Chương III : Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác - Hỏi đáp

Câu 2:

Cách 1: \(CH+HA=16+9=25\)

Áp dụng định lí Piatago trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:

\(AC^2=AB^2+CB^2\)

\(\Rightarrow AB^2=AC^2-CB^2=25^2-20^2\)

\(\Rightarrow AB^2=\sqrt{225}\)

\(\Rightarrow AB=15\)

Cách 2: Áp dụng định lí Pitago trong \(\Delta CHB\) vuông tại \(H\) có:

\(CB^2=CH^2+CB^2\)

\(\Rightarrow HB^2=CB^2-CH^2=20^2-16^2\)

\(\Rightarrow HB=\sqrt{144}\)

\(\Rightarrow HB=12\)

Áp dụng định lí Pitago trong \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có:

\(AB^2=HA^2+HB^2\)

\(\Rightarrow AB^2=9^2+12^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{225}=15\)

Vậy ............

Hình bạn vẽ sai rồi. Kẹo Nấm

Mih xin lỗi cb nha còn 1 câu nữa là:

Với hình 1 hãy tính AB bằng hai cách

Mih cảm ơn

a)

Xét △BMA và △DMC có:

BM=DM (GT)

∠BMA=∠DMC (đối đỉnh)

MA=MC (GT)

⇒△BMA = △DMC (cgc)⇒BA=DC (2 cạnh tương ứng) (1)

Mà ta có:

BA<BC (đường xiên-hình chiếu) (2)

Từ (1) và (2) ⇒DC<BC

b) Ta có:

DC<BC (câu a)⇒∠CBD<∠BDC hay ∠CBM<∠CDM

Mà △BMA = △DMC (câu a)⇒∠ABM=∠CDM(2 góc tương ứng)

⇒∠CBM<∠ABM

Hình bạn tự vẽ nhé!

\(a,\) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CDM\) có:

\(AM=CM\left(M-là-trung-điểm-AC\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\left(đ.đỉnh\right)\)

\(BM=DM\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta CDM\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AB=CD\left(2c.t.ứ\right)\)

Mà: \(AB< BC\) ( Cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông trong 1 tam giác)

\(\Rightarrow BC>CD\left(đpcm\right)\)

a,

Xét tam giác ABM và tam giác HBM có :

BA = BH ( gt )

BM chung

Góc ABM = góc HBM ( BM là pgiác của góc B )

Suy ra tam giác ABM = tam giác HBM ( cgc) . (1)

b,

Từ (1) suy ra góc BAM = góc BHM = 90 độ ( 2 góc tương ứng ).

Vì góc BHM = 90 độ ( CMT) suy ra MH vuông góc vs BC tại H

c,

Từ ( 1 ) ta lại có MA = MH ( 2 cạnh tương ứng )

Xét tam giác vuông AMK tại A và tam giác vuông HMC tại H có :

- AM = HM ( CMT )

- Góc AMK = góc HMC ( 2 góc đối đỉnh )

Suy ra tam giác AMK = tam giác HMC ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề ) . (2)

Từ ( 2 ) suy ra MC = MK ( 2 cạnh tương ứng ) Vì MK = MC ( CMT ) suy ra tam giác KMC cân tại M

d,

Vì BA = BH ( gt ) suy ra tam giác ABH cân tại B .

Vì tam giác ABH cân tại B nên góc BAH = góc BHA = ( 180 độ - góc B )/2 ( 2 góc đáy ). (3)

Tam giác AMK = tam giác HMC ( câu c ) nên AK = HC ( 2 cạnh tương ứng )

Vì BA = BH ( gt ) và AK = HC ( CMT ) suy ra BK = BC

Vì BK = BC suy ra tam giác BKC cân tại B .

Vì tam giác BKC cân tại B suy ra góc K = góc C = ( 180 độ - góc B )/2 . (4)

Từ (3) và (4) suy ra góc BAH = góc BHA = góc K = góc C

Vì góc BAH = góc K ( CMT ) mà 2 góc ở vị trí đồng vị suy ra AH song song với KC.

