Chương 4: Số phức - Hỏi đáp

\(\dfrac{\left|z-i\right|}{\left|z+i\right|}\Leftrightarrow\left|z-i\right|=\left|z+i\right|\Leftrightarrow\left|x+yi-i\right|=\left|x+yi+i\right|\)\(\Leftrightarrow\left(\left|x^2+\left(y+1\right)^2\right|\right)^2=\left(\left|x^2+\left(y-1\right)^2\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2y+1=x^2+y^2+2y+1\)

\(\Rightarrow y=0\)

Vậy là trục 0x

Đ/án : D

d) |x - 4| + 3x = 5

|x - 4| + 3x = 5 ⇔ x - 4 + 3x = 5 khi x ≥ 4

                       ⇔ 4x             = 9

                       ⇔ x              =  (không thoả mãn điều kiện x ≥ 4)

 |x - 4| + 3x = 5 ⇔ -x + 4 + 3x = 5 khi x < 4

                        ⇔ 2x              = 1

                        ⇔ x                = 

b) |x + 4| = 2x - 5 ⇔ x + 4 = 2x - 5 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4

                           ⇔ x       = 9 ( thoả mãn điều kiện x ≥ -4)

 |x + 4| = 2x - 5 ⇔ -x - 4 = 2x - 5 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4

                        ⇔ 3x      = 1

                        ⇔ x       =  (không thoả mãn điều kiện x < -4)

Vậy phương trình có nghiệm x = 9

- là số phức và số phức liên hợp á bạn..

câu A

A(1;3) ; B(-3;6)

\(\overrightarrow{AB}\)= (-4;3)

\(\left|\overrightarrow{AB}\right|\)= \(\sqrt{\left(-4\right)^2+3^2}\) = 5

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)

Có:

\(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)

\(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)

(do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )

\(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)

Theo BĐT Mincopxky :

\(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)

\(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)

Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)

Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)

Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)

Lời giải:

Vì phần thực lớn hơn phần ảo $1$ đơn vị nên đặt số phức \(z=(a+1)+ai\)

Ta có: \(|z|=5\Leftrightarrow |(a+1)+ai|=5\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(a+1)^2+a^2}=5\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2a+1=25\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2a-24=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-12=0\Leftrightarrow (a-3)(a+4)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=3\\ a=-4\end{matrix}\right.\)

Nếu $a=3$ thì số phức $z=4+3i$

Nếu $a=-4$ thì số phức $z=-3-4i$

Lời giải:

Ta có: \(w=\frac{z_2}{z_1}+i=\frac{1+mi}{1-2i}+i=\frac{(1+mi)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}+i\)

\(\Leftrightarrow w=\frac{1-2m+i(m+2)}{5}+i=\frac{1-2m+i(m+7)}{5}\)

Do đó, để $w$ là một số thực thì \(1-2m+i(m+7)\) phải là số thực. Điều này xảy ra khi mà \(m+7=0\Leftrightarrow m=-7\)

Vậy........