Chương III : Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác - Hỏi đáp

Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN gặp nhau ở G

=> G là trọng tâm của tam giác

=> GB = BM; GC = CN

mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC

=> ∆GBC cân tại G => $\widehat{GCB}=\widehat{GBC}$

do đó ∆BCN = ∆CBM vì:

BC là cạnh chung

CN = BM (gt)

$\widehat{GCB}=\widehat{GBC}$ (cmt)

=> $\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ => ∆ABC cân tại A

Lời giải:
Bài toán tương đương với chứng minh $BH< BD< BM$

Thật vậy:

Do $AC> AB$ nên $\widehat{B}> \widehat{C}$

$\widehat{BAH}=90^0-\widehat{B}(1)$

$\widehat{BAD}=\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{180^0-(\widehat{B}+\widehat{C})}{2}>\frac{180^0-2\widehat{B}}{2}=90^0-\widehat{B}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{BAH}< \widehat{BAD}$

$\Rightarrow BH< BD(*)$

Trên tia đối của tia $BA$ lấy $T$ sao cho $AT=AC$

Dễ chứng minh $\triangle ADT=\triangle ADC$ (c.g.c)

$\Rightarrow DT=DC$ và $\widehat{ATD}=\widehat{C}$

$\widehat{DBT}=\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{A}+\widehat{ATD}=\widehat{A}+\widehat{BTD}> \widehat{BTD}$

$\Rightarrow DT> BD$. Mà $DT=DC$ nên $DC> BD$

$\Rightarrow \frac{BD}{BC}< \frac{1}{2}$ hay $\frac{BD}{BC}< \frac{BM}{BC}$

$\Rightarrow BD< BM(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow BH< BD< BM$ nên ta có đpcm.

Hình vẽ:

Với ∆DEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:

DE < EF + DF

DF < EF + DE

EF < DE + DF

DF - EF < DE < DF + EF (với DF > EF)

Trả lời

Với ∆DEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:

DE < EF + DF

DF < EF + DE

EF < DE + DF

DF - EF < DE < DF + EF (với DF > EF)

a) Xét ΔMPD và ΔEND ta có:

MD = ED (GT)

\(\widehat{MDP}=\widehat{NDE}\left(đối-đỉnh\right)\)

DP = DN (GT)

=> ΔMPD = ΔEND (c - g - c)

=> MP = NE (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có: MP < MN (GT)

Mà: MP = NE (cmt)

=> NE < MN
ΔMNE có NE < MN (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{NMD}< \widehat{E}\) (quan hệ giữa góc và cạnh trong cùng tam giác) (1)

ΔMPD = ΔEND (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{PMD}=\widehat{E}\) (2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{NMD}< \widehat{PMD}\)

Hay: \(\widehat{PMD}>\widehat{NMD}\)

c/ ΔMNE có: ND là đường trung tuyến của ME

Lại có: \(GN=\frac{2}{3}ND\left(GT\right)\)

=> G là trọng tâm của tam giác MNE

=> MG là trung tuyến của NE

Hay: MG đi qua trung điểm của NE

a) Xét ΔMPD và ΔEND ta có:

MD = ED (GT)

DP = DN (GT)

=> ΔMPD = ΔEND (c - g - c)

=> MP = NE (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có: MP < MN (GT)

Mà: MP = NE (cmt)

=> NE < MN
ΔMNE có NE < MN (cmt)

(quan hệ giữa góc và cạnh trong cùng tam giác) (1)

ΔMPD = ΔEND (cmt)

(2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2)

Hay:

c/ ΔMNE có: ND là đường trung tuyến của ME

Lại có:

=> G là trọng tâm của tam giác MNE

=> MG là trung tuyến của NE

Hay: MG đi qua trung điểm của NE

a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^0\\\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^0\end{matrix}\right.\) (kề bù)

Mà: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(GT\right)\)

=> Góc ABM = Góc ACN

Xét ΔABM và ΔACN ta có:

AB = AC (GT)

Góc ABM = Góc ACN (cmt)

BM = CN (GT)

=> ΔABM = ΔACN (c - g - c)

=> AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AMN cân tại A

b/ ΔABM = ΔACN (cmt)

=> Góc M = Góc N (2 góc tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông ΔHMB và ΔKNC ta có:

C.h BM = CN (GT)

Góc M = Góc N (cmt)

=> ΔHMB = ΔKNC (c.h - g.n)

=> BH = CK (2 cạnh tương ứng)

c/ Thiếu đề !

a) Ta có: (kề bù)

Mà:

=> Góc ABM = Góc ACN

Xét ΔABM và ΔACN ta có:

AB = AC (GT)

Góc ABM = Góc ACN (cmt)

BM = CN (GT)

=> ΔABM = ΔACN (c - g - c)

=> AM = AN (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác AMN cân tại A

b/ ΔABM = ΔACN (cmt)

=> Góc M = Góc N (2 góc tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông ΔHMB và ΔKNC ta có:

C.h BM = CN (GT)

