Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

\(\overrightarrow{BC}=\left(-6;-2\right)=-2\left(3;1\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(1;4\right)\)

Phương trình trung trực BC: \(3\left(x-1\right)+1\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow3x+y-7=0\)

Tam giác IBC cân tại I nên I nằm trên trung trực BC

\(\Rightarrow\) Tọa độ I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-4=0\\3x+y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(2;1\right)\)

I thuộc (d) ⇒ Tham số hóa tọa độ \(I\left(x;\dfrac{4-x}{2}\right)\)

⇒ \(IB^2=\left(x-4\right)^2+\left(\dfrac{4-x}{2}-5\right)^2\)

và \(IC^2=\left(x+2\right)^2+\left(\dfrac{4-x}{2}-3\right)^2\)

Tam giác cân nên là IB² = IC², giải ra tìm x

Gọi \(\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của d 

\(\overrightarrow{AC}=\left(5;-2\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (2;5) là 1 vtpt

Do góc giữa d và AC bằng 45 độ

\(\Rightarrow cos45^0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left|2a+5b\right|}{\sqrt{2^2+5^2}.\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Leftrightarrow29\left(a^2+b^2\right)=2\left(2a+5b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow21a^2-40ab-21b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-7b\right)\left(7a+3b\right)=0\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(7;3\right)\\\left(3;-7\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}7\left(x-3\right)+3\left(y-5\right)=0\\3\left(x-3\right)-7\left(y-5\right)=0\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường thẳng denta có dạng: \(y=k\left(x-1\right)-3=kx-k-3\)

Để denta cắt 2 trục Ox, Oy tạo thành tam giác \(\Rightarrow k\ne\left\{0;-3\right\}\)

Khi đó ta có: \(A\left(\dfrac{k+3}{k};0\right)\) \(\Rightarrow OA=\left|\dfrac{k+3}{k}\right|\)

\(B\left(0;-k-3\right)\Rightarrow OB=\left|k+3\right|\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=2\Leftrightarrow OA.OB=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(k+3\right)^2}{\left|k\right|}=4\Leftrightarrow\left(k+3\right)^2=4\left|k\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k^2+6k+9=4k\\k^2+6k+9=-4k\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k^2+2k+9=0\left(vn\right)\\k^2+10k+9=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=-1\\k=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-x-2\\y=-9x+6\end{matrix}\right.\)

Denta tạo với d1, d2 1 tam giác cân với đỉnh là giao điểm của d1, d2 khi và chỉ khi denta vuông góc phân giác tạo bởi d1, d2

Gọi \(A\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc phân giác tạo bởi 2 đường thẳng d1, d2

\(\Rightarrow\dfrac{\left|x-7y+17\right|}{\sqrt{1^2+\left(-7\right)^2}}=\dfrac{\left|x+y-5\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\Leftrightarrow\left|x-7y+17\right|=\left|5x+5y-25\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x+5y-25=x-7y+17\\5x+5y-25=-x+7y-17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3y+\dfrac{21}{2}=0\\3x-y-4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta\) nhận \(\left(3;-1\right)\) hoặc \(\left(1;3\right)\) là 1 vtpt

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}3\left(x-0\right)-1\left(y-1\right)=0\\1\left(x-0\right)+3\left(y-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

Để d1 cắt d2 \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-1\right)\ne-2\Leftrightarrow m^2\ne-1\) (luôn đúng)

Do đó d1 luôn cắt d2

Pt tọa độ giao điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)x-2y=m+1\\x+\left(m-1\right)y=m^2\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x-2\left(m-1\right)y=m^2-1\\2x+2\left(m-1\right)y=2m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x=3m^2-1\\2x+2\left(m-1\right)y=2m^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m^2-1}{m^2+1}\\y=\dfrac{2\left(m+1\right)\left(m^2-1\right)}{m^2+1}\end{matrix}\right.\) 

Để giao điểm thuộc Oy \(\Leftrightarrow x=0\Rightarrow\dfrac{3m^2-1}{m^2+1}=0\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có: \(A\left(x_A;0\right)\) ; \(B\left(0;y_B\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_A+0}{2}=5\\\dfrac{0+y_B}{2}=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(10;0\right)\\B\left(0;-6\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình d theo đoạn chắn:

\(\dfrac{x}{10}+\dfrac{y}{-6}=1\Leftrightarrow-3x+5y+30=0\)

\(\overrightarrow{QP}=\left(4;2\right)=2\left(2;1\right)\)

a. d song song PQ nên nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1.\left(x-0\right)-2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow...\)

b. Gọi M là trung điểm PQ \(\Rightarrow M\left(2;-1\right)\)

d đi qua M và vuông góc PQ nên nhận (2;1) là 1 vtpt

Phương trình: \(2\left(x-2\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow...\)

a. Đường thẳng Ox nhận \(\left(0;1\right)\) là 1 vtpt và đi qua O(0;0) nên có pt:

\(0\left(x-0\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow y=0\)

b. Đường thẳng Oy nhận (1;0) là 1 vtpt và đi qua O nên có pt:

\(1\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

c. Gọi \(M\left(x;y\right)\) với \(x;y>0\) là 1 điểm bất kì nằm trên phân giác góc phần tư thứ nhất

\(\Rightarrow d\left(M;Ox\right)=d\left(M;Oy\right)\Leftrightarrow\dfrac{\left|x\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\dfrac{\left|y\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}\Leftrightarrow x-y=0\)