y=\(\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{2x+1}\)
tìm cực trị hàm số
y=\(\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{2x+1}\)
tìm cực trị hàm số
Lời giải:
ĐK: \(x\in\mathbb{R}|x\neq \frac{-1}{2}\)
Ta có: \(y=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{2x+1}\Rightarrow y'=\frac{2(1-x)}{3\sqrt[3]{x}(2x+1)^2}, \forall x\neq 0; x\neq \frac{-1}{2}\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=1\)
Lập bảng biến thiên với điểm \(x=0; x=1\) ta có
\(y_{\text{cực đại}}=y(1)=\frac{1}{3}\)
\(y_{\text{cực tiểu}}=y(0)=0\)
Cho x,y số thực thỏa mãn:x2 +2xy+7(x+y)+2y2+10=0
Tìm Min và Max: S=x+y+3
Ta có: \(x^2+2xy+7(x+y)+2y^2+10=0\)
<=> \((x^2+2xy+y^2)+7(x+y)+y^2+10=0\)
<=>(1)
Đặt t=x+y
=>(1)<=>\(y^2+t^2+7t+10=0
\)
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta\)'\(\ge\)0
<=>\(t^2+7t+10=0
\) \(\le\)0
<=> -5\(\le\)t\(\le\)-2
=>Max S=1 khi t=-2<=>y=0;x=-2
Min S=-2 khi t=-5<=>y=0;x=-5
cho 3 số thực dương a,b,c t/m ab+bc+ac=3 tìm max \(\dfrac{1}{a^2+b^2+1}+\dfrac{1}{b^2+c^2+1}+\dfrac{1}{a^2+c^2+1}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\((a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geq (a+b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\geq \frac{(a+b+c)^2}{c^2+2}\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+1}\leq \frac{c^2+2}{(a+b+c)^2}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow A=\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\leq \frac{6+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\)
\(\Leftrightarrow A\leq \frac{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
Vậy \((\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1})_{\max}=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho 2 tập hợp A và B. Biết tập hợp B khác rỗng, số phần tử của tập B gấp đôi số phần tử của tập A∩B và A∪B có 10 phần tử. Hỏi tập A và B có bao nhiêu phần tử? Hãy xét các trường hợp xảy ra và dùng biểu đồ Ven minh họa?
Số các giá trị của tham số m để hàm số y=(x-m^2 -1)/(x-m) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;4] bằng -6 là ?
Lời giải:
ĐK: \(m\in (-\infty; 0)\cup (4;+\infty)\)
\(y=\frac{x-m^2-1}{x-m}=1-\frac{m^2-m+1}{x-m}\)
\(\Rightarrow y'=\frac{m^2-m+1}{(x-m)^2}=\frac{(m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}{(x-m)^2}>0\)
Do đó hàm số đã cho luôn đồng biến
\(\Rightarrow y(x)\leq y(4)\Leftrightarrow y_{\max}=y(4)=\frac{3-m^2}{4-m}\)
Ta có: \(\frac{3-m^2}{4-m}=-6\Leftrightarrow m^2+6m-27=0\)
\(\Leftrightarrow (m-3)(m+9)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=3(L)\\ m=-9(C)\end{matrix}\right.\)
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn .
Cho hàm số \(y=x^3-3mx^2+4m^3\) (m là tham số) có đồ thị Cm
Xác định m để Cm có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x
gợi ý :
Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có cực đại ,cực tiểu .