Hết

Câu 1:

Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\); \(OH'\) của \(\Delta OBD\)

Ta có: \(BD=\frac{1}{2}BC\) và \(AD=3.OD\) \(\rightarrow AH=3.OH'\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\)

\(S_{OBD}=\frac{1}{2}OH'.BD=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.AH.\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}.S_{ABC}\)

CHứng minh tương tự với các tam giác còn lại đều bằng \(\frac{1}{6}\) diện tích ABC

Vậy suy ra điều phải chứng minh.

Mấy bài này giống kiểu lớp 8 ý.

Bài 2:

a) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(ABC\left(gt\right)\)

=> \(AM=\frac{1}{2}BC\) (tính chất tam giác vuông).

=> \(AM=\frac{1}{2}.13\)

=> \(AM=6,5\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(5^2+AC^2=13^2\)

=> \(AC^2=13^2-5^2\)

=> \(AC^2=169-25\)

=> \(AC^2=144\)

=> \(AC=12cm\) (vì \(AC>0\)).

+ Vì \(BN\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(ABC\left(gt\right)\)

=> N là trung điểm của \(AC.\)

=> \(AN=CN=\frac{1}{2}AC\) (tính chất trung điểm).

=> \(AN=CN=\frac{1}{2}.12\)

=> \(AN=CN=6\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:

\(BN^2=AB^2+AN^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(BN^2=5^2+6^2\)

=> \(BN^2=25+36\)

=> \(BN^2=61\)

=> \(BN=\sqrt{61}\left(cm\right)\) (vì \(BN>0\)).

+ Vì \(CE\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(ABC\left(gt\right)\)

=> E là trung điểm của \(AB.\)

=> \(AE=BE=\frac{1}{2}AB\) (tính chất trung điểm).

=> \(AE=BE=\frac{1}{2}.5\)

=> \(AE=BE=2,5\left(cm\right).\)

Xét \(\Delta ACE\) vuông tại \(A\left(gt\right)\) có:

\(CE^2=AE^2+AC^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(CE^2=\left(2,5\right)^2+12^2\)

=> \(CE^2=6,25+144\)

=> \(CE^2=150,25\)

=> \(CE=\sqrt{150,25}\left(cm\right)\) (vì \(CE>0\)).

Chúc bạn học tốt!

Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:

\(\frac{3}{4}.\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC.\)

*Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC

Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK.

Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

=> M là trung điểm của \(BC.\)

=> \(BM=CM.\)

Xét 2 tam giác BMK và CMA có:

MK = MA (do cách vẽ)

Góc BMK = góc AMC (vì 2 góc đối đỉnh)

BM = CM (cmt)

=> Tam giác BMK = Tam giác CMA ( c - g - c )

=> BK = AC (2 cạnh tương ứng).

Xét tam giác ABK có:

AK < AB + BK (theo bất đẳng thức trong tam giác).

Vì MA = MK (do cách vẽ).

=> M là trung điểm của AK.

=> \(AM=\frac{1}{2}AK\) (tính chất trung điểm).

Hay AK = 2AM

Mà BK = AC (cmt).

=> 2AM < AB + AC (1).

Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)

2CE < AC + BC (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:

2AM + 2BD + 2CE < AB + AC + AB + BC + AC + BC.

=> 2(AM + BD + CE) < 2AB + 2AC + 2BC

=> 2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)

=> AM + BD + CE < AB + AC + BC (4).

*Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE

Xét tam giác AGB có:

AG + GB > AB (theo bất đẳng thức trong tam giác).

Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)

=> 2/3(AM + BD) > AB

Tương tự, ta có:

2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC

=> 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

<=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

=> AM + BD + CE > 3/4 (AB + AC + BC) (5).

Từ (4) và (5) => \(\frac{3}{4}.\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\left(đpcm\right).\)

Vậy trong 1 tam giác tổng độ dài 3 đường trung tuyến lớn hơn 3/4 chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó.

Chúc bạn học tốt!

Bạn tự vẽ hình nha!

Xét tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC = a ; AC= c.

Theo bài ra ta có: AM < \(\frac{b+c}{2}\)

CMTT: BD < \(\frac{a+c}{2}\) ; CE < \(\frac{a+b}{2}\)

Suy ra AM+BD+CE < a+b+c

Ta có BD + CE > \(\frac{3}{2}\) a

CMTT ta có: AM + CE > \(\frac{3}{2}\) b

AM + BD > \(\frac{3}{2}\) c

Suy ra 2 (AM+BD+CE) > \(\frac{3}{2}\) ( a+c+c)

Do đó : AM+BD+CE > \(\frac{3}{4}\) ( a+b+c )

Chúc bạn học có hiệu quả!

