Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

H đối xứng B qua G \(\Rightarrow\overrightarrow{BH}=2\overrightarrow{BG}=2\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AH}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)

\(=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

a. Gọi \(E\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{EA}=\left(1-x;3-y\right)\) ; \(\overrightarrow{EB}=\left(5-x;4-y\right)\) ; \(\overrightarrow{ED}=\left(-3-x;-4-y\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ED}-3\overrightarrow{EB}=\left(x-17;y-13\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-17=0\\y-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(17;13\right)\)

b. Hạ AH vuông góc CD

\(S_{ADI}=\dfrac{1}{2}AH.DI\) ; \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AH.\left(AB+CD\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AH.DI=\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}AH\left(AB+CD\right)\)

\(\Rightarrow DI=\dfrac{3}{5}\left(AB+CD\right)=\dfrac{3}{5}\left(AB+DI+AB\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{5}DI=\dfrac{6}{5}AB\Rightarrow DI=3AB\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{DI}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow I\left(9;-1\right)\)

Phương trình AI: \(x+2y-7=0\)

Phương trình BD: \(x-y-1=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-7=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(3;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;0\right)=4\left(1;0\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(3;3\right)=3\left(1;1\right)\)

Gọi M là trung điểm AB, N là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M\left(1;1\right)\\N\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình trung trực AB:

\(1\left(x-1\right)+0\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-1=0\)

Phương trình trung trực AC:

\(1\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{5}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

Tọa độ I là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;2\right)\)

Do trắc nghiệm nên ta chỉ cần xét trường hợp đặc biệt nhất: đường thẳng này đi qua B, khi đó M trùng B và N là trung điểm AC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)

Đồng thời do \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) nên đáp án D đúng

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTVVIP         , nguyen thi vang 

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTVVIP         , nguyen thi vang 

Nguyễn Lê Phước Thịnh CTVVIP         , nguyen thi vang 

1) Cho tam giac ABC co A( -1;2); B(0;3); C(5;-2). Tim toa do chan duong cao ha tu dinh A cua tam giac ABC.

                                      Giải

Gọi tọa độ châ đường cao là H( a,b).

-Do AH vuông góc BC và BH vuông góc AC nên ta có:

  \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

<=> Hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}5x-5y=-15\\6x-4y=-12\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.\)

Chọn A.