Ta có \(y'=3x^2-6mx=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=2m\end{cases}\)
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m khác 0
Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left(0;4m^3\right),B\left(2m;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2m;-4m^2\right)\)
Trung điểm của đoạn AB là \(I\left(m;2m^3\right)\)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y=x là AB vuông góc với đường thẳng y=x và I thuộc đường thẳng y=x
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2m-4m^3=0\\3m^3=m\end{cases}\)
Kết hợp với điều kiện ta có : \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Giải ra ta có \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};m=0\)
Giả sử đồ thị hàm số y=x3 -3mx2+3(m+6)x+1 có hai cực trị. khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là:
Lời giải:
Ta có \(y'=3x^2-6mx+3(m+6)=0\) có hai nghiệm $x_1,x_2$ chính là hoành độ hai cực trị của đồ thị hàm số. Theo hệ thức Viet:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m+6\end{matrix}\right.(1)\)
Gọi đường thẳng qua hai điểm cực trị có PT \((d):y=ax+b\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y_1=ax_1+b=x_1^3-3mx_1^2+3(m+6)x_1+1\\ y_2=ax_2+b=x_2^3-3mx_2^2+3(m+6)x_2+1\end{matrix}\right.\)
Dựa vào $(1)$ và biến đổi đơn giản:
\(\Rightarrow a(x_1-x_2)=(x_1-x_2)[x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3m(x_1+x_2)+3(m+6)]\)
\(\Rightarrow a=x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3m(x_1+x_2)+3(m+6)=-2m^2+2m+12\)
\(\Rightarrow 2b=y_1+y_2-a(x_1+x_2)=2m^2+12m+2\Rightarrow b=m^2+6m+1\)
Do đó PTĐT thu được: \((d):y=(-2m^2+2m+12)x+m^2+6m+1\)
Cho hàm số : \(y=f\left(x\right)=mx^3+3mx^2-\left(m-1\right)x-1\)
Xác định các giá trị của m để hàm số \(y=f\left(x\right)\) không có cực trị
- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị
- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\)
hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)
Cho hàm số : \(y=x^4+mx^3-2x^2-3mx+1\) (1)
Xác định m để hàm số (1) có hai cực tiểu
\(y=x^4+mx^3-2x^2-2mx+1\) (1)
Đạo hàm \(y'=4x^2+3mx^2-4x-3m=\left(x-1\right)\left[4x^2+\left(4+3m\right)x+3m\right]\)
\(y'=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=1\\4x^2+\left(4+3m\right)x+3m=0\left(2\right)\end{cases}\)
Hàm số có 2 cực tiểu \(\Leftrightarrow\) y có 3 cực trị \(\Leftrightarrow\)\(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\Delta=\left(3m-4\right)^2>0\\4+4+3m+3m\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(m\ne\pm\frac{4}{3}\)
Giả sử : Với \(m\ne\pm\frac{4}{3}\), thì \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu
Kết luận : Vậy hàm số có 2 cực tiểu khi \(m\ne\pm\frac{4}{3}\)
\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=-2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=9\end{cases}\)
Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (-2;9) không thuộc đường thẳng
\(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=-3\) không thỏa mãn
Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài
Cho hàm số \(y=x^3-3\left(m+1\right)x^2+9x-m\) (1) với m là tham số thực
Xác định m để hàm số (1) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\le2\)
Ta có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1,x_2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-2\left(m+1\right)x+3=0\) có hai nghiệm phân biêt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\Leftrightarrow\begin{cases}m>-1+\sqrt{3}\\m<-1-\sqrt{3}\end{cases}\) (1)Theo định lí Viet ta có \(x_1+x_2=2\left(m+1\right)\) \(x_1,x_2=3\)Khi đó \(\left|x_1-x_2\right|\le2\) \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\le4\) \(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-12\le4\) \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\le4\) \(\Leftrightarrow-3\le m\)\(\le1\) (2)Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là \(-3\le m<-1-\sqrt{3}\) và\(-1+\sqrt{3}\)<m\(\le1\)Cho hàm số \(y=x^3+\left(1-2m\right)x^2+\left(2-m\right)x+m+2\) (1) với m là tham số thực
Xác định m để đồ thị hàm số (1) đạt cực đại và cực tiểu, đồng thời có hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1
\(\Leftrightarrow y'=0\)
có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)