Cho y=sin^2x. Chứng minh y'''+4y=0
Cho y=sin^2x. Chứng minh y'''+4y=0
Tính đạo hàm của hàm số :
\(y=\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\)
xét hàm số y=\(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\) . ta có
y'=\(\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
=\(\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)
y=\(\sin\left(lnx\right)+\cos\left(lnx\right)\)
xét hàm số : y=\(\sin\left(lnx\right)+\cos\left(lnx\right)\) ta có
y'=\(\frac{1}{x}\cos\left(lnx\right)-\frac{1}{x}\sin\left(lnx\right)=\frac{\cos\left(lnx\right)-\sin\left(lnx\right)}{x}\)
tính đạo hàm của hàm số
y= \(\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
xét hàm số y=ln(\(x+\sqrt{1+x^2}\))
Ta có
y'=\(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}.\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)
tính đạo hàm của hàm số
y=\(x.e^x.lnx\)
xét hàm số y=\(x.e^x.lnx\)
Ta có y' =\(e^xlnx+xe^xlnx+xe^x.\frac{1}{x}\)
=\(e^xlnx+xe^xlnx+e^x\left(1+lnx+x.lnx\right)\)
xét hàm số y=\(ln\left(e^x+\sqrt{1+e^{2x}}\right)\)
Y'=\(\frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}\left(e^x+\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{1+e^{2x}}}\right)=\frac{1}{e^x+\sqrt{1+e^{2x}}}.\frac{e^x\left(\sqrt{1+e^{2x}}+e^x\right)}{\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\)
tìm đạo hàm của hàm số sau
y=\(\sin\left(\cos^2x\right)\cos\left(\sin^2x\right)\)
xét hàm số y=\(\sin\left(cos^2x\right)cos\left(sin^2x\right)\) =
\(\frac{sin\left(cos^2x+sin^2x\right)+sin\left(cos^2x-sin^2x\right)}{2}=\frac{sin1+sin\left(cós2x\right)}{2}\)
tìm đạo hàm sau
y=\(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{1+x^2-x}}+\frac{\sqrt{1+x^2-x}}{x+\sqrt{x^2+1}}\)
xét hàm số sau \(\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{1+x^2-x}}+\frac{\sqrt{1+x^2-x}}{x+\sqrt{x^2+1}}\)
=\(\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)}{\left(1+x^2\right)-x^2}+\frac{\left(\sqrt{1+x^2-x}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{x^2+1-x^2}=\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2+\left(\sqrt{x^2+1-x}\right)^2=4x^2+2\)
cho y=\(\ln\frac{1}{1+x}\) chứng minh hệ thứ xy'+1=\(e^y\)
ta có \(\ln\frac{1}{1+x}=-\ln\left(1+x\right)\Rightarrow y'=-\frac{1}{1+x}\)
vậy xy'+1=\(\frac{-x}{1+x}+1=\frac{1}{1+x}=e^y\)
Cho \(y=x.e^{-\frac{x^2}{2}}\). Chứng minh hệ thức \(xy'=\left(1-x^2\right)y\)
Ta có : \(y'=e^{-\frac{x^2}{2}}+x\left(-x\right)e^{-\frac{x^2}{2}}=e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-x^2\right)\)
\(xy'=\left(1-x^2\right)xe^{-\frac{x^2}{2}}=\left(1-x^2\right)y\)