Chương 5: ĐẠO HÀM - Hỏi đáp

a) \(x^3+2x^2y+xy^2-9x\)

\(=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)\)

\(=x\left[\left(x+y\right)^2-3^2\right]=x\left(x+y+3\right)\left(x+y-3\right)\)

b) \(2x-2y-x^2+2xy-y^2\)

\(=2\left(x-y\right)-\left(x-y\right)^2=\left(x-y\right)\left(2-x+y\right)\)

c) \(x^2-2x-4y^2-4y\)

\(=\left(x^2-4y^2\right)-\left(2x+4y\right)\)

\(=\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)-2\left(x+2y\right)\)

\(=\left(x+2y\right)\left(x-2y-2\right)\)

a) y' = 5cosx -3(-sinx) = 5cosx + 3sinx;

b) = = .

c) y' = cotx +x. = cotx -.

d) + = = (x. cosx -sinx).

e) = = .

f) y' = (√(1+x²))' cos√(1+x²) = cos√(1+x²) = cos√(1+x²).

Lời giải:

Ta có:

\(y'=(e^x+e^{-x})'=e^x-e^{-x}=e^x-\frac{1}{e^x}\)

\(y'=0\Leftrightarrow e^x-\frac{1}{e^x}=0\Leftrightarrow e^{2x}-1=0\)

\(\Leftrightarrow e^{2x}=1\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0\)

sin \(\sqrt{x^3-2x+5}\)

\(\left(sin\sqrt{x^3-2x+5}\right)'\)

\(\left(x^3-2x+5\right)'cos\sqrt{x^3-2x+5}\)

\(\left(3x^2-2\right)cos\sqrt{x^3-2x+5}\)

\(y'=\left(cos3x\times sin2x\right)'\)

\(\left(cos3x\right)'sin2x+cos3x\left(sin2x\right)'\)

\(-\left(3x\right)'sin3x\sin2x+\left(2x\right)'\cos2x\cos3x\)

\(-3\sin3x\sin2x+2\cos2x\cos3x\)

\(\dfrac{-3}{2}\left[\cos x-\cos5x\right]+\left[\cos x+\cos5x\right]\)

\(\dfrac{5}{2}\cos5x-\dfrac{1}{2}\cos x\)

a) ta có : \(\left(y\right)'=\left(x^4-3x^3+\sqrt{\dfrac{x-3}{4}}\right)'=\left(x^4-3x^3+\left(\dfrac{x-3}{4}\right)^{0,5}\right)'\)

\(=\left(x^4\right)'-\left(3x^3\right)'+\left(\left(\dfrac{x-3}{4}\right)^{0,5}\right)'=4x^3-9x^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x-3}{4}\right)^{-0,5}\)

\(=4x^3-9x^2+\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{x-3}{4}}}\)

câu b với câu c ; mk o hiểu cái đề

\(\left[\left(x^7+7x^5\right)\left(x^3+2x^2\right)\right]'\)

\(\left(x^7+7x^5\right)'\left(x^3+2x^2\right)+\left(x^7+7x^5\right)\left(x^3+2x^2\right)'\)

\(\left(7x^6+35x^4\right)\left(x^3+2x^2\right)+\left(x^7+7x^5\right)\left(3x^2+4x\right)\)

\(x^6\left[\left(7x^2+35\right)\left(x+2\right)+\left(x^2+7\right)\left(3x+4\right)\right]\)

\(x^6\left(10x^3+18x^2+56x+98\right)\)

Lời giải:

Ta có: \(\lim_{x\to +\infty}\frac{2016x^2-2014x+2012}{2017x^2+2015x+2013}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2016-\frac{2014}{x}+\frac{2012}{x^2}}{2017+\frac{2015}{x}+\frac{2013}{x^2}}\)

\(=\frac{2016-0+0}{2017+0+0}=\frac{2016}{2017}\)

Lý do bởi công thức quen thuộc \(\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x}=0\). Những phân số có bậc của từ nhỏ hơn bậc của mẫu thì có giới hạn bằng 0 khi $x$ tiến tới vô cùng)

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm \(M(a,\frac{2a}{a+1})\)

\(y=\frac{2x}{x+1}\Rightarrow y'=\frac{2}{(x+1)^2}\)

Do đó phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là:

\((d):y=f'(a)(x-a)+f(a)=\frac{2}{(a+1)^2}(x-a)+\frac{2a}{a+1}\)

\(\Leftrightarrow (d):y=\frac{2x+2a^2}{(a+1)^2}\)

Do đó: \((d)\cap Ox=A(-a^2,0)\)

\((d)\cap (Oy)=B(0, \frac{2a^2}{(a+1)^2})\)

Có: \(S_{OAB}=\frac{OA.OB}{2}=\frac{|-a^2||\frac{2a^2}{(a+1)^2}|}{2}=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2a^4}{(a+1)^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow 4a^4-(a+1)^2=0\Leftrightarrow (2a^2-a-1)(2a^2+a+1)=0\)

Giải pt dễ dàng tìm được \(\left[\begin{matrix} a=1\\ a=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (t/m)

Do đó \(M\in\left\{(1,1); (\frac{-1}{2}, -2)\right\}\)