Ta có: \(M\left( {0;y} \right)\)
Lại có: \(\overrightarrow {MA} \left( {1;1 - y} \right),\overrightarrow {MB} \left( {2; - 2 - y} \right)\)
Theo yêu cầu bài toán, suy ra: \({1^2} + {\left( {1 - y} \right)^2} = {2^2} + {\left( {2 + y} \right)^2} \Leftrightarrow 1 + 1 - 2y + {y^2} = 4 + 4 + 4y + {y^2} \Leftrightarrow y = - 1\)
Nên \(M\left( {0; - 1} \right)\)
Vậy \(a = 0,b = - 1 \Rightarrow a + b = 0 + \left( { - 1} \right) = - 1\)
Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = 2, AD = 1. Kẻ AH vuông góc với AB; M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CD.
Tích vô hướng của \(\overrightarrow{MN}\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AH}\right)\)bằng:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
Em coi lại đề
Kẻ AH vuông góc với AB là thấy sai sai rồi đó
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng 1. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho BM = 2MA; N trên AC sao cho AN = 3NC. Tích vô hướng của \(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}\) bằng:
A. \(-\dfrac{1}{8}\)
B. \(\dfrac{1}{9}\)
C. \(\dfrac{1}{8}\)
D. \(\dfrac{3}{4}\)
\(BM=2MA\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\); \(AN=3NC\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(-\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\left(\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\dfrac{5}{16}AB^2-\dfrac{3}{16}AD^2=\dfrac{1}{8}AB^2=\dfrac{1}{8}\) (chú ý rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) và \(AB=AD=1\))
Cho tứ giác ABCD, 2 đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABO và CDO. I, J là trung điểm AD, BC. Chứng minh HK vuông góc với IJ
Tính \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\) biết \(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\) ⊥ \(\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)\)
Từ giả thiết ta có:
\(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}.5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.4\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}.5\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}.4\overrightarrow{b}=0\)
\(\Leftrightarrow5a^2+6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-8b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0^o\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=180^o\)
Làm lại đây nha, nãy buồn ngủ nên làm hơi ngu.
Từ giả thiết ta có:
\(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0^o\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=180^o\)
Giúp mình câu 2, 3, 4
2. Hai tam giác vuông EAD và FCD bằng nhau (\(FC=EA;CD=AD\))
\(\Rightarrow\widehat{DEA}=\widehat{DFC}\) ; mà \(\widehat{DEA}=\widehat{EDC}\) (so le trong)
\(\Rightarrow\widehat{DFC}=\widehat{EDC}\)
Lại có \(\Delta DFC\) vuông \(\Rightarrow\widehat{DFC}+\widehat{FDC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EDC}+\widehat{FDC}=90^0\Rightarrow\widehat{EDF}=90^0\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{ED}.\overrightarrow{DF}=0\)
3.
3.
\(DM=2CD=2a\Rightarrow AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=a\sqrt{5}\)
\(MH.MA=DM^2\Rightarrow MH=\dfrac{DM^2}{MA}=\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MH}=MC.MH.cos\widehat{AMD}=a.\dfrac{4a\sqrt{5}}{5}.\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{8a^2}{5}\)
b.
Hai điểm B và K cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow\) Tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn đường kính AC
\(\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{BCA}=45^0\) (cùng chắn AB) (1)
Tương tự, hai điểm I và H cùng nhìn AD dưới 1 góc vuông
\(\Rightarrow AHID\) nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{DHI}=\widehat{DAI}=45^0\) (cùng chắn AI)
Mà \(\widehat{DHM}=90^0\Rightarrow\widehat{IHM}=\widehat{DHM}-\widehat{DHI}=45^0\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{IHM}\Rightarrow HI||BK\) (hai góc so le trong bằng nhau)
4.
Từ tọa độ ta có hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng có pt \(x+y-1=0\)
Kéo dài QM cắt BC tại E, nối CM cắt PQ tại F
Tam giác MQD vuông và có \(\widehat{QDM}=45^0\Rightarrow\Delta MQD\) vuông cân
\(\Rightarrow QM=QD=EC\)
Mà \(MP=ME\) theo tính đối xứng của hv \(\Rightarrow\Delta_VMQP=\Delta_VECM\)
\(\Rightarrow\widehat{MQP}=\widehat{ECM}\)
Mà \(\widehat{FMQ}=\widehat{CME}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{MFQ}=\widehat{MEC}=90^0\)
\(\Rightarrow MF\perp PQ\)
Đường thẳng MF qua \(M\left(1;1\right)\) và vuông góc PQ có pt \(x+y-1=0\) nên nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình MF: \(1\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)
C thuộc MF nên tọa độ C thỏa mãn: \(6-2c-c=0\Leftrightarrow c=2\Rightarrow C\left(2;2\right)\)
Cho tam giác ABC. Gọi \(l_a\) là độ dài đường phân giác kẻ từ A. CMR:
a,\(l_a=\dfrac{2bc.cos\dfrac{1}{2}}{b+c}\)
b,\(cos\dfrac{1}{2}=\sqrt{\dfrac{p\left(p-a\right)}{bc}}\)
Đề viết sai, cosA/2 không phải cos1/2.
Gọi D là chân đường phân giác góc A, ta có:
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{1}{2}l_a.c.sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}l_a.b.sin\dfrac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow bc.sinA=l_a\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow l_a=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{A}{2}}{\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}}=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}}{b+c}\)
cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , BC=b , K là chân đường vuông góc hạ từ B tới đoạn AC , gọi M, N lần lượt là trung điểm của AK và CD ; tìm điều kiện của a,b để tam giác BMN vuông cân tại M
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích36cm2,hình chữnhật có chu vi nhỏ nhất là
Gọi độ dài hai cạnh là \(a,b\left(a,b>0\right)\)
Từ giả thiết suy ra \(36=ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{P^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow P^2\ge144\)
\(\Leftrightarrow P\ge12\)
\(minP=12\Leftrightarrow a=b=6\)