Phân tích các công thức nhân đôi và lấy ví dụ
Phân tích các công thức nhân đôi và lấy ví dụ
Cho A, B, C là 3 góc nhọn của tam giác ABC. Chứng minh:
a) \(tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\)
Tính min P với \(P=tanA+tanB+tanC\)
b) \(tan\left(\dfrac{A}{2}\right).tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)tan\left(\dfrac{C}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right).tan\left(\dfrac{A}{2}\right)=1\)
Tìm min T với \(T=tan\left(\dfrac{A}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right)\)
Câu a)
Ta sử dụng 2 công thức:
\(\bullet \tan (180-\alpha)=-\tan \alpha\)
\(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\text{VT}=\tan A+\tan B+\tan C=\tan A+\tan B+\tan (180-A-B)\)
\(=\tan A+\tan B-\tan (A+B)=\tan A+\tan B-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}\)
\(=(\tan A+\tan B)\left(1+\frac{1}{1-\tan A.\tan B}\right)=(\tan A+\tan B).\frac{-\tan A.\tan B}{1-\tan A.\tan B}\)
\(=-\tan A.\tan B.\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}=-\tan A.\tan B.\tan (A+B)\)
\(=\tan A.\tan B.\tan (180-A-B)\)
\(=\tan A.\tan B.\tan C=\text{VP}\)
Do đó ta có đpcm
Tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nên \(\tan A, \tan B, \tan C>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(P=\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt[3]{\tan A.\tan B.\tan C}\)
\(\Leftrightarrow P=\tan A+\tan B+\tan C\geq 3\sqrt[3]{\tan A+\tan B+\tan C}\)
\(\Rightarrow P\geq 3\sqrt[3]{P}\)
\(\Rightarrow P^3\geq 27P\Leftrightarrow P(P^2-27)\geq 0\)
\(\Rightarrow P^2-27\geq 0\Rightarrow P\geq 3\sqrt{3}\)
Vậy \(P_{\min}=3\sqrt{3}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
Câu b)
Ta sử dụng 2 công thức chính:
\(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)
\(\bullet \tan (90-\alpha)=\frac{1}{\tan \alpha}\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\text{VT}=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan (90-\frac{A+B}{2})(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\tan (\frac{A+B}{2})}\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}}\)
\(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1=\text{VP}\)
Ta có đpcm.
Cũng giống phần a, ta biết do ABC là tam giác nhọn nên
\(\tan A, \tan B, \tan C>0\)
Đặt \(\tan A=x, \tan B=y, \tan C=z\). Ta có: \(xy+yz+xz=1\)
Và \(T=x+y+z\)
\(\Rightarrow T^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy:
\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow T^2\geq 3(xy+yz+xz)=3\)
\(\Rightarrow T\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow T_{\min}=\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
Câu a)
Ta sử dụng 2 công thức:
∙tan(180−α)=−tanα∙tan(180−α)=−tanα
∙tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα.tanβ∙tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα.tanβ
Áp dụng vào bài toán:
VT=tanA+tanB+tanC=tanA+tanB+tan(180−A−B)VT=tanA+tanB+tanC=tanA+tanB+tan(180−A−B)
