Chương 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ta có \(S=\dfrac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(\Rightarrow S^2=\dfrac{abcpr}{4R}=p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2r}{R}=\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{abc}\)

Theo giả thiết \(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{2r}{R}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=4abc\)

\(\Leftrightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2=6abc\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\ge6abc\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CM}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CB}.\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{MA}=0\)

Tập hợp M là đường thẳng qua A và vuông góc BC

Đặt AB = c; BC = a; AC = b

sin_A = sin_B . cos_C + sin_B . cos_B

⇔ 2R. sin_A = 2R. sin_B . cos_C + 2R. sin_C . cos_B

⇔ a = b. cos_C + c. cos_B

⇔ a² = ab . cos_C + ac . cos_B

_⇔ a² = \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)

⇔ a² = a² (cái này là hiển nhiên rồi!!)

Vậy khi điều cần chứng minh là một mệnh đề tương đương với một mệnh đề đúng thì nó là mệnh đề đúng

Cách làm : Viết ngược từ dưới lên bạn nhá :))

a, Áp dụng BĐT Cosi:

\(\sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}\le\dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}\)

\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le\dfrac{p-b+p-c}{2}=\dfrac{a}{2}\)

\(\sqrt{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\le\dfrac{p-c+p-a}{2}=\dfrac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)

b, \(\dfrac{r}{R}=\dfrac{\dfrac{S_{ABC}}{p}}{\dfrac{abc}{4S_{ABC}}}\)

\(=\dfrac{4S_{ABC}^2}{p.abc}=\dfrac{4.p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p.abc}\)

\(\le\dfrac{4.p.\dfrac{1}{8}abc}{p.abc}=\dfrac{1}{2}\)

c, Áp dụng BĐT Cosi:

\(a.m_a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.m_a\)

\(\le\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\dfrac{3}{4}a^2+m_a^2}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\left(\dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)

\(\Rightarrow a.m_a\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};b.m_b\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};c.m_c\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)

Khi đó \(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\)

\(=\dfrac{a^2}{a.m_a}+\dfrac{b^2}{b.m_b}+\dfrac{c^2}{c.m_c}\)

\(\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}}=2\sqrt{3}\)

Tham khảo:

Cho hình thang vuông ABCD

Tọa độ điểm C:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-x_A-x_B=1\\y_C=3y_I-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow C\left(1;-4\right)\)

Ta có: 

\(\overrightarrow{AH}=\left(a-3;b+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(a+1;b-2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;-3\right)\)

Theo giả thiết 

\(AH\perp BC\Rightarrow2\left(a-3\right)-6\left(b+1\right)=0\Leftrightarrow a-3b=6\left(1\right)\)

\(BH\perp AC\Rightarrow-2\left(a+1\right)-3\left(b-2\right)=0\Leftrightarrow2a+3b=4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{10}{3}\\b=-\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\Rightarrow a+3b=\dfrac{2}{3}\)

Tọa độ trọng tâm G của ΔABC là \(G\left(1;\dfrac{m}{3}\right)\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AG}=\left(2;\dfrac{m}{3}\right)\\\overrightarrow{BG}=\left(-3;\dfrac{m}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

Để ΔGAB vuông tại G

⇒ GA ⊥ GB

⇒ \(\overrightarrow{GA}\) ⊥ \(\overrightarrow{GB}\)

⇒ \(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=0\)

⇒ 2 . (-3) + \(\dfrac{m^2}{9}\) = 0

⇒ m² = 6 . 9 = 54

⇒ m = \(\pm\sqrt{54}\)

Mình chắc chắn cách làm của mình là đúng còn về tính toán thì chưa chắc nên bạn tự kiểm tra nhá 

\(\overrightarrow{x}\) ⊥ \(\overrightarrow{y}\)

⇒ \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}\right)=0\). Đặt \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a;\left|\overrightarrow{b}\right|=b\)

⇒ 2a² - \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) + 2\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) - b² = 0

⇒ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) = b² - 2a² = 4 - 4 = 0

⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=90^0\)

Cách làm: Tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm B và C

có dạng y = ax + b (d)

Viết phương trình đường thẳng vuông góc với BC 

có dạng y = a'x + b' (d') với a . a^' = -1

Đường thẳng (d') này đi qua điểm A, thay tọa độ điểm A => b^'

Tọa độ giao điểm của (d) và d' là tọa độ của chân đường cao hạ từ A xuống BC