Chương I : Số hữu tỉ. Số thực - Hỏi đáp

Vũ Minh Tuấn CTV Hôm qua lúc 17:49

\(\left(4x-1\right)^{30}=\left(4x-1\right)^{20}\)

\(\Rightarrow\left(4x-1\right)^{30}-\left(4x-1\right)^{20}=0\)

\(\Rightarrow\left(4x-1\right)^{20}.\left[\left(4x-1\right)^{10}-1\right]=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(4x-1\right)^{20}=0\\\left(4x-1\right)^{10}-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-1=0\\\left(4x-1\right)^{10}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x=1\\4x-1=1\\4x-1=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\4x=2\\4x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\x=\frac{1}{2}\\x=0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{1}{4};\frac{1}{2};0\right\}.\)

Chúc bạn học tốt!

Nguyễn Lê Phước Thịnh Hôm qua lúc 17:42

Ta có: \(\left(4x-1\right)^{30}=\left(4x-1\right)^{20}\)

\(\Rightarrow\left(4x-1\right)^{30}-\left(4x-1\right)^{20}=0\)

\(\Rightarrow\left(4x-1\right)^{20}.\left[\left(4x-1\right)^{10}-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(4x-1\right)^{20}=0\\\left[\left(4x-1\right)^{10}-1\right]=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x-1=0\\\left(4x-1\right)^{10}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x=1\\4x-1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\4x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\in\left\{\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right\}\)

Nguyên Hôm kia lúc 10:15

1. Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:

\(A=\frac{\frac{3}{7}-\frac{3}{17}+\frac{3}{37}}{\frac{5}{7}-\frac{5}{17}+\frac{5}{37}}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}-\frac{7}{4}+\frac{7}{3}-\frac{7}{2}}\)\(=\frac{3.\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{17}+\frac{1}{37}\right)}{5.\left(\frac{1}{7}-\frac{5}{7}+\frac{1}{37}\right)}+\frac{-\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)}{7.\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)}\)

RÕ RÀNG : \(\frac{1}{7}-\frac{5}{7}+\frac{1}{37}\ne0\);\(\frac{-1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\ne0\)

Do đó : \(A=\frac{3}{5}+\frac{-1}{7}=\frac{16}{35}\)

tik mik nha!!!!

Vũ Minh Tuấn CTV 18 tháng 1 lúc 21:53

Đề bài sai không bạn? Lý Huyền Trang

Vũ Minh Tuấn CTV 17 tháng 1 lúc 21:07

Đổi ra phân số chứ:

\(4,\left(3\right)=\frac{13}{3}.\)

Chúc bạn học tốt!

Nguyễn Thành Trương 17 tháng 1 lúc 20:01

Nguyễn Thành Trương 17 tháng 1 lúc 20:09

Sửa đề em nhé!

Nguyễn Việt Lâm 16 tháng 4 2019 lúc 23:28

- Với \(y=0\Rightarrow x^2=35\) (ko có x nguyên thỏa mãn)

- Với \(y\ne0\), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}3^y\equiv0\left(mod3\right)\\35\equiv2\left(mod3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3^y+35\equiv2\left(mod3\right)\)

Nếu \(x=3k\Rightarrow x^2\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow\) pt vô nghiệm

Nếu \(x=3k+1\Rightarrow x^2=3\left(3k^3+2k\right)+1\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow\) ptvn

Nếu \(x=3k+2\Rightarrow x^2=3\left(3k^2+2k+1\right)+1\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow ptvn\)

Vậy không tồn tại x, y nguyên thỏa mãn pt đã cho

Vũ Minh Tuấn CTV 12 tháng 1 lúc 17:20

Ta xét 51 nhóm sau:
Nhóm 1: Các số tự nhiên chia hết cho 100
Nhóm 2: Các số tự nhiên chia 100 dư 1 và 99
Nhóm 3: Các số tự nhiên chia 100 dư 2 và 98
...
Nhóm 51: Các số tự chia 100 dư 50
Nếu có 2 số cùng chia hết cho 100 thì bài toán đã chứng minh
Nếu không có 2 số chia hết 100 thì ta làm như sau:
Vì có 52 số mà có 51 nhóm nên theo nguyên lí Đi rich lê phải có 1 nhóm có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100
=> Đpcm.

Chúc bạn học tốt!

Nguyễn Lê Phước Thịnh 12 tháng 1 lúc 16:35 Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100, ta có thể có các số dư từ 0, 1, 2, …, 99. Ta phân các số dư thành các nhóm sau: {0}; {1, 99}; …, {49, 51}, {50}. Ta có tất cả 51 nhóm và khi chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư. Theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 2 số dư cùng thuộc một nhóm. Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100 Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau, suy ra tổng của hai số có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100

Ta suy ra điều phải chứng minh.

Akai Haruma Giáo viên 12 tháng 1 lúc 17:40

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là $A$

Với mọi $a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\frac{a}{a+b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}$

$\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}> \frac{c}{a+b+c+d}$

$\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}$

Cộng theo vế:

$D> \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$ hay $D>1(*)$

Mặt khác:

Xét $\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$ với mọi $a,b,c,d>0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}$
Tương tự:

$\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}$

$\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}$

$\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}$

Cộng theo vế:

$A< \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$ hay $A< 2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không phải số tự nhiên.

Vũ Minh Tuấn CTV 12 tháng 1 lúc 17:37

Ta có:

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{d}{bd}+\frac{b}{bd}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{d+b}{bd}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{b+d}{bd}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{b+d}{2bd}.\)

\(\Rightarrow2bd=c.\left(b+d\right)\) (1).

Vì b là trung bình cộng của a và c (gt).