Góc M = Góc N (cmt)

=> ΔHMB = ΔKNC (c.h - g.n)

=> BH = CK (2 cạnh tương ứng)

C. Đề phải fix

a) Sửa đề: AD = DH

Xét 2 tam giác vuông ΔABD và ΔHBD ta có:

Cạnh huyền BD chung

Góc ABD = Góc HBD (GT)

=> ΔABD = ΔHBD (c.h - g.n)

=> AD = DH (2 cạnh tương ứng)

b) Tam giác DCH vuông tại H

=> DH < DC (c.h > c.g.v)

Mà: AD = DH (cmt)

=> AD < DC

c) ΔABD = ΔHBD (cmt)

=> AB = BH (2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABH cân tại B

Lại có: BD là phân giác của tam giác ABH (GT)

=> BD là đường trung trực của AH

d/ Xét ΔADK và ΔHDC ta có:

\(\widehat{DAK}=\widehat{DHC}\left(=90^0\right)\)

AD = DH (cmt)

\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\left(đối-đỉnh\right)\)

=> ΔADK = ΔHDC (g - c - g)

=> AK = CH (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB+AK=BK\\BH+CH=BC\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=BH\left(cmt\right)\\AK=CH\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> BK = BC

=> Tam giác BKC cân tại B

a, Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có

BE : chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}\) (gt)
=> ΔABE = ΔHBE (ch-gn)
=> AB = HB ; AE = HE
=> B và E cùng thuộc đường t/trực của AH

=> BE là trung trực của AH

b, Xét ΔBKC có

CA ⊥ BK (gt)
KH ⊥ BC (gt)
CA \(\cap\) KH = {E}

=> E là trực tâm ΔBKC

=> BE ⊥ KC
Xét ΔBKC có BE ⊥ KC và BE là tia pg góc B

=> BE đồng thời là đường t/trực của CK (t/c tam giác cân)
P/s : câu b hơi tắt :v

Tham khảo akk :> Hình tự vẽ nhaaaaaaaa :333

a,

Ta có : D ; K ∈ AB và AD = DK = KD

=> AD = DK = \(\frac{1}{3}AB\) và AK = \(\frac{2}{3}AB\)

Do đó D là trđ AK

Mà QC = 1/3BC ; AB = BC (do ΔABC đều)
=> AD = QC và AK = BQ

b, Ta có KE // BC (gt)
=> \(\widehat{AKE}=\widehat{ABC};\widehat{AEK}=\widehat{ACB}\) ( đồng vị)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60^o\) (ΔABC đều)
=> \(\widehat{AKE}=\widehat{AEK}=60^o\)

=> ΔAKE đều

Mà ΔAKE có D là trđ AK

=> ED là đường cao của ΔAKE (t/c tam giác đều)
=> ED ⊥ AK

c, Ta có :

AK = QB (cmt)
AK = KE ( ΔAKE đều)

=> QB = DE
Tứ giác BKEQ có

KE // BQ (KE // BC và Q thuộc BC)
QB = DE (cmt)
=> Tứ giác BKEQ là bình bình hành

=> BK // EQ

=> \(\widehat{EQC}=\widehat{ABC}=60^o\) ( 2 góc đồng vị)
Xét ΔEQC có \(\widehat{EQC}=\widehat{ACB}=60^o\)

=> ΔEQC đều

a) Ta có: AD=DK=KB(gt)

mà AD+DK+KB=AB(gt)

nên \(AD=DK=KB=\frac{AB}{3}\)(1)

Ta có: ΔABC đều(gt)

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC=BC\\\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\end{matrix}\right.\)(Tính chất của tam giác đều)(2)

Ta có: \(CQ=\frac{1}{3}BC\)(gt)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AD=QC(đpcm)

b) Xét ΔAKE và ΔABC có

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AKE}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị, KE//BC)

Do đó: ΔAKE∼ΔABC(g-g)

⇒\(\frac{AK}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

mà AB=AC(cmt)

nên AK=AE

Xét ΔAKE có AK=AE(cmt)

nên ΔAKE cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔAKE cân tại A có \(\widehat{A}=60^0\)(cmt)

nên ΔAKE đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Ta có: AD=DK(gt)

mà A,D,K thẳng hàng(gt)

nên D là trung điểm của AK

Ta có: ΔAKE đều(cmt)

⇒ΔAEK cân tại E

mà ED là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AK(D là trung điểm của AK)

nên ED là đường cao ứng với cạnh AK(Định lí tam giác cân)

⇒ED⊥AK(đpcm)

d, Ta có ΔABI = ΔACI (cmt)
=> \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) ( 2 góc t/ứ)
Mà 2 góc này kề bù

=> \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\)

=> AI ⊥ BC

Xét ΔABC có

\(\left\{{}\begin{matrix}AI\perp BC\left(cmt\right)\\BK\perp AC\left(gt\right)\\BK\cap AI=\left\{H\right\}\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> H là trực tâm ΔABC

=> CH ⊥ AB