Chương 4: Số phức - Hỏi đáp

Lời giải:

Trên mp tọa độ \(Oxy\) ta xét các điểm \(A(-2,1);B(4,7);C(1,-1)\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là $M$

Theo bài ra ta có:

\(|z-(-2+i)|+|z-(4+7i)|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\)

Mà \(AB=\sqrt{(-2-4)^2+(1-7)^2}=6\sqrt{2}\Rightarrow MA+MB=AB\)

Do đó điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng $AB$

Đề bài yêu cầu tìm max min của \(|z-(1-i)|\), tức là tìm max, min của đoạn \(MC\)

Dựa vào hình vẽ, suy ra \(MC_{\min}=d(C,AB)\).

Do biết tọa độ $A,B$ nên dễ dàng viết được PTĐT $AB$ là : \(y=x+3\)

\(\Rightarrow MC_{\min}=d(C,AB)=\frac{|1-(-1)+3|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Vì \(M\) chỉ chạy trên đoạn $AB$ nên \(MC_{\max}=CA\) hoặc $CB$

Thấy \(CA< CB\Rightarrow CM_{\max}=CB=\sqrt{(4-1)^2+(7+1)^2}=\sqrt{73}\) khi \(M\equiv B\)

Vậy \(\left\{\begin{matrix} |z-1+i|_{\min}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ |z-i+1|=\sqrt{73}\end{matrix}\right.\)

Đổi: \(5h24p=\frac{27}{5}h\)

Tỉ lệ vận tốc của ô tô lúc đi và lúc về là:

\(50:40=\frac{5}{4}\) 

Thời gian ô tô đi là:

\(\frac{27}{5}:\left(5+4\right).4=\frac{12}{5}\) (giờ)

Quãng đường AB dài:

\(50.\frac{12}{5}=120\) (km)

Đáp số: 120 km

Mình làm được rồi đấy bạn  

Gọi quãng đường AB là X

Khi đó thời gian đi là:x/4

Thời gian về là:x/5

Vì thời gian cả đi lẫn về là 36 phút = 3/5 giờ nên ta có phương trình:

x/4+x/5=3/5

4x+5x=60

       9x=60

          x=20/3

Ta thấy x=20/3 thỏa mãn điều kiện bài toán 

Vậy quãng đường AB dài 20/3 km

Ví dụ 7:

Đặt \(z=a+bi\) (\(a,b\in\mathbb{R}\))

Điều kiện 1: \(\frac{z}{\overline{z}^2}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{z^3}{|z|^4}\in\mathbb{R}\Rightarrow z^3\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow (a+bi)^3=(a+bi)(a^2-b^2+2abi)\in\mathbb{R}\)

Điều này tương đương với việc phần ảo bằng $0$

\(\Rightarrow 2a^2b+a^2b-b^3=3a^2b-b^3=0(1)\)

Điều kiện 2: \(|z-\overline{z}|=2\sqrt{3}\Leftrightarrow |2bi|=2\sqrt{3}\Rightarrow b^2=3\rightarrow b=\pm \sqrt{3}\)

Thay vào \((1)\Rightarrow 3a^2b-3b=0\Rightarrow a^2=1\rightarrow a=\pm 1\)

Do đó \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\pm 1)^2+(\pm \sqrt{3})^2}=2\)

Ví dụ 6:

Ta có công thức sau: Với hai số phức \(z_1,z_2\) thì:

\(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\)

Chứng minh:

\(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})\)

\(=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})+(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})=|z_1|^2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+|z_2|^2+|z_1|^2-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+|z_2|^2\)

\(=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\) (đpcm)

Áp dụng vào bài toán:

\(|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)-|z_1+z_2|^2=2(1+1)-3=1\)

Lời giải:

Ta có: \(P=(1-i)^2+(1-i)^4+....+(1-i)^{2018}\)

\(P(1-i)^2=(1-i)^4+(1-i)^6+...+(1-i)^{2020}\)

\(\Rightarrow P(1-i)^2-P=(1-i)^{2020}-(1-i)^2\)

Để ý \((1-i)^2=-2i\) \(\Rightarrow (1-i)^{2020}=-2^{1010}\)

\(\Rightarrow -P(2i+1)=-2^{1010}+2i\Rightarrow P=\frac{2^{1010}-4-i(2+2^{1011})}{5}\)

\(\Rightarrow a=\frac{2^{1010}-4}{5};b=\frac{-(2+2^{2011})}{5}\)

\(\Rightarrow 5(a-b)=3.2^{1010}-2\). Đáp án A

-4+4i

Giải:

\(\text{PT}\Leftrightarrow |z^4+4|^2=|z|^2|z+2i|^2\Leftrightarrow (z^4+4)(\overline{z}^4+4)=z\overline{z}(z+2i)(\overline{z}-2i)\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a=z\\ b=\overline{z}\end{matrix}\right.\Rightarrow (a^4+4)(b^4+4)=ab[ab-2ai+2bi+4]=2ab(ab-ai+bi+1)-a^2b^2+2ab\)

Đặt \(ab=t\Rightarrow t=|z|^2\geq 0;t\in \mathbb{Z}\). Dễ thấy \(t\neq 0\)

Phương trình ở trên tương đương, kết hợp BĐT AM-GM:

\((a^4+4)(b^4+4)=2ab|z+i|^2-a^2b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow |z+i|^2=\frac{(a^4+4)(b^4+4)+a^2b^2-2ab}{2ab}\geq \frac{t^4+8t^2+t^2-2t+16}{2t}=\frac{t^3}{2}+\frac{9t}{2}+\frac{8}{t}-1\)

Đạo hàm và lập bảng biến thiên suy ra \(f(t)\geq \frac{1}{6}(\sqrt{2970+182\sqrt{273}}-6)\)

