Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

a:TH1: m=1

Phương trình sẽ trở thành \(\left(1-1\right)x^2-2\cdot1\cdot x+1=0\)

=>-2x+1=0

=>2x=1

=>\(x=\dfrac{1}{2}\)

=>Loại

TH2: m<>1

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(\left(m-1\right)\cdot1< 0\)

=>m-1<0

=>m<1

b: Khi m=1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\dfrac{1}{2}\)

=>Loại

TH2: \(m\ne1\) 

\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(m-1\right)\cdot1\)

\(=4m^2-4m+4\)

\(=\left(2m-1\right)^2+3>=3>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2m}{m-1};x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{m-1}\)

Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m}{m-1}>0\\\dfrac{1}{m-1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{m-1}>0\\m-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\\m>1\end{matrix}\right.\)

=>m>1

\(y^2+\left(2-\sqrt{3}\right)y-2\sqrt{3}=0\)

\(\left(a=1;b=2-\sqrt{3};c=-2\sqrt{3}\right)\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(2-\sqrt{3}\right)^2-4\cdot1\cdot-2\sqrt{3}\)

\(=4-4\sqrt{4}+3+8\sqrt{3}=2^2+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(2+\sqrt{3}\right)^2>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}=2+\sqrt{3}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(2-\sqrt{3}\right)+2+\sqrt{3}}{2\cdot1}=\sqrt{3}\) 

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(2-\sqrt{3}\right)-\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\cdot1}=-2\) 

Tốt nhất là dấu nhân trước số âm em thêm cái ngoặc vào trước số âm cho đỡ bị nhầm với dấu trừ. Nhìn là thấy từ dòng 3 ra dòng 4 ở số cuối cùng bắt đầu lẫn lộn nhân với trừ rồi.

\(\Delta=\left(2-\sqrt{3}\right)^2-4.1.\left(-2\sqrt{3}\right)=7-4\sqrt{3}+8\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)

Bây giờ ráp công thức nghiệm là được

∆ = (2 - √3)² - 4.1.(-2√3)

= 4 - 4√3 + 3 + 8√3

= 7 + 4√3 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

y = (√3 - 2 + 2 + √3)/2 = √3

y = (√3 - 2 - 2 - √3)/2 = -2

a, Thay \(m=1\) vào \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow x^2-7x+1=0\\ \Delta=\left(-7\right)^2-4.1.1=45\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

b,  \(\Delta=\left(-7\right)^2-4.m=49-4m\)

phương trình cs nghiệm \(49-4m\ge0\\ \Rightarrow m\le\dfrac{49}{4}\)

Áp dụng hệ thức vi ét 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=7\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1+x^2_2=29\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=29\\ \Leftrightarrow7^2-2.m-29=0\\ \Leftrightarrow20-2m=0\\ \Rightarrow m=10\left(t/m\right)\)

Vậy \(m=10\)

a: TH1: m=3

=>2x-5=0

=>x=5/2(nhận)

TH2: m<>3

Δ=2^2-4*(m-3)*(-5)

=4+20(m-3)

=4+20m-60=20m-56

Để phương trình có nghiệm kép thì 20m-56=0

=>m=2,8

=>-0,2x^2+2x-5=0

=>x^2-10x+25=0

=>x=5

b: Để phươg trình có hai nghiệm pb thì 20m-56>0

=>m>2,8

Thay \(x=2\) vào \(4mx^2-x-10m^2=0\)

\(\Rightarrow4m.2^2-2-10m^2=0\)

\(\Rightarrow16m-2-10m^2=0\)

\(\Rightarrow-10m^2+16m-2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{4+\sqrt{11}}{5}\\m_2=\dfrac{4-\sqrt{11}}{5}\end{matrix}\right.\)

\(b,x^2+3x-2=0\\ \Delta=3^2-4.1.\left(-2\right)=17\\ =>\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\\x_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Mấy câu còn lại mình giải rồi 

a: =>(x+1)(x+3)=0

=>x=-1 hoặc x=-3

b: Δ=3^2-4*1*(-2)=9+8=17>0

=>Phương trình có hai nghiệm pb là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\\x_2=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

c: =>3x^2-5x-8=0

=>3x^2-8x+3x-8=0

=>(3x-8)(x+1)=0

=>x=8/3 hoặc x=-1

d: =>(3x-1)^2=0

=>3x-1=0

=>x=1/3

Bài 4:

Δ=(2m-2)^2-4(2m-6)

=4m^2-8m+4-8m+24

=4m^2-16m+28

=4m^2-16m+16+12

=(2m-4)^2+12>=12>0 với mọi m

=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt

4:

Δ=(2m-2)^2-4(-m^2+2m-2)

=4m^2-8m+4+4m^2-8m+8

=8m^2-16m+12

=8(m^2-2m+3/2)

=8(m^2-2m+1+1/2)

=8(m-1)^2+4>0 với mọi m

=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt

1/x1+1/x2=-4/5

=>(x1+x2)/x1x2=-4/5

=>(2m-2)/(-m^2+2m-2)=-4/5

=>4m^2-8m+4=10m-10

=>4m^2-18m+14=0

=>(m-1)(4m-14)=0

=>m=1 hoặc m=7/2