Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

d nhận (1;-2) là 1 vtcp

a. d' song song d nên nhận (1;-2) là 1 vtcp

Phương trình d': \(\dfrac{x+5}{1}=\dfrac{y-2}{-2}\)

b. d' vuông góc d nên nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtcp

Phương trình d': \(\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-2}{1}\)

\(\overrightarrow{EF}=\left(-3;1\right)\)

Do d song song EF nên d nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+2\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+3y-7=0\)

Gọi C là giao điểm của AB và \(\Delta\), O là giao điểm IM và AB

Gọi \(I=\left(m;n\right)\Rightarrow IM:x-3y-m+3n=0\)

\(M:\left\{{}\begin{matrix}x-3y-m+3n=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(\dfrac{m-3n}{4};\dfrac{3n-m}{4}\right)\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{\left(\dfrac{m-3n}{4}-m\right)^2+\left(\dfrac{3n-m}{4}-n\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}\left|m+n\right|}{4}\)

\(d\left(I,\Delta\right)=\dfrac{\left|m+n\right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow\left|m+n\right|=4\left(1\right)\)

\(\Rightarrow IM=\sqrt{10}\)

Ta có \(IO.IM=IA^2=R^2\Rightarrow IO=\dfrac{IB^2}{IM}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\)

\(d\left(I;AB\right)=\dfrac{\left|3m+n-2\right|}{\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}\Rightarrow\left|3m+n-2\right|=4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\&\left(2\right)\) tìm được tọa độ điểm I

Đến đây viết phương trình đường tròn tâm I có bán kính \(R=\sqrt{2}\) là được.

Đề sai rồi bạn ơi.

Nếu \(D=\left(2;2\right)\) thì không thuộc đường thẳng DH rồi.

a, \(\vec{u_{cp}}=\left(2;1\right)\Rightarrow\vec{n_{pt}}=\left(1;-2\right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta\): \(x-2y-5=0\)

\(\Rightarrow\) Hệ số góc là \(\dfrac{1}{2}\)

b, Phương trình tổng quát \(\Delta\): \(x-2y-5=0\)

c, Gọi \(M=\left(2m+5;m\right)\) là điểm cần tìm

Ta có \(OM=\sqrt{\left(2m+5\right)^2+m^2}=\sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow5m^2+20m+15=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M=\left(3;-1\right)\\M=\left(-1;-3\right)\end{matrix}\right.\)

Để hàm số đc xác định :

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge m-1\\x\le2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m-1\le x\le2m\)

Mà \(x\in\left(-1;3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\le-1\\2m\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\x\ge\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Hàm số xác định khi \(m-1\le x< 2m\)

Hàm số xác định trong khoảng \(\left(-1;3\right)\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1< m-1\\3\ge2m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0< m\le\dfrac{3}{2}\)

\(\Delta:2x+y-1=0\)

Gọi \(C=\left(0;m\right)\) thuộc trục tung.

Ta có \(d\left(C;\Delta\right)=3d\left(B;\Delta\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5\left|2.1+2.1-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{\left|2.0+1.m-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+1\right|=15\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=14\\m=-16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C=\left(0;14\right)\left(\text{loại do cùng phía với }\Delta\right)\\C=\left(0;-16\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C=\left(0;-16\right)\)

Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\), M là giao điểm của BB' và \(\Delta\)

BB' có phương trình: \(x-2y+3=0\)

M có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-1=0\\x-2y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{5}\\y=\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)

\(\Rightarrow B'=\left(-\dfrac{7}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)

AC có phương trình \(\dfrac{x}{0+\dfrac{7}{5}}=\dfrac{y+16}{-16-\dfrac{4}{5}}\Leftrightarrow84x+7y+112=0\)

A có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}84x+7y+112=0\\2x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{17}{10}\\y=\dfrac{22}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow A\left(-\dfrac{17}{10};\dfrac{22}{5}\right)\)

Đường thẳng BC đi qua C và vuông góc AH nên nhận (2;-1) là 1 vtpt

Phương trình BC: 

\(2\left(x-0\right)-1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow2x-y-2=0\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-2=0\\-x+y=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow B\left(2;2\right)\)

Phương trình đường thẳng d qua C và vuông góc BN có dạng:

\(1\left(x-0\right)+1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+y+2=0\)

Gọi D là giao điểm d và BN \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+2=0\\-x+y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-1;-1\right)\)

Gọi E là điểm đối xứng với C qua D \(\Rightarrow E\left(-2;0\right)\) đồng thời E thuộc AB

\(\Rightarrow\overrightarrow{EB}=\left(4;2\right)=2\left(2;1\right)\Rightarrow AB\) nhận (1;-2) là 1 vtpt

Phương trình AB: 

\(1\left(x-2\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+2=0\)

A là giao điểm AH và AB nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow A\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4}\right)\)

d, \(\dfrac{\left(sinx+cosx\right)^2-1}{2cotx-sin2x}=tan^2x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx-1}{2cotx-sin2x}=tan^2x\)

\(\Leftrightarrow2sinx.cosx=tan^2x\left(2cotx-sin2x\right)\)

\(\Leftrightarrow2sinx.cosx=\dfrac{sin^2x}{cos^2x}\left(2\dfrac{cosx}{sinx}-2sinx.cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow sinx.cosx=\dfrac{sinx}{cosx}-\dfrac{sin^3x}{cosx}\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x=sinx-sin^3x\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x=sinx\left(1-sin^2x\right)\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos^2x=sinx.cos^2x\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a, \(\left(1-sin^2x\right).tan^2x+\left(1-cos^2x\right).cot^2x=1\)

\(\Leftrightarrow cos^2x.\dfrac{sin^2x}{cos^2x}+sin^2x.\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=1\)

\(\Leftrightarrow sin^2x+cos^2x=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)

b, \(1-sin^2x-sin^2x.cot^2x=0\)

\(\Leftrightarrow cos^2x-cos^2x=0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

c, \(cos^4x+sin^2x.cos^2x+sin^2x=1\)

\(\Leftrightarrow\left(cos^2x+sin^2x\right).cos^2x+sin^2x=1\)

\(\Leftrightarrow cos^2x+sin^2x=1\)

\(\Rightarrowđpcm\)