\(|z+i|^2_{\min}= \frac{1}{6}(\sqrt{2970+182\sqrt{273}}-6)\)

Lời giải:

Với PT bậc 2, nếu \(z_1\) là một nghiệm phức thì nghiệm \(z_2\) còn lại chính là số phức liên hợp của \(z_1\). Khi đó áp dụng hệ thức Viete:

\(\left[{}\begin{matrix}W=\dfrac{z_1+2016^{2017}}{z_2+1}=\dfrac{z_1+z_1z_2}{z_2+1}=z_1\\W=\dfrac{z_2+2016^{2017}}{z_1+1}=\dfrac{z_2+z_1z_2}{z_1+1}=z_2\end{matrix}\right.\)

Vì \(z_1,z_2\) là hai số liên hợp của nhau nên có phần thực như nhau. Do đó phần thực của \(W\) chính bằng \(\frac{z_1+z_2}{2}=1\) (theo hệ thức Viete)

Đáp án B

Lời giải:

Nếu gọi \(z=a+bi\Rightarrow w=\frac{1}{\overline{z}}=\frac{z}{|z|^2}=\frac{a+bi}{a^2+b^2}\)

Điểm \(M\) di động trên $(C)$ nên \((a+1)^2+(b-1)^2=2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2b-2a\)

Từ đây ta có:

\(\frac{2a}{a^2+b^2}=\frac{2a}{2b-2a};\frac{2b}{a^2+b^2}=\frac{2b}{2b-2a}\Rightarrow \frac{2a}{a^2+b^2}-\frac{2b}{a^2+b^2}=-1\)

Tương đương với việc tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) nằm trên đường thẳng \(2x-2y+1=0\)

Đáp án A.

Lời giải:

Xét xe số 1:

Vận tốc tại giây thứ 10 là: \(v_{10}=v_0+a_1.10=a_1.10=5\rightarrow a_1=0,5 (m/s^2)\)

Khi đó, quãng đường xe 1 đi được cho đến khi gặp xe thứ 2 là:

\(S_1=\frac{a_1.10^2}{2}+25.5=150 (m)\)

Sau khi xe 2 đi được 25 giây thì 2 xe gặp nhau nên:

\(S_2=\frac{a_2.25^2}{2}=S_1=150\Rightarrow a_2=0,48 (m/s^2)\)

\(\Rightarrow v_2=v_0+a_2t=0,48.25=12(m/s)\)

Đáp án A

Câu 2:

Từ \(|iz+1|=2\Rightarrow |z-i|=2|-i|=2\)

Nếu đặt \(z=a+bi\) ta dễ thấy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là điểm $M$ nằm trên đường tròn tâm \(I(0,1)\) bán kính bằng $2$

Hiển nhiên \(|z-2|\) là độ dài của điểm điểm \(M\) biểu diễn $z$ đến điểm \(A(2,0)\). Ta thấy $MA$ max khi $M$ là giao điểm của $AI$ với đường tròn $(I)$

Ta có \(IA=\sqrt{IO^2+OA^2}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow MA_{\max}=MI+IA=2+\sqrt{5}\)

Đáp án A.

Câu 1:

\(w=(z-2+3i)(\overline{z}+1-2i)\) \(\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow |z|^2+z(1-2i)+(3i-2)\overline{z}+4+7i\in\mathbb{R}\)

Đặt \(z=a+bi\Rightarrow (a+bi)(1-2i)+(3i-2)(a-bi)+7i\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow -2a+b+3a+2b+7=0\) (phần ảo bằng 0)

\(\Leftrightarrow a+3b+7=0\)

Khi đó \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{b^2+(3b+7)^2}=\sqrt{10(b+2,1)^2+4,9}\) min khi \(b=-2,1\) kéo theo \(a=-0,7\)

Đáp án A.

Lời giải:

Ta có:

\(|z^2+1|=4|z|\Leftrightarrow \frac{|z^2+1|^2}{|z|^2}=16\)

\(\Leftrightarrow 16=\frac{(z^2+1)(\overline{z^2}+1)}{|z|^2}=\frac{|z|^4+z^2+\overline{z^2}+1}{|z|^2}\)

\(\Leftrightarrow 16=\frac{|z|^4+(z+\overline{z})^2-2|z|^2+1}{|z|^2}\geq \frac{|z|^4-2|z|^2+1}{|z|^2}\)

Đặt \(|z|^2=t\Rightarrow 16\geq \frac{t^2-2t+1}{t}\)

\(\Leftrightarrow t^2-18t+1\leq 0\Leftrightarrow 9-4\sqrt{5}\leq t\leq 9+4\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow \sqrt{5}-2\leq |z|\leq \sqrt{5}+2\) hay \(|z|_{\min}=\sqrt{5}-2;|z|_{\max}=\sqrt{5}+2\)

Tổng quát: Nếu \(|z+\frac{1}{z}|=k\Rightarrow |z|_{\max}=\frac{\sqrt{k^2+4}+k}{2};|z|_{\min}=\frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}\)

Lời giải:

Ta thấy \(|z+1|\leq |z|+1=2\)

Do đó \(|z+1|_{\max}=2\).

Dấu bằng xảy ra khi \(z\) và $1$ cùng dấu, kéo theo \(z=1\)

Vậy \(z=1\)

Lời giải:

Ta có công thức số phức sau:

\(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\)

Chứng minh:

\(\left\{\begin{matrix} |z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})=|z_1|^2+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+|z_2|^2\\ |z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2})=|z_1|^2-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+|z_2|^2\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế ta có đpcm.

Áp dụng công thức trên:

\(|z_1-z_2|^2+N^2=2(M^2+M^2)=4M^2\Rightarrow |z_1-z_2|=\sqrt{4M^2-N^2}\)

Đáp án C