Chương 5: ĐẠO HÀM - Hỏi đáp

ĐKXĐ: \(-2\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{x+2}+2\sqrt{3-x}=a\Rightarrow4\sqrt{6+x-x^2}-3x=a^2-14\)

Mặt khác \(a^2=\left(\sqrt{x+2}+2\sqrt{3-x}\right)^2\le5\left(x+2+3-x\right)=25\)

\(\Rightarrow a\le5\)

Và \(\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{5}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{5}\) \(\Rightarrow a\ge\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5}\le a\le5\)

Phương trình trở thành:

\(a^2-14=ma\Leftrightarrow\frac{a^2-14}{a}=m\) với \(a\in\left[\sqrt{5};5\right]\)

\(f\left(a\right)=\frac{a^2-14}{a}\Rightarrow f'\left(a\right)=\frac{2a^2-a^2+14}{a^2}=\frac{a^2+14}{a^2}>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(\sqrt{5}\right)\le f\left(a\right)\le5\)

\(\Rightarrow-\frac{9\sqrt{5}}{5}\le f\left(a\right)\le\frac{11}{5}\Rightarrow-\frac{9\sqrt{5}}{5}\le m\le\frac{11}{5}\)

Thay vì băn khoăn với việc tách biểu thức, sao bạn không sử dụng phương pháp cơ bản nhất là đạo hàm của một thương? Hoàn toàn ko chậm hơn:

\(y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\Rightarrow y'=\frac{f'\left(x\right).g\left(x\right)-f\left(x\right).g'\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}\)

Ví dụ: \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\Rightarrow y'=\frac{-2\left(2x-4\right)-2\left(1-2x\right)}{\left(2x-4\right)^2}=\frac{6}{\left(2x-4\right)^2}\)

Mất ko đến 20s

Trong khi tách thì mất thời gian hơn nhiều với 2 bước: tách, đạo hàm

\(y=\frac{-2x+4-3}{2x-4}=\frac{-\left(2x-4\right)}{2x-4}-\frac{3}{2x-4}=-1-\frac{3}{2x-4}\)

\(\Rightarrow y'=-\frac{\left(-3\right)\left(2x-4\right)'}{\left(2x-4\right)^2}=\frac{6}{\left(2x-4\right)^2}\)

Mất ít nhất 1-2ph

Vừa phức tạp hơn, vừa tốn thời gian hơn, chẳng ai sử dụng phương pháp tách này bao giờ

Ví dụ như câu này thì đổi như nào ạ

ĐKXĐ: \(x\le1\)

Bình phương 2 vế:

\(3-2x+2\sqrt{x^2-3x+2}=m+x-x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2+2\sqrt{x^2-3x+2}+1=m\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-3x+2}+1\right)^2=m\) (\(m\ge1\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{m}-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2=m+1-2\sqrt{m}\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x=m-2\sqrt{m}-1\)

Xét parabol \(y=x^2-3x\) với \(x\le1\), do parabol chỉ có 1 nhánh nên \(y=m-2\sqrt{m}-1\) chỉ cắt parabol tại nhiều nhất 1 điểm????????

Lời giải:

Ta có:

\(Z'_x=-2xe^{-x^2-y^2}; Z'_y=-2ye^{-x^2-y^2}\)

\(Z''_x=4x^2e^{-x^2-y^2}; Z''_y=4y^2e^{-x^2-y^2}; Z''_{xy}=Z''_{yx}=4xye^{-x^2-y^2}\)

Điểm dừng của hàm số xác định tại

\(\left\{\begin{matrix} Z'_x=0\\ Z'_y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=0\)

Tại $(x=0; y=0)$:

$A=Z''_x=0; C=Z''_y=0; B=Z''_{xy}=Z''_{yx}=0$

$\Rightarrow \Delta=B^2-AC=0$

Với \(m,n\) lân cận bất kỳ và có ít nhất 1 số khác $0$ thấy:

\(Z(m,n)=\frac{1}{e^{m^2+n^2}}\leq \frac{1}{e^{0^2+0^2}}=Z(0,0)\)

Do đó $(x,y)=(0,0)$ là điểm cực đại

\(y=x-2+\frac{4}{x-1}\Rightarrow y'=1-\frac{4}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(a;b\right)\) là điểm có tiếp tuyến song song với d

\(\Rightarrow y'\left(a\right)=-3\Leftrightarrow1-\frac{4}{\left(a-1\right)^2}=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\Rightarrow b=-6\\a=2\Rightarrow b=4\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}y=-3x-6\\y=-3\left(x-2\right)+4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3x-6\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)

y=x-2+\(\frac{x}{4}\)-1

\(\Leftrightarrow\)y=\(\frac{5x}{4}\)-3

\(\Rightarrow\)y'=(\(\frac{5x}{4}\)-3)'

\(\Rightarrow\)y'=(\(\frac{5x}{4}\))'-3'

\(\Rightarrow\)y'=\(\frac{\left(5x\right)'\cdot4-5x\cdot4'}{4_{ }^2}\)

\(\Rightarrow\)y'=\(\frac{20}{16}\)=\(\frac{5}{4}\)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-3x+1 nên:

f\('\left(x_0\right)\)=y'=-3 nhưng trong trường hợp này thì y' là một hằng số nên f'\(\left(3\right)\)=\(\frac{5}{4}\)

\(\)\(y_0\)=\(\frac{5\cdot\frac{5}{4}}{4}-3\)

\(y_0\)=\(\frac{-23}{16}\)

Vậy điểm M(\(\frac{5}{4}\);\(\frac{-23}{16}\)) thuộc đường tiếp tuyến đã cho.

Ta có công thức đường tiếp tuyến là:

y=f\('\left(x_0\right)\)(x-\(x_0\))+\(y_0\)

\(\Rightarrow\)y=3(x-\(\frac{5}{4}\))+\(\frac{-23}{16}\)

\(\Rightarrow\)y=3x-\(\frac{83}{16}\)

\(f^2\left(1+2x\right)=x-f^3\left(1-2x\right)\)

Thay \(x=0\) vào ta được:

\(f^2\left(1\right)=-f^3\left(1\right)\Leftrightarrow f^2\left(1\right)\left[1+f\left(1\right)\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f\left(1\right)=-1\end{matrix}\right.\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\Rightarrow4f\left(1+2x\right).f'\left(1+2x\right)=1+6f^2\left(1-2x\right).f'\left(1-2x\right)\)

Thay \(x=0\) vào ta được:

\(4f\left(1\right).f'\left(1\right)=1+6f^2\left(1\right).f'\left(1\right)\)

- Nếu \(f\left(1\right)=0\Rightarrow0=1\) (loại)

- Nếu \(f\left(1\right)=-1\Rightarrow-4f'\left(1\right)=1+6f'\left(1\right)\Rightarrow f'\left(1\right)=-\frac{1}{10}\)

\(y'=3mx^2-2\)

Để \(y'< 0\) \(\forall x\Rightarrow\max\limits_{x\in R}g\left(x\right)=3mx^2-2< 0\)

\(g'\left(x\right)=6mx=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\g\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le0\)

Bài 1: dưới mẫu không biết biểu thức là gì

Bài 2:

Gọi \(M\in d\Rightarrow M\left(1+2m;3-m\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(2m;5-m\right)\)

\(\Rightarrow AM^2=\overrightarrow{AM}^2=4m^2+\left(5-m\right)^2=25\)

\(\Leftrightarrow5m^2-10m+25=25\)

\(\Leftrightarrow5m\left(m-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(1;3\right)\\M\left(5;1\right)\end{matrix}\right.\)