Chương 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC - Hỏi đáp

Giả sử các biểu thức đều xác định:

a/ \(sin^2x.tanx+cos^2x.cotx+2sinx.cosx\)

\(=sin^2x.\frac{sinx}{cosx}+sinx.cosx+cos^2x.\frac{cosx}{sinx}+sinx.cosx\)

\(=sinx\left(\frac{sin^2x}{cosx}+cosx\right)+cosx\left(\frac{cos^2x}{sinx}+sinx\right)\)

\(=sinx\left(\frac{sin^2x+cos^2x}{cosx}\right)+cosx\left(\frac{cos^2x+sin^2x}{sinx}\right)=\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=tanx+cotx\)

b/

\(\frac{1+sin^2x}{1-sin^2x}=\frac{1+sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}+tan^2x=1+tan^2x+tan^2x=1+2tan^2x\)

c/ \(\frac{cosx}{1+sinx}+tanx=\frac{cosx\left(1-sinx\right)}{1-sin^2x}+\frac{sinx.cosx}{cos^2x}=\frac{cosx-cosx.sinx}{cos^2x}+\frac{sinx.cosx}{cos^2x}\)

\(=\frac{cosx}{cos^2x}=\frac{1}{cosx}\)

d/ \(\frac{sinx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)}+\frac{sinx\left(1+cosx\right)}{sin^2x}\)

\(=\frac{sinx-sinx.cosx}{1-cos^2x}+\frac{sinx+sinx.cosx}{sin^2x}=\frac{sinx-sinx.cosx}{sin^2x}+\frac{sinx+sinx.cosx}{sin^2x}\)

\(=\frac{2sinx}{sin^2x}=\frac{2}{sinx}\)

Câu 3:

\(\left(sina-2cosa\right)^2=1\Leftrightarrow sin^2a-4sina.cosa-4cos^2a=1\)

Chia 2 vế cho \(cos^2a\)

\(tan^2a-4tana+4=\frac{1}{cos^2a}=1+tan^2a\)

\(\Leftrightarrow4tana=3\Rightarrow tana=\frac{3}{4}\)

\(P=2tana-\frac{1}{tana}=2.\frac{3}{4}-\frac{4}{3}=\frac{1}{6}\)

Câu 2:

\(3cosa+2sina=2\Rightarrow cosa=\frac{2-2sina}{3}=\frac{2}{3}\left(1-sina\right)\)

Mặt khác ta luôn có: \(sin^2a+cos^2a=1\Leftrightarrow sin^2a+\frac{4}{9}\left(1-sina\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow9sin^2a+4sin^2a-8sina+4=9\)

\(\Leftrightarrow13sin^2a-8sina-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sina=1>0\left(l\right)\\sina=-\frac{5}{13}\end{matrix}\right.\)

Chia tử và mẫu cho cosa ta có:

B=\(\dfrac{4\tan a+5}{2\tan a-3}\). Vì \(\cot a=\dfrac{1}{2}\) nên \(\tan a=2\)

=> B=13

chia tử và mẫu của B cho sina khác 0\(B=\dfrac{4\dfrac{sina}{sina}+5\dfrac{cosa}{sina}}{2\dfrac{sina}{sina}-3\dfrac{cosa}{sina}}=\dfrac{4+5cota}{2-3cota}=\dfrac{4+5\dfrac{1}{2}}{2-3\dfrac{1}{2}}=13\)

vay B = 13

\(C=\dfrac{\sin a}{\sin^3a+2\cos^3a}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2a}\cdot\tan a}{\tan^3a+2}=\dfrac{\left(1+\tan^2a\right)\cdot\tan a}{2+\tan^3a}=\dfrac{\left(1+2^2\right)\cdot2}{2+8}=1\)

\(P=\left(\frac{sina+\frac{sina}{cosa}}{cosa+1}\right)^2+1=\left(\frac{sina\left(cosa+1\right)}{cosa\left(cosa+1\right)}\right)^2+1\)

\(=\left(\frac{sina}{cosa}\right)^2+1=\frac{sin^2a+cos^2a}{cos^2a}=\frac{1}{cos^2a}\)