=tanA+tanB−tan(A+B)=tanA+tanB−tanA+tanB1−tanA.tanB=tanA+tanB−tan(A+B)=tanA+tanB−tanA+tanB1−tanA.tanB
=(tanA+tanB)(1+11−tanA.tanB)=(tanA+tanB).−tanA.tanB1−tanA.tanB=(tanA+tanB)(1+11−tanA.tanB)=(tanA+tanB).−tanA.tanB1−tanA.tanB
=−tanA.tanB.tanA+tanB1−tanA.tanB=−tanA.tanB.tan(A+B)=−tanA.tanB.tanA+tanB1−tanA.tanB=−tanA.tanB.tan(A+B)
=tanA.tanB.tan(180−A−B)=tanA.tanB.tan(180−A−B)
=tanA.tanB.tanC=VP=tanA.tanB.tanC=VP
Do đó ta có đpcm
Tam giác ABCABC có ba góc nhọn nên tanA,tanB,tanC>0tanA,tanB,tanC>0
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
P=tanA+tanB+tanC≥33√tanA.tanB.tanCP=tanA+tanB+tanC≥3tanA.tanB.tanC3
⇔P=tanA+tanB+tanC≥33√tanA+tanB+tanC⇔P=tanA+tanB+tanC≥3tanA+tanB+tanC3
⇒P≥33√P⇒P≥3P3
⇒P3≥27P⇔P(P2−27)≥0⇒P3≥27P⇔P(P2−27)≥0
⇒P2−27≥0⇒P≥3√3⇒P2−27≥0⇒P≥33
Vậy Pmin=3√3Pmin=33. Dấu bằng xảy ra khi ∠A=∠B=∠C=600
Chứng minh:
\(sinx.sin\left(60-x\right).sin\left(60+x\right)=\dfrac{1}{3}sin3x\)
chứng minh:
\(\dfrac{1}{sin\alpha}+\dfrac{1}{sin2\alpha}+\dfrac{1}{sin4\alpha}+....+\dfrac{1}{sin2^n.\alpha}=\dfrac{cot\alpha}{2}-2cos2^n\alpha\)
Chứng minh:
\(\dfrac{1-cos\alpha-cos2\alpha+cos3\alpha}{1-2cos\alpha}=2sin^2\alpha\)
Lời giải:
Áp dụng công thức: \(\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\) ta có:
\(\text{VT}=\frac{1-\cos 2\alpha-(\cos 3\alpha-\cos \alpha)}{1-2\cos \alpha}=\frac{1-\cos 2\alpha+(-2)\sin 2\alpha\sin \alpha}{1-2\cos \alpha}(*)\)
Lại có:
\(\cos 2\alpha=\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha=(\cos ^2\alpha+\sin ^2\alpha)-2\sin ^2\alpha\)
\(=1-2\sin ^2\alpha\)
\(\Rightarrow 1-\cos 2\alpha=2\sin ^2\alpha(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}=\frac{2\sin ^2\alpha-2\sin 2\alpha\sin \alpha}{1-2\cos \alpha}\)
\(=\frac{2\sin ^2\alpha-4\sin \alpha\cos \alpha\sin \alpha}{1-2\cos \alpha}=\frac{2\sin ^2\alpha(1-2\cos \alpha)}{1-2\cos \alpha}=2\sin ^2\alpha\)
Ta có đpcm.
chứng minh:
\(\dfrac{2cos2\alpha-sin4\alpha}{2cos2\alpha+sin4\alpha}=tan^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)\)
Tinh gia tri bieu thuc
A= tan2 36 tan2 72
\(\sqrt{\sin^4x+4\cos^2x}+\sqrt{\cos^4x+4\sin^2x}\)
=\(\sqrt{\left(1-cos^2x\right)^2+4\cos^2x}+\sqrt{\left(1-sin^2x\right)^2+4\sin^2x}\)
=\(\sqrt{\cos^4x-2\cos^2x+1+4\cos^2x}+\sqrt{\sin^4x-2\sin^2x+1+4\sin^2x}\)
=\(\sqrt{\cos^4x+2\cos^2x+1}+\sqrt{\sin^4x+2\sin^2x+1}\)
=\(\sqrt{\left(cos^2x+1\right)^2}+\sqrt{\left(sin^2x+1\right)^2}\)
=\(cos^2x+1+sin^2x+1=3\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1,cos\left(a-b\right)\ne0\\\dfrac{cos\left(a+b\right)}{cos\left(a-b\right)}=\dfrac{m}{n}\end{matrix}\right.\)
Tính \(tana.tanb\)
Cm:\(\dfrac{1+cos2a+sin2a}{1+sin2a-cos2a}=tana\)
\(VT=\dfrac{1+\cos^2a-\sin^2a+2\cdot\sin a\cdot\cos a}{1+2\cdot\sin a\cdot\cos a-\cos^2a+\sin^2a}\)
\(=\dfrac{2\cdot\cos^2a+2\cdot\sin a\cdot\cos a}{2\cdot\sin^2a+2\cdot\sin a\cdot\cos a}\)
\(=\dfrac{2\cdot\cos a\left(\cos a+\sin a\right)}{2\cdot\sin a\cdot\left(\sin a+\cos a\right)}\)
\(=\dfrac{\cos a}{\sin a}=\cot a\)