Chương I : Số hữu tỉ. Số thực - Hỏi đáp

Ta có công thức: n=2k+1\(\left(k\in N\right)\)

Ta có công thức tính tổng trong hàng: 2k+1+(2k+1)+1+(2k+1)+2+...+(2k+1)+z(\(z\in N,z>0\))

\(\Rightarrow\) Tổng các số hàng 20: \(20\left[2\left(1+2+...+19\right)+1\right]+1+2+...+19=7810\)

Giúp mình nha!

Mai mình nộp rồi.

\(\left|x+\dfrac{1}{101}\right|+\left|x+\dfrac{2}{101}\right|+.....+\left|x+\dfrac{100}{101}\right|=101x\left(1\right)\)

VT(1) \(\ge0\) \(\Rightarrow VP\left(1\right)\ge0\Rightarrow101x\ge0\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x+\dfrac{1}{101}\right|+\left|x+\dfrac{2}{101}\right|+...+\left|x+\dfrac{100}{101}\right|=100x+\dfrac{5050}{101}=101x\\ \Rightarrow x=50\)

tim gtln

Bài này có 2 cách làm đó là phân ra TH và lập bàng ( Bạn cần các phân ra TH thì mình sẽ làm cho )

\(x-y+2xy=3\\ \Leftrightarrow2x-2y+4xy=6\\ \Leftrightarrow2x+4xy-2y-1=6-1\\ \Leftrightarrow2x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)=5\\ \Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2y+1\right)=5\left(1\right)\)

Ta có: \(5=5.1=1.5=\left(-5\right).\left(-1\right)=\left(-1\right).\left(-5\right)\) nên từ (1) ta có các trường hợp:

- TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=5\\2y-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=6\\2y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)

- TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=1\\2y-1=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=5\\2y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\)

- TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=-5\\2y-1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-4\\2y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=0\end{matrix}\right.\)

- TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=-1\\2y-1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=0\\2y=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy, các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn bài toán là: \(\left(3;1\right),\left(1;3\right),\left(-2;0\right),\left(0;-2\right)\)

\(x-y+2xy=3\\ \Rightarrow2x-2y+4xy=6\\ \Rightarrow2x\left(2y+1\right)-\left(2y+1\right)=5\\ \Rightarrow\left(2y+1\right)\left(2x-1\right)=5\)

Lập bảng !!

Ta có:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}\Rightarrow\left(\dfrac{x}{5}\right)^2=\left(\dfrac{y}{7}\right)^2=\left(\dfrac{z}{3}\right)^2\Rightarrow\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{49}=\dfrac{z^2}{9}\)

Theo tính chất của dãy các tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}\Rightarrow\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{49}=\dfrac{z^2}{9}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{25+49-9}=\dfrac{585}{65}=9\)

Vậy:

\(\left(\dfrac{x}{5}\right)^2=3^2\Rightarrow\dfrac{x}{5}=3\) hoặc \(\dfrac{x}{5}=-3\)

\(\left(\dfrac{y}{7}\right)^2=3^2\Rightarrow\dfrac{y}{7}=3\) hoặc \(\dfrac{y}{7}=-3\)

\(\left(\dfrac{z}{3}\right)^2=3^2\Rightarrow\dfrac{z}{3}=3\) hoặc \(\dfrac{z}{3}=-3\)

Do đó:

x =15 x = -15

y =21 hoặc y = -21

z = 9 z = -9

\(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}=\dfrac{z}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{47}=\dfrac{z^2}{9}\)

Áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x^2}{25}=\dfrac{y^2}{49}=\dfrac{z^2}{9}=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{25+49-9}=\dfrac{585}{65}=9\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2}{25}=9\\\dfrac{y^2}{49}=9\\\dfrac{z^2}{9}=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=15\\x=-15\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=21\\y=-21\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}z=9\\z=-9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy ..

Đây là 7 hằng đẳng thức, bộ lớp 7 em chưa học hả?

Đặt \(A=2^{2009}+2^{2008}+...+2^1+2^0.\)

Ta có : \(2A=2^{2010}+2^{2009}+...+2^2+2^1.\)

Suy ra : \(2A-A=2^{2010}-2^0\Rightarrow A=2^{2010}-1.\)

Do đó \(M=2^{2010}-A=2^{2010}-\left(2^{2010}-1\right)=1.\)

Ta sẽ chứng minh công thức tổng quát 1² + 2² + 3² +......+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức: (k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1 với k lần lượt là 1,2,3,...,n
Ta có:
2³ = (1 + 1)³ = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1
3³ = (2 + 1)³ = 2³+ 3.2²+ 3.2 + 1
4³ = (3 + 1)³ = 3³ + 3.3²+ 3.3 + 1
........................................
(n + 1)³ = (n + 1)³ = n³+ 3.n² + 3.n + 1
Cộng vế theo vế và rút gọn, ta có:
(n + 1)³= 1³ + 3(12 + 2² + 3² +........+ n²) + 3n(n + 1)/2 + n
<=> 3(1² + 2²+ 3²+........+ n²) = (n + 1)³ − 1 − 3n(n + 1)/2 −n
<=> 3(1² + 2² + 3² +........+ n²) = (2(n + 1)³ − 3n(n + 1) - 2n - 2)/2
<=> 1²+ 2² + 3² +........+ n² = (2(n + 1)³ − 3n(n + 1) - 2n - 2)/6
<=> 1² + 2² + 3² +........+ n² = (2n³ + 3n² + n)/6
<=> 1² + 2² + 3² +........+ n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Lời giải:

Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=k\Rightarrow a=ck; c=bk\)

Khi đó:

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{(ck)^2+c^2}{b^2+(bk)^2}=\frac{c^2(k^2+1)}{b^2(k^2+1)}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{(bk)^2}{b^2}=k^2\)

\(\frac{a}{b}=\frac{ck}{b}=\frac{bk.k}{b}=k^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)

\(VT=\frac{6}{\left(x-1\right)^2+2}\le\frac{6}{2}=3\)

\(VP=\left|y-2\right|+3\ge3\)

\(\Rightarrow VP\ge VT."="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x+y\right|\) cùng tính chẵn lẻ với \(x+y\)

\(\left|y-z\right|\) cùng tính chẵn lẻ với \(y-z\)

\(\left|z-t\right|\) cùng tính chẵn lẻ với \(z-t\)

\(\left|t-x\right|\) cùng tính chẵn lẻ với \(t-x\)

'\(\Rightarrow\left|x+y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-t\right|+\left|t-x\right|\) cùng tính chẵn lẻ với \(x+y+y-z+z-t+t-x=2y⋮2\)

Mà \(2011⋮̸2\rightarrow ptvn\)

Đặt \(A=2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+n.2^n\)

\(\Leftrightarrow2A=2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+n.2^{n+1}\)

\(\Leftrightarrow2A-A=2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+n.2^{n+1}-\left(2.2^2+3.2^3+4.2^4+...+n.2^n\right)\)

\(\Leftrightarrow A=-2.2^2-2^3-2^4-....-2^n+n.2^{n+1}\)

\(\Leftrightarrow A=-2^{n+1}+n.2^{n+1}=\left(n-1\right).2^{n+1}\)

mà \(A=2^{n+11}\) \(\Leftrightarrow\left(n-1\right).2^{n+1}=2^{n+11}\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right).2^n.2=2^n.2^{11}\)

\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)=2^{10}\)

\(\Leftrightarrow n=2^{10}+1\)