Tham khảo:

1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.

2. Ba điểm cùng thuộc một tia hoặc một một đường thẳng

3. Trong ba đoạn thẳng nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng kia.

4. Hai đoạn thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba.

5. Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

6. Đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm ấy có chứa điểm thứ ba.

7. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao trong tam giác .

8. Sử dụng tính chất hình bình hành.

9. Sử dụng tính chất góc nội tiếp đường tròn.

10. Sử dụng góc bằng nhau đối đỉnh

11. Sử dụng trung điểm các cạnh bên, các đường chéo của hình thang thẳng hàng

12. Chứng minh phản chứng

13. Sử dụng diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0

14. Sử dụng sự đồng qui của các đường thẳng.

Có mấy cách là của lớp khác nha.

Chúc bạn học tốt!

sao biết được tuỳ bài chứ, họ cho dữ kiện ntn thì mới biết đc

\(\Delta GHI\) cân tại \(I\), \(IG=IH>GH\)

\(\widehat{I}< 60^O\left(1\right)\)

\(\rightarrow\widehat{H}>60^O\) (theo định lý tổng 3 góc trong 1 tam giác) (2)

Vì cạnh huyền luôn lớn hơn 2 cạnh còn lại và ΔGHI cân , \(IG=IH>GH\) nên góc \(H< 90^O\) (3)

Từ (1),(2),(3) \(\rightarrow90^O>H>60^O>I\)

a) Chứng minh: △ABD = △EBD

Xét △ABD và △EBD có

AB = BE ( giả thuyết )

Góc B1 = góc B2 ( BD là tia phân giác của góc ABC )

BD: cạch chung

⇒ △ABD = △EBD ( c-g-c )

b) Chứng minh: DE ⊥ BC

Vì △ABD = △EBD ( chứng minh trên )

⇒ Góc BAD = góc BED = 90⁰ ( 2 góc tương ứng )

⇒ Góc BED = 90⁰

Vậy DE ⊥ BC

c) Chứng minh: BF // AC

Ta có AC ⊥ AB ( △ ABC vuông tại A )

Mà BF ⊥ AB ( giả thuyết )

⇒ AC // BF

Chứng minh: △ABC = △FCB

Ta có AC // BF ( chứng minh trên )

⇒ Góc ACB = góc FBC ( so le trong )

Xét △ABC và △FCB có

AC = FB ( giả thuyết )

Góc ACB = góc FCB ( chứng minh trên )

BC: cạch chung

Vậy △ABC = △FCB

Chúc bạn học tốt

bổ sung đoạn đầu; cho tam giác abc, k ....

Trả lời nhanh giúp mình nhé mình sắp phải nộp bài rồi cảm ơn các bạn nhiều

Hình vẽ:

Lời giải:

a) Xét tam giác $ABH$ và $ACK$ có:

\(AB=AC\) (gt)

\(\widehat{A}\) chung

\(AK=AH\) (gt)

\(\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACK(c.g.c)\Rightarrow BH=CK\)

b)

Vì \(AB=AC; AK=AH\Rightarrow AB-AK=AC-AH\Rightarrow BK=CH\)

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra:

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\Leftrightarrow \widehat{KBO}=\widehat{HCO}\)

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}\Rightarrow 180^0-\widehat{AHB}=180^0-\widehat{AKC}\)

\(\Rightarrow \widehat{CHO}=\widehat{BKO}\)

Xét tam giác $OKB$ và $OHC$ có:

\(KB=HC\) (cmt)

\(\widehat{OBK}=\widehat{OCH}\) (cmt)

\(\widehat{BKO}=\widehat{CHO}\) (cmt)

\(\Rightarrow \triangle OKB=\triangle OHC\) (g.c.g) (đpcm)

\(\Rightarrow OB=OC\)

c)

Xét tam giác $AOB$ và $AOC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} OB=OC(cmt)\\ \text{OA chung}\\ AB=AC\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AOB=\triangle AOC(c.c.c)\)

\(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\Rightarrow OA\) là phân giác góc $\widehat{BAC}$