§1. Đại cương về phương trình

Thay x=0 và y=6 vào (P), ta được:

\(a\cdot0^2+b\cdot0+c=6\)

=>c=6

Vì hàm số (P) đạt cực tiểu bằng 4 khi x=2 nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=2\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-b=4a\\c=6\\b^2-4ac=-16a\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=6\\b=-4a\\16a^2-24a=-16a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=6\\b=-4a\\16a^2-8a=0\end{matrix}\right.\)

=>c=6; a=1/2; b=-2

=>P=-6

đặt \(\sqrt[3]{2-x}=a;\sqrt[3]{7+x}=b\rightarrow a^3+b^3=9\)

thay vào pt ta đc

\(a^2+b^2-ab=\dfrac{\left(a^3+b^3\right)}{3}\)

\(a^2+b^2-ab=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)}{3}\)

do \(a^2+b^2-ab>0\)nên

a+b=3

\(\rightarrow\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x}=3\)

\(\left(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x}\right)^3=27\)

\(2=\sqrt[3]{\left(7+x\right)\left(2-x\right)}\)

0=6-5x-x^2 đến đấy khá đơn giản rồi nhỉ

(x-1)(x+6)=0

vậy pt có nghiệm x=1;x=-6

Lời giải:

Đặt \(\sqrt[3]{2-x}=a; \sqrt[3]{7+x}=b(*)\). Ta có hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} a^3+b^3=9\\ a^2+b^2-ab=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(a^2-ab+b^2)=9\\ a^2+b^2-ab=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2-ab=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-3ab=3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt:

\(x^2-3x+2=0\), do đó \((a,b)=(1,2)\) hoặc \((a,b)=(2,1)\)

Thay vào $(*)$ suy ra $x=1$ hoặc $x=-6$

a: TH1: x>=2

=>2x-4<=x+12

=>x<=16

=>2<=x<=16

TH2: x<2

=>4-2x<=x+12

=>-3x<=8

=>x>=-8/3

=>-8/3<=x<2

b: TH1: x>=1

BPT sẽ là \(\dfrac{x-1}{x+2}< 1\)

=>(x-1-x-2)/(x+2)<0

=>x+2<0

=>x<-2(loại)

TH2: x<1

BPT sẽ là \(\dfrac{1-x}{x+2}-1< 0\)

=>(1-x-x-2)/(x+2)<0

=>(-2x-1)/(x+2)<0

=>(2x+1)/(x+2)>0

=>x>-1/2 hoặc x<-2

=>-1/2<x<1 hoặc x<-2

Lời giải:

Ta có:

\(P=\frac{2\sin \alpha+3\cos \alpha}{4\sin \alpha-5\cos \alpha}=\frac{2+\frac{3\cos \alpha}{\sin \alpha}}{4-\frac{5\cos \alpha}{\sin \alpha}}\)

\(=\frac{2+3\cot \alpha}{4-5\cot\alpha}=\frac{2+3.3}{4-5.3}=-1\)

ta có : \(\sqrt{7-x}\) có nghĩa khi \(x\le7\) và \(\sqrt{x-7}\) có nghĩa khi \(x\ge7\)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{7-x}=\sqrt{x-7}\) biểu thức này có nghĩa khi \(x=7\)

vậy \(\sqrt{7-x}\) trở thành \(\sqrt{x-7}\) khi \(x=7\)

\(Pt\Leftrightarrow x^4+x^2+\dfrac{1}{4}=x^2+2013-\sqrt{x^2+2013}+\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\sqrt{x^2+2013}-\dfrac{1}{2}\right)^2\\ \Rightarrow x^2+1=\sqrt{x^2+2013}\Leftrightarrow x^4+x^2-2012=0\\ \Leftrightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{8049}}{2}}\)