Cung và góc liên kết

Gọi I là trung điểm AC \(\Rightarrow I\left(2;1\right)\)

\(\Rightarrow\) I là tâm hình vuông đồng thời là tâm đường tròn nội/ngoại tiếp hình vuông

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)\Rightarrow AC=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=2\)

Bán kính đường tròn nội tiếp: \(r=\frac{AB}{2}=1\)

Phương trình: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=1\)

\(R=d\left(I;d\right)=\frac{\left|3.1+4.2+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9\)

A là giao điểm AB và AD nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y-4=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

\(M\left(2;2\right)\) là trung điểm AB \(\Rightarrow B\left(3;3\right)\)

\(BC//AD\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{-2}{-2}\Rightarrow a=1\)

Pt BC: \(x-2y+c=0\)

DO BC qua B nên: \(3-2.3+c=0\Rightarrow c=3\)

\(\Rightarrow a^2+c^2=10\)

I là trung điểm của MM' khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của M lên d

Gọi d' là đường thẳng qua M và vuông góc d \(\Rightarrow\) d' nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x-3\right)+2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+2y-5=0\)

I là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;2\right)\Rightarrow b^2=4\)

\(A=cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}+cos\frac{4\pi}{5}+cos\pi+cos\left(2\pi-\frac{4\pi}{5}\right)+...+cos\left(2\pi-\frac{\pi}{5}\right)\)

\(A=2\left(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}+cos\frac{4\pi}{5}\right)-1\)

\(=2\left(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\left(\pi-\frac{2\pi}{5}\right)+cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)\right)-1\)

\(=2\left(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{2\pi}{5}-cos\frac{2\pi}{5}-cos\frac{\pi}{5}\right)-1\)

\(=-1\)

\(cot^2x-cos^2x=\frac{cos^2x}{sin^2x}-cos^2x=cos^2x\left(\frac{1}{sin^2x}-1\right)=\frac{cos^2x\left(1-sin^2x\right)}{sin^2x}\)

\(=cos^2x.\left(\frac{cos^2x}{sin^2x}\right)=cot^2x.cos^2x\)

\(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}-\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}=\frac{\left(cosx+sinx\right)^2-\left(cosx-sinx\right)^2}{\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)}\)

\(=\frac{cos^2x+sin^2x+2sinx.cosx-\left(cos^2x+sin^2x-2sinx.cosx\right)}{cos^2x-sin^2x}=\frac{4sinx.cosx}{cos2x}=\frac{2sin2x}{cos2x}=2tan2x\)

\(\frac{sin4x+cos2x}{1-cos4x+sin2x}=\frac{2sin2x.cos2x+cos2x}{1-\left(1-2sin^22x\right)+sin2x}=\frac{cos2x\left(2sin2x+1\right)}{sin2x\left(2sin2x+1\right)}=\frac{cos2x}{sin2x}=cot2x\)

\(A=sin^2x\left(sinx+cosx\right)+cos^2x\left(sinx+cosx\right)\)

\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sinx+cosx\right)=sinx+cosx\)

\(B=\frac{sinx}{cosx}\left(\frac{1+cos^2x-sin^2x}{sinx}\right)=\frac{sinx}{cosx}\left(\frac{2cos^2x}{sinx}\right)=2cosx\)

\(VT:\frac{1}{1+tanx}+\frac{1}{1+cotx}\)

\(=\frac{1}{1+\frac{sinx}{cosx}}+\frac{1}{1+\frac{cosx}{sinx}}\)

\(=\frac{cosx}{sinx+cosx}+\frac{sinx}{sinx+cosx}\)

\(=\frac{cosx+sinx}{cosx+sinx}=1=VP\)