Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Tọa độ C là nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-17=0\\4x+3y-28=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(1;8\right)\)

Đường thẳng BC nhận (1;2) là vtpt đường thẳng CK nhận (4;3) là vtpt

Do B thuộc BC, gọi tọa độ B có dạng: \(B\left(-2b+17;b\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(2b-16;6-b\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng BM nhận \(\left(b-6;2b-16\right)\) là 1 vtpt

Do tam giác cân tại A \(\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{KCB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|1.4+2.3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{\left|1\left(b-6\right)+2\left(2b-16\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{\left(b-6\right)^2+\left(2b-16\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow2=\dfrac{\left|5b-38\right|}{\sqrt{5b^2-76b+292}}\)

\(\Leftrightarrow4\left(5b^2-76b+292\right)=\left(5b-38\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5b^2-76b+276=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=6\\b=\dfrac{46}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(5;6\right)\\B\left(-\dfrac{7}{5};\dfrac{46}{5}\right)\end{matrix}\right.\)

Trường hợp B(5;6) loại do khi đó \(\overrightarrow{BM}=\left(-1;-2\right)\) cùng phương BC (vô lý)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow N\left(...\right)\)

Đường cao AN qua N và nhận \(\overrightarrow{BC}\) là 1 vtpt  \(\Rightarrow\) phương trình AN

Đường thẳng AB qua B và vuông góc CK nên nhận (3;-4) là 1 vtpt \(\Rightarrow\) phương trình AB

\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AN và AB

Tính độ dài AN và BC \(\Rightarrow\) diện tích tam giác

Lấy \(N'\) đối xứng với \(N\) qua \(I\Rightarrow N'=\left(3;\dfrac{5}{3}\right)\)

Phương trình đường thẳng AB: \(\dfrac{x-2}{3-2}=\dfrac{y-\dfrac{4}{3}}{\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}}\Leftrightarrow x-3y+2=0\)

Phương trình đường thẳng BD: \(ax+by-3a-3b=0\left(a^2+b^2\ne0\right)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{BI^2+AI^2}=\sqrt{BI^2+4BI^2}=\sqrt{5}BI\)

\(\Rightarrow cosABD=\dfrac{BI}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\left|a-3b\right|}{\sqrt{10.\left(a^2+b^2\right)}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-3b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+7b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-7b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}BD:x+y-6=0\\BD:7x-y-18=0\end{matrix}\right.\)

\(\Delta\) có vecto chỉ phương \(\vec{u_{CP}}=\left(-2;9\right)\)

Phương trình tổng quát đường thẳng d:

\(-2\left(x+5\right)+9\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-9y+37=0\)

Gọi I là trung điểm MN \(\Rightarrow I\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\overrightarrow{NM}=\left(3;1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC qua I và vuông góc MN có dạng:

\(3\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow3x+y+1=0\)

A thuộc AC nên tọa độ có dạng: \(A\left(a;-3a-1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(1-a;3a+2\right)\\\overrightarrow{AN}=\left(-2-a;3a+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=0\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(-2-a\right)+\left(3a+2\right)\left(3a+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\) Giải pt ra \(a\Rightarrow\) tọa độ A

\(\Rightarrow\) Tọa độ B (tính qua N là trung điểm AB) và tọa độ D (tính qua M là trung điểm AD)

\(\Rightarrow\) Tọa độ C (tính dựa trên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\))

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{PA}=\left(a-4;-3\right)\\\overrightarrow{PB}=\left(-4;b-3\right)\end{matrix}\right.\)

\(PA\perp PB\Rightarrow\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}=0\)

\(\Rightarrow-4\left(a-4\right)-3\left(b-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(b-3\right)=-\dfrac{4}{3}\left(a-4\right)\)

Đồng thời \(b-3=-\dfrac{4}{3}\left(a-4\right)\Rightarrow b=-\dfrac{4}{3}\left(a-4\right)+3=-\dfrac{4}{3}a+\dfrac{25}{3}\)

Mà \(b\ge0\Rightarrow-\dfrac{4}{3}a+\dfrac{25}{3}\ge0\Rightarrow a\le\dfrac{25}{4}\)

\(S_{PAB}=\dfrac{1}{2}PA.PB=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a-4\right)^2+9}.\sqrt{16+\left(b-3\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a-4\right)^2+9}.\sqrt{\dfrac{16}{9}\left(a-4\right)^2+16}\)