\(\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}.\)

Thay \(b=\frac{a+c}{2}\) vào (1) ta được:

\(2.\frac{a+c}{2}.d=c.\left(\frac{a+c}{2}+d\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+c\right).d}{1}=\frac{c.\left(a+c+2d\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\left(a+c\right).2d=c.\left(a+c+2d\right)\)

\(\Rightarrow2ad+2cd=ac+c^2+2cd\)

\(\Rightarrow2ad=ac+c^2\)

\(\Rightarrow2ad=c.\left(a+c\right)\)

Mà \(a+c=2b\) (vì b là trung bình cộng của a và c).

\(\Rightarrow2ad=c.2b\)

\(\Rightarrow2ad=2bc\)

\(\Rightarrow ad=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Vũ Minh Tuấn CTV 12 tháng 1 lúc 18:48

Cách khác:

\(\left(7x-5y\right)^{2018}+\left(3x-2z\right)^{2020}+\left(xy+yz+zx-4500\right)^{2022}=0\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(7x-5y\right)^{2018}\ge0\\\left(3x-2z\right)^{2020}\ge0\\\left(xy+yz+zx-4500\right)^{2022}\ge0\end{matrix}\right.\forall x,y,z.\)

\(\Rightarrow\left(7x-5y\right)^{2018}+\left(3x-2z\right)^{2020}+\left(xy+yz+zx-4500\right)^{2022}\ge0\) \(\forall x,y,z.\)

\(\Rightarrow\left(7x-5y\right)^{2018}+\left(3x-2z\right)^{2020}+\left(xy+yz+zx-4500\right)^{2022}=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(7x-5y\right)^{2018}=0\\\left(3x-2z\right)^{2020}=0\\\left(xy+yz+zx-4500\right)^{2022}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-5y=0\\3x-2z=0\\xy+yz+zx-4500=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=5y\\3x=2z\\xy+yz+zx=4500\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\\\frac{x}{2}=\frac{z}{3}\\xy+yz+zx=4500\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{10}=\frac{y}{14}\\\frac{x}{10}=\frac{z}{15}\\xy+yz+zx=4500\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}\\xy+yz+zx=4500\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10k\\y=14k\\z=15k\end{matrix}\right.\)

Có: \(xy+yz+zx=4500\)

\(\Rightarrow10k.14k+14k.15k+15k.10k=4500\)

\(\Rightarrow140.k^2+210.k^2+150.k^2=4500\)

\(\Rightarrow k^2.\left(140+210+150\right)=4500\)

\(\Rightarrow k^2.500=4500\)

\(\Rightarrow k^2=4500:500\)

\(\Rightarrow k^2=9\)

\(\Rightarrow k=\pm3.\)

+ TH1: \(k=3.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10.3=30\\y=14.3=42\\z=15.3=45\end{matrix}\right.\)

+ TH2: \(k=-3.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10.\left(-3\right)=-30\\y=14.\left(-3\right)=-42\\z=15.\left(-3\right)=-45\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(30;42;45\right),\left(-30;-42;-45\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Akai Haruma Giáo viên 12 tháng 1 lúc 17:47

Lời giải:

Ta thấy:

$(7x-5y)^{2018}\geq 0, \forall x,y$

$(3x-2z)^{2020}\geq 0, \forall x,z$

$(xy+yz+xz-4500)^{2022}\geq 0, \forall x,y,z$

Do đó để tổng $(7x-5y)^{2018}+(3x-2z)^{2020}+(xy+yz+xz-4500)^{2022}=0$ thì:

$(7x-5y)^{2018}=(3x-2z)^{2020}=(xy+yz+xz-4500)^{2022}=0$

$\Leftrightarrow$ \(\left\{\begin{matrix} 7x=5y(1)\\ 3x=2z(2)\\ xy+yz+xz=4500(3)\end{matrix}\right.\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow y=\frac{7}{5}x; z=\frac{3}{2}x$

Thay vào $(3)$:

$x.\frac{7}{5}x+\frac{7}{5}x.\frac{3}{2}x+x.\frac{3}{2}x=4500$

$\Leftrightarrow x^2=900\Rightarrow x=\pm 30$

Nếu $x=30\Rightarrow y=42; z=45$

Nếu $x=-30\Rightarrow y=-42; z=-45$

Vũ Minh Tuấn CTV 12 tháng 1 lúc 17:50

Tham khảo:

Chúc bạn học tốt!

Vũ Minh Tuấn CTV 12 tháng 1 lúc 17:45

\(3^{x-1}+4.3^{x-2}=\frac{7}{243}\)

\(\Rightarrow3^1.3^{x-2}+4.3^{x-2}=\frac{7}{243}\)

\(\Rightarrow3^{x-2}.\left(3^1+4\right)=\frac{7}{243}\)

\(\Rightarrow3^{x-2}.7=\frac{7}{243}\)

\(\Rightarrow3^{x-2}=\frac{7}{243}:7\)

\(\Rightarrow3^{x-2}=\frac{1}{243}\)

\(\Rightarrow3^{x-2}=3^{-5}\)

\(\Rightarrow x-2=-5\)

\(\Rightarrow x=\left(-5\right)+2\)

\(\Rightarrow x=-3\)

Vậy \(x=-3.\)

Chúc bạn học tốt!

Akai Haruma Giáo viên 12 tháng 1 lúc 17:32

Lời giải:

$3^{x-1}+4.3^{x-2}=\frac{7}{243}$
$\Leftrightarrow 3. 3^{x-2}+4.3^{x-2}=\frac{7}{243}$

$\Leftrightarrow 3^{x-2}(3+4)=\frac{7}{243}$

$\Rightarrow 3^{x-2}=\frac{1}{243}=3^{-5}$

$\Rightarrow x-2=-5$

$\Rightarrow x=-3$