Cung và góc liên kết - Hỏi đáp

Gọi I là trung điểm AC \(\Rightarrow I\left(2;1\right)\)

\(\Rightarrow\) I là tâm hình vuông đồng thời là tâm đường tròn nội/ngoại tiếp hình vuông

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)\Rightarrow AC=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=2\)

Bán kính đường tròn nội tiếp: \(r=\frac{AB}{2}=1\)

Phương trình: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=1\)

\(R=d\left(I;d\right)=\frac{\left|3.1+4.2+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9\)

A là giao điểm AB và AD nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-4=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

\(M\left(2;2\right)\) là trung điểm AB \(\Rightarrow B\left(3;3\right)\)

\(BC//AD\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{-2}{-2}\Rightarrow a=1\)

Pt BC: \(x-2y+c=0\)

DO BC qua B nên: \(3-2.3+c=0\Rightarrow c=3\)

\(\Rightarrow a^2+c^2=10\)

I là trung điểm của MM' khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của M lên d

Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x-3\right)+2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+2y-5=0\)

I là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;2\right)\Rightarrow b^2=4\)

\(cot^2x-cos^2x=\frac{cos^2x}{sin^2x}-cos^2x=cos^2x\left(\frac{1}{sin^2x}-1\right)=\frac{cos^2x\left(1-sin^2x\right)}{sin^2x}\)

\(=cos^2x.\left(\frac{cos^2x}{sin^2x}\right)=cot^2x.cos^2x\)

\(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}-\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}=\frac{\left(cosx+sinx\right)^2-\left(cosx-sinx\right)^2}{\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)}\)

\(=\frac{cos^2x+sin^2x+2sinx.cosx-\left(cos^2x+sin^2x-2sinx.cosx\right)}{cos^2x-sin^2x}=\frac{4sinx.cosx}{cos2x}=\frac{2sin2x}{cos2x}=2tan2x\)

\(\frac{sin4x+cos2x}{1-cos4x+sin2x}=\frac{2sin2x.cos2x+cos2x}{1-\left(1-2sin^22x\right)+sin2x}=\frac{cos2x\left(2sin2x+1\right)}{sin2x\left(2sin2x+1\right)}=\frac{cos2x}{sin2x}=cot2x\)

\(A=sin^2x\left(sinx+cosx\right)+cos^2x\left(sinx+cosx\right)\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx+cosx\right)=sinx+cosx\)

\(B=\frac{sinx}{cosx}\left(\frac{1+cos^2x-sin^2x}{sinx}\right)=\frac{sinx}{cosx}\left(\frac{2cos^2x}{sinx}\right)=2cosx\)

Nhân cả tử và mẫu của A với \(sina.cosa\)

\(A=\frac{cos^2a+2sin^2a}{2cos^2a+sin^2a}=\frac{cos^2a+2\left(1-cos^2a\right)}{2cos^2a+1-cos^2a}\)

Bây giờ bạn chỉ việc thay số và bấm máy

\(A=cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}+cos\frac{4\pi}{5}+cos\pi+cos\left(2\pi-\frac{4\pi}{5}\right)+...+cos\left(2\pi-\frac{\pi}{5}\right)\)

\(A=2\left(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}+cos\frac{4\pi}{5}\right)-1\)

\(=2\left(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\left(\pi-\frac{2\pi}{5}\right)+cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)\right)-1\)

\(=2\left(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}-cos\frac{2\pi}{5}-cos\frac{\pi}{5}\right)-1\)

\(=-1\)

a∈(∞;∞)

(a∈R-số bất kì)

\(VT:\frac{1}{1+tanx}+\frac{1}{1+cotx}\)

\(=\frac{1}{1+\frac{sinx}{cosx}}+\frac{1}{1+\frac{cosx}{sinx}}\)

\(=\frac{cosx}{sinx+cosx}+\frac{sinx}{sinx+cosx}\)

\(=\frac{cosx+sinx}{cosx+sinx}=1=VP\)

\(A=3sin^2x+6cos^2=3sin^2x+6\left(1-sin^2x\right)\)

\(=6-3sin^2x\)

Do : \(0\le sin^2x\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-3sin^2x\ge3\\6-3sin^2x\le6\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left(tana+cota\right)^2=tan^2a+cot^2a+2tana.cota\)

\(=\left(tana-cota\right)^2+4tana.cota=\left(tana-cota\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow\left|tana+cota\right|\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(tana=cota=tan\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\Leftrightarrow a=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

Lời giải:

Ta có:

$\sin (2a+b)=3\sin b$

$\Leftrightarrow \sin (a+b+a)=3\sin (a+b-a)$

$\Leftrightarrow \sin (a+b)\cos a+\cos (a+b)\sin a=3\sin (a+b)\cos a-3\cos (a+b)\sin a$

$\Leftrightarrow 4\cos (a+b)\sin a=2\sin (a+b)\cos a$

$\Leftrightarrow 2\cos (a+b)\sin a=\sin (a+b)\cos a$

$\Rightarrow \frac{2\sin a}{\cos a}=\frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)}$

$\Rightarrow 2\tan a=\tan (a+b)$

Ta có đpcm.

Lời giải:

Ta có:

$\sin 2A+\sin 2B=2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}=2\sin (A+B)\cos (A-B)$

$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)=2\sin C\cos (A-B) $

Do đó:

$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin 2C+2\sin C\cos (A-B)=2\sin C\cos C+2\sin C\cos (A-B)$

$=2\sin C[\cos C+\cos (A-B)]=2\sin C[\cos (\pi -A-B)+\cos (A-B)]$

$=2\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)]=-2.\sin C[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$

$=-2\sin C. (-2).\sin \frac{(A+B)+(A-B)}{2}.\sin \frac{(A+B)-(A-B)}{2}=4\sin C.\sin A.\sin B$

Ta có đpcm.