Chương 4: SỐ PHỨC

\(\dfrac{\left|z-i\right|}{\left|z+i\right|}\Leftrightarrow\left|z-i\right|=\left|z+i\right|\Leftrightarrow\left|x+yi-i\right|=\left|x+yi+i\right|\)\(\Leftrightarrow\left(\left|x^2+\left(y+1\right)^2\right|\right)^2=\left(\left|x^2+\left(y-1\right)^2\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2y+1=x^2+y^2+2y+1\)

\(\Rightarrow y=0\)

Vậy là trục 0x

Đ/án : D

đặc \(z=a+bi\) (\(a;b\in R\) và \(i^2=-1\))

ta có : \(Y=3\left|z\right|+4\left|z-4i\right|+5\left|z-3\right|\)

\(\Leftrightarrow Y=3\left|a+bi\right|+4\left|a+\left(b-4\right)i\right|+5\left|\left(a-3\right)+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow Y=3\sqrt{a^2+b^2}+4\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}+5\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

\(Y\ge-\sqrt{\left(3^2+4^2+5^2\right)\left(a^2+b^2+a^2+\left(b-4\right)^2+\left(a-3\right)^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow Y\ge-5\sqrt{2}.\sqrt{3a^2+3b^2-8b-6a+25}\)

\(\Leftrightarrow Y\ge-5\sqrt{2}.\sqrt{3\left(a-1\right)^2+\left(\sqrt{3}b-\dfrac{8}{2\sqrt{3}}\right)^2+\dfrac{50}{3}}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{3}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(a-3\right)^2}+b^2}\)

giải ra tìm được \(a;b\) rồi thay ngược trở lại nha

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)

Có:

\(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)

\(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)

(do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )

\(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)

Theo BĐT Mincopxky :

\(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)

\(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)

Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)

Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)

Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)

đặc \(z=a+bi\) với \(\left(a;b\in R;i^2=-1\right)\)

ta có : \(\left|z-\overline{z}+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}z+\dfrac{1}{2}\overline{z}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a+bi-a+bi+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}a+\dfrac{3}{2}bi+\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2b+2\right)^2}=\sqrt{\left(2a+b\right)^2}\) \(\Leftrightarrow2b+2=2a+b\Leftrightarrow a=\dfrac{b}{2}+1\)

ta có : \(P=\left|z-3\right|=\left|a+bi-3\right|=\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}+1-3\right)^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}-2\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\dfrac{5b^2}{4}-2b+4}\ge\sqrt{4-\dfrac{\left(-2\right)^2}{4.\dfrac{5}{4}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

dấu "=" xảy ra khi \(b=\dfrac{2}{2.\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\) và \(a=\dfrac{7}{5}\) \(\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4}{5}i\)

Lời giải:

Vì phần thực lớn hơn phần ảo $1$ đơn vị nên đặt số phức \(z=(a+1)+ai\)

Ta có: \(|z|=5\Leftrightarrow |(a+1)+ai|=5\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(a+1)^2+a^2}=5\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2a+1=25\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2a-24=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-12=0\Leftrightarrow (a-3)(a+4)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=3\\ a=-4\end{matrix}\right.\)

Nếu $a=3$ thì số phức $z=4+3i$

Nếu $a=-4$ thì số phức $z=-3-4i$

Lời giải:

Ta có: \(w=\frac{z_2}{z_1}+i=\frac{1+mi}{1-2i}+i=\frac{(1+mi)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}+i\)

\(\Leftrightarrow w=\frac{1-2m+i(m+2)}{5}+i=\frac{1-2m+i(m+7)}{5}\)

Do đó, để $w$ là một số thực thì \(1-2m+i(m+7)\) phải là số thực. Điều này xảy ra khi mà \(m+7=0\Leftrightarrow m=-7\)

Vậy........

Giả sử: \(z=x+yi\) \((x;y\in|R)\)

Ta có: \((1+i)z+2\overline{z}=2\)

  <=> \((1+i)(x+yi)+2(x-yi)=2\)

  <=> \(x+yi+xi-y+2x-2yi-2=0\)

  <=> \((3x-y-2)+(x-y)i=0\)

  <=> \(\begin{align} \begin{cases} 3x-y&=2\\ x-y&=0 \end{cases} \end{align}\)

  <=> \(\begin{align} \begin{cases} x&=1\\ y&=1 \end{cases} \end{align}\)

=> \(z=1+i\)

Ta có: \(\omega=z+2+3i \)

               \(=1+i+2+3i\)

               \(=3+4i\)

=> \(|\omega|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

Đặt \(z=a+bi\left(a,b\in R\right)\)

Theo bài ta có : \(\begin{cases}3a-b=2\\a-b=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}\) nên \(z=1+i\)

Khi đó \(\omega=z+2+3i=1+i+2+3i=3+4i\)

Vậy \(\left|\omega\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)

=5 bn nha

đặc số phức \(z=a+bi;\left(a;b\in R\right)\)

\(\Rightarrow\left|z\right|=5\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=5\Leftrightarrow a^2+b^2=25\)

\(\Leftrightarrow a^2+2^2=25\Leftrightarrow a^2=21\) (phần ảo của \(z\) là \(2\))

\(\Leftrightarrow a=\pm\sqrt{21}\)

vậy \(z=\sqrt{21}+2i;z=-\sqrt{21}+2i\)

bài 1) đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in z;i^2=-1\)

ta có : \(\left(1+i\right)z+\overline{z}=i\Leftrightarrow\left(1+i\right)\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=i\)

\(\Leftrightarrow a-b+ai+bi+a-bi=i\Leftrightarrow2a-b+ai=i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-b=0\\a=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z=1+2i\) \(\Rightarrow W=1+i+z=1+i+1+2i=2+3i\)

\(\Rightarrow\) \(modul\) của số phức \(W\) là : \(\left|W\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)

vậy .............................................................................................................

bài 2) đặc \(z=a+bi\) với \(a;b\in z;i^2=-1\)

ta có : \(z^2\left(1-i\right)+2\overline{z}^2\left(1+i\right)=21-i\)

\(\Leftrightarrow\left(a+bi\right)^2\left(1-i\right)+2\left(a-bi\right)^2\left(1+i\right)=21-i\)

\(\Leftrightarrow a^2-a^2i+2abi+2ab-b^2+b^2i+2\left(a^2+a^2i-2abi+2ab-b^2-b^2i\right)=21-i\)

\(\Leftrightarrow a^2-a^2i+2abi+2ab-b^2+b^2i+2a^2+2a^2i-4abi+4ab-2b^2-2b^2i=21-i\)

\(\Leftrightarrow3a^2+6ab-3b^2+a^2i-2abi-b^2i=21-i\)

\(\Leftrightarrow\left(3a^2+6ab-3b^2\right)+\left(a^2-2ab-b^2\right)i=21-i\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2+6ab-3b^2=21\\a^2-2ab-b^2=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a^2+6ab-3b^2=21\\3a^2-6ab-3b^2=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-ab=-2\Leftrightarrow-a^2b^2=-4\) và \(a^2-b^2=3\)

\(\Rightarrow a^2\) và \(-b^2\) là nghiệm của phương trình \(X^2-3X-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=4\\-b^2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=4\\b^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(modul\) của số phức \(z\) là \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)

vậy ...................................................................................................................

hôm sau phân câu 1 ; câu 2 rỏ ra nha bạn . cho dể đọc thôi