{x^2-4x+16}=\frac{A}{x^2-4x+16}\)

\(\Rightarrow A=x-4\)

Vậy A=x-4 thì 2 biểu thức bằng nhau

Ta có: \(A=\left(x^3-16x\right).\left(x^2-4x+16\right):x^4+64x\)

\(A=\left[x^5-4x^4+16x^3-\left(-16x^3+64x^2-256x\right)\right]:\left(x^4+64x\right)\)

\(A=\left(x^5-4x^4+16x^3+16x^3-64x^2+256x\right):\left(x^4+64x\right)\)

\(A=\left(x^5-4x^4+32x^3-64x^2+256x\right):\left(x^4+64x\right)\)

\(A=x-4\) dư \(32x^3+512x\)

Chắc mình làm sai rồi nên bạn đừng tham khảo nha vì mình mới học bài 1 nên làm như thế để học mấy bài sau rồi mình tính tiếp cho nha

A = x² -2xy + 2y²+ 2x - 10y + 2033

= x² - 2xy + y² + y² + 2x - 2y - 8y + 2033

= [(x² - 2xy + y²) + 2 ( x - y) + 1]² + (y² - 8y + 16) + 2016

= [ (x - y)² + 2(x - y) + 1]² + (y - 4)² + 2016

= (x - y + 1)² + ( y - 4)² + 2016 \(\ge\) 2016

=> Min của A = 2016 khi \(\left\{\begin{matrix}y-4=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{\begin{matrix}y=4\\x-3=0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{\begin{matrix}y=4\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy Min của A = 2016 khi x = 3 và y = 4.

\(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-x^3-y^3-z^3\)

\(=\left(x+y\right)^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)

\(=x^3+3xy\left(x+y\right)+y^3+z^3+3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-x^3-y^3-z^3\)

\(=3\left(x+y\right)\left(xy+xz+zy+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)

\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

A=\(\dfrac{2010x+2680}{x^2+1}\)

A=\(\dfrac{-335x^2-335+335x^2+2010x+3015}{x^2+1}\)

A=\(-335+\dfrac{335\left(x+3\right)^2}{x^2+1}\ge\)\(-335\)

Vậy GTNN A=\(-335\)\(\Leftrightarrow x=-3\)

Min A = -335 khi x=-3

Có; \(2a^2+2b^2=5ab\)

\(\Leftrightarrow\left(2a^2-4ab\right)+\left(2b^2-ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a\left(a-2b\right)+b\left(2b-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-2b=0\\2a-b=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=2b\left(loai\right)\\2a=b\left(tm\right)\end{array}\right.\)

Với: \(2a=b\), ta có: \(P=\frac{a+2a}{a-2a}=\frac{3a}{-a}=-3\)

Ta có bài toán phụ: (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))>=9

Từ đó suy ra: (a+b+b+c+c+a)(\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\))>=9

=>(2a+2b+2c)(\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\))>=9

=>\(\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{2c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{2b}{b+c}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2c}{b+c}\right)\)+\(\left(\dfrac{2a}{c+a}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{c+a}\right)\)>=9

=>\(\dfrac{2.\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{2\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{2b}{c+a}\)>=9

=>\(\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}\)+2+2+2>=9

=>\(\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}\)>=3

=>2\(\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\right)\)>=3

=>\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)>=\(\dfrac{3}{2}\)

=>đpcm

Có thể giả thiết \(a\ge b\ge c\). Khi đó : \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{c+a}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b+a-c}{b+c}+\dfrac{b-c+b-a}{c+a}+\dfrac{c-a+c-b}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{c+a}\right)+\left(b-c\right)\left(\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{a+b}\right)+\left(c-a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)\ge0\)

BĐT thức sau cùng đúng với giả thiết ban đầu .

Bạn chỉ cần trình bày bài đúng,rõ ràng,dễ hiểu là được GP

bn ik giúp ng khác giải bài và trình bày sạch đẹp, đúng hay thì sẽ dc GB

\(\left(x^4+ax^3+b\right)\) \(⋮\) \(\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+ax^3+b\right)\) \(⋮\) \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^4+ax^3+b\right)⋮\left(x-1\right)\\\left(x^4+ax^3+b\right)⋮\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^4+ax^3+b\)

Theo định lý Bezout , số dư của \(f\left(x\right)=x^4+ax^3+b\) cho \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\\x+1\end{matrix}\right.\)là

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=x^4+ax^3+b=1-a+b=0\left(1\right)\\f\left(1\right)=x^4+ax^3+b=1+a+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1-a+b=1+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a=0\)

\(\Leftrightarrow a=0\)

Thay \(a=0\) vào phương trình \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow1+b=0\)

\(\Leftrightarrow b=-1\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(P=\frac{x^2-1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-2}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}\)

Vì \(\frac{2}{x^2+1}\le2,\forall x,x\in R\) nên \(P\ge-1;P=-1\) khi \(\frac{2}{x^2+1}=2\Rightarrow x=0\)

Vậy \(Min_P=-1\Leftrightarrow x=0\).

\(C=\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+15\)

Đặt \(t=x^2+8x+7\) thì C trở thành:

\(t\left(t+8\right)+15=t^2+8t+15\)

\(t^2+3t+5t+15=t\left(t+3\right)+5\left(t+3\right)\)

\(=\left(t+5\right)\left(t+3\right)=\left(x^2+8x+7+5\right)\left(x^2+8x+7+3\right)\)

\(=\left(x^2+8x+12\right)\left(x^2+8x+10\right)\)

\(=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x^2+8x+10\right)\)

\(C=\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+7\right)+15\)

\(=\left[\left(x+1\right)\left(x+7\right)\right]\left[\left(x+3\right)\left(x+5\right)\right]+15\)

\(=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+15\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(x^2+8x+11=t\) , khi đó

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t+4\right)+15\)

\(=t^2-16+15=t^2-1=\left(t-1\right)\left(t+1\right)=\left(x^2+8x+10\right)\left(x^2+8x+12\right)\\ =\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x^2+8x+10\right)\)