\(=2\sqrt{\left[\left(a-4\right)^2+9\right]^2}=2\left(a-4\right)^2+18\)

\(\Rightarrow\dfrac{S}{2}=f\left(a\right)=a^2-8a+25\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=a^2-8a+25\) trên \(\left[0;\dfrac{25}{4}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=4\) ; \(f\left(0\right)=25\) ; \(f\left(4\right)=9\) ; \(f\left(\dfrac{25}{4}\right)=\dfrac{225}{16}\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)_{max}=f\left(0\right)=25\)

\(\Rightarrow a=0\Rightarrow b=\dfrac{25}{3}\Rightarrow T=2.0+3.\dfrac{25}{3}=25\)

Tham khảo:

Câu hỏi của Nguyễn Ngọc - Hoc24

1. Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì nằm trên phân giác 

\(\Rightarrow d\left(M;d_1\right)=d\left(M;d_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y-3\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{\left|12x+5y-12\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|39x-52y-39\right|=\left|60x+25y-60\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}60x+25y-60=39x-52y-39\\60x+25y-60=-39x+52y+39\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+11y-3=0\\11x-3y-11=0\end{matrix}\right.\)

Xét \(3x+11y-3=0\) có vtpt \(\left(3;11\right)\)

Ta có: \(cos^{-1}\dfrac{\left|3.3-11.4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}.\sqrt{3^2+11^2}}=52^0>45^0\) (ktm)

\(\Rightarrow11x-3y-11=0\) là pt đường phân giác góc nhọn tạo bởi d1 và d2

2.

Phương trình d1: \(\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2m=0\)

Đường tròn (C) có tâm \(O\left(0;0\right)\) bán kính \(R=1\)

Đường thẳng d1 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi:

\(d\left(O;d_1\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2m\right|}{\sqrt{2+2}}=1\Leftrightarrow\left|2m\right|=2\)

\(\Rightarrow m=\pm1\)

Ta có: d1 giao d2 có tọa độ A(1;0)

nếu ta gắn A(1;0) thành O(0;0) và d2 thành trục Ox

ta có thể ngầm tưởng như sau:

áp dụng công thức tính cos giữa 2 đg thẳng d1 và d2

=> cos alpha=\(\dfrac{16}{65}\)

=> cos giữa d3: đg phân giác của góc nhọn với d2 =\(\sqrt{\dfrac{81}{130}}\)

áp dụng công thức 1+ (tan \(\dfrac{alpha}{2}\))² =\(\dfrac{1}{cos\left(\dfrac{alpha}{2}\right)^2}\)

=> tan \(\dfrac{alpha}{2}\)=\(\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{81}{130}}-1}\)

tan \(\dfrac{alpha}{2}\)=\(\dfrac{7}{9}\)

mà tan alpha/2=k của d3 và d2

=> d3 có dạng y=\(\dfrac{7}{9}x\)

=> dạng d3 nếu bỏ gắn A thành O và d2 thành trục Ox sẽ có dạng

-by=\(\dfrac{7}{9}x+c\)

Vì d3 đi qua A(1;0)

=>\(-b.0=\dfrac{7}{9}.1+c\)

=>\(c=-\dfrac{7}{9}\)

=>d3:\(\dfrac{7}{9}x+by-\dfrac{7}{9}=0\)

=>\(7x+9by-7=0\)

mà cos alpha/2=\(\sqrt{\dfrac{81}{130}}=\dfrac{\text{| 7.12+9b.5 |}}{\sqrt{7^2+\left(9b\right)^2}\sqrt{12^2+5^2}}\)

\(=>\left[{}\begin{matrix}b=-\dfrac{7}{33}\\b=\dfrac{301}{219}\end{matrix}\right.\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}7x-\dfrac{21}{11}y-7=0\\7x+\dfrac{903}{73}-7=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}11X-3Y-11=0\\73X+129Y-73=0\end{matrix}\right.\)

Tính cos giữa \(11X-3Y-11=0\)

và d2 thõa mãn yêu cầu nên nhận

cos giữa \(73X+129Y-73=0\)

và d2 ko thõa mãn yêu cầu nên loại

mình mới nghỉ ra cách này thôi, nên còn nhiều thiếu xót

mình mới lớp 10 ak nha :< nên thầy cô nào xem được góp ý hộ con ạ :))