Chương 4: SỐ PHỨC - Hỏi đáp

Giải từ từ theo kiểu cơ bản và biện luận đầy đủ thì thế này:

Đặt \(z=x+yi\), từ đề bài ta có:

\(\sqrt{\left(x-3\right)^2+y^2}=2\sqrt{x^2+y^2}\Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2=4x^2+4y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2+6x+3y^2=9\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2=4\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+y^2=4\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp \(z\) là đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;0\right)\) bán kính \(R=2\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\) là điểm bất kì thuộc (C) và \(A\left(1;-2\right)\) thì \(AM=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2}=\left|z-1+2i\right|\)

Bài toán trở thành tìm điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách AM là lớn nhất với A là điểm cố định và nằm ngoài đường tròn

Đường thẳng IA kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại B và C (B nằm giữa A và C)

Với điểm M bất kì trên (C), áp dụng BĐT tam giác cho tam giác AMI ta có \(AM\le AI+IM=AI+IC=AC\) (do \(IM=IC=R\))

\(\Rightarrow AM_{max}=AC\) khi M trùng C

\(\Rightarrow AM_{max}=AI+IC=AI+R=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=4\)

bạn có thể giải thích rõ hơn được không

Đặt \(z=x+yi\)

Ta có

\(w=\left(x+yi-4i\right)\left(x-yi+2\right)=x^2+2x+y^2-4y+\left(2y-4x-8\right)i\)

Do \(w\) thuần ảo \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+2x+y^2-4y=0\\2y-4x-8\ne0\end{matrix}\right.\)

Tập hợp \(z\) là các điểm đường tròn (C) có phương trình:

\(x^2+2x+y^2-4y=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\) Đường tròn tâm \(I\left(-1;2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Nếu chưa thông thạo các quy tắc số phức lắm thì bạn cứ khai triển ra:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=a+bi\\v=x+yi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=x^2+y^2=100\)

\(3u-4v=3\left(a+bi\right)-4\left(x+yi\right)=\left(3a-4x\right)+\left(3b-4y\right)i\)

\(\left|3u-4v\right|=\sqrt{2016}\Rightarrow\left(3a-4x\right)^2+\left(3b-4y\right)^2=2016\)

\(\Leftrightarrow9\left(a^2+b^2\right)+16\left(x^2+y^2\right)-24\left(ax+by\right)=2016\)

\(\Leftrightarrow25\left(a^2+b^2\right)-24\left(ax+by\right)=2016\) (do \(a^2+b^2=x^2+y^2\))

\(4u-3v=4a-3x+\left(4b-3y\right)i\)

\(\Rightarrow M=\sqrt{\left(4a-3x\right)^2+\left(4b-3y\right)^2}\)

\(M=\sqrt{16\left(a^2+b^2\right)+9\left(x^2+y^2\right)-24\left(ax+by\right)}\)

\(M=\sqrt{25\left(a^2+b^2\right)-24\left(ax+by\right)}=\sqrt{2016}\)

a)

b)

c)

d)

Giải:

Đặt \(z=a+bi\) với $a,b$ là các số thực

Ta có:

\(|z-i|=|(1+i)z|\Leftrightarrow |a+i(b-1)|=|z||1+i|=|a+bi|\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+(b-1)^2=2(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow a^2+(b+1)^2=2\)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm \((0,-1)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Đặt \(z=x+yi\)

Từ điều kiện đề bài ta có \(\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\) (1)

\(w=\left(z+i\right)^2=\left(x+\left(y+1\right)i\right)^2=x^2-\left(y+1\right)^2+2x\left(y+1\right)i\)

Để \(w\) thuần ảo thì: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-\left(y+1\right)^2=0\\x\ne0\\y+1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\left(y+1\right)^2\\x\ne0\\y\ne-1\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\left(x-2\right)^2+x^2=4\Leftrightarrow2x^2-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z=2+i\\z=2-5i\end{matrix}\right.\) có 2 số thỏa mãn

\(\left(2+i\right)^2\) hay \(\left(2+z\right)^2\) hay cái gì khác hả bạn?

Câu 22:

\(A\left(-1;3\right);B\left(-3;-2\right);C\left(4;1\right)\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{29};AC=\sqrt{29};BC=\sqrt{58}\)

\(\Rightarrow ABC\) vuông cân tại A (pitago thấy \(AB^2+AC^2=BC^2\))

Câu 23:

\(\overline{z}=5+3i\Rightarrow1+5+3i+\left(5+3i\right)^2=22+33i\)

Câu 24:

\(f\left(z_0\right)=\left(1-2i\right)^3-3\left(1-2i\right)^2+1-2i-1=-2+12i\)

\(\overline{z_0}=1+2i\Rightarrow f\left(\overline{z_0}\right)=-2-12i\)

\(\Rightarrow-2+12i-\left(-2-12i\right)=24i\)

Câu 25:

\(iz+2-i=0\Rightarrow z=\frac{i-2}{i}=1+2i\) \(\Rightarrow A\left(1;2\right)\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-4-2\right)^2}=2\sqrt{10}\)

Câu 20:

Đặt \(z=x+yi\)

\(\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-7\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x+3y-6=0\) (1)

Quỹ tích z là đường thẳng d có pt (1)

Gọi \(A\left(4;1\right);B\left(2;4\right)\) , \(M\left(x;y\right)\) là điểm biểu diễn z thuộc d

\(\Rightarrow P=\left|MA-MB\right|\)

Thay tọa độ A, B vào pt (1) ta được 2 giá trị cùng dấu dương \(\Rightarrow\)A; B nằm cùng phía so với d

Áp dụng BĐT tam giác cho tam giác MAB ta luôn có: \(\left|MA-MB\right|\le AB\) , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng hay M là giao điểm của d và đường thẳng AB

\(\Rightarrow P_{max}=AB=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{13}\)

//Bài toán xong rồi, nhưng giả sử người ta yêu cầu tìm số phức z thì làm như bên dưới:

Phương trình AB: \(3x+2y-14=0\)

Tọa độ M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y-6=0\\3x+2y-14=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(6;-2\right)\)

Câu 21:

Quỹ tích z là đường tròn tâm \(I\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=1\) có pt:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=1\)

Gọi \(A\left(-3;1\right)\) và \(M\left(a;b\right)\) là điểm biểu diễn số phức

\(\Rightarrow MA=\left|z+3-i\right|\)

MA nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA và (C), M nằm giữa I và A

Phương trình IA: \(3x+4y+5=0\Rightarrow y=\frac{-5-3x}{4}\)

Thay vào pt (C):

\(\left(x-1\right)^2+\left(\frac{-5-3x}{4}+2\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\Rightarrow y=-\frac{7}{5}\\x=\frac{9}{5}\Rightarrow y=-\frac{13}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow p=-\frac{1}{7}\)

\(z\ne4i\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\frac{z-4}{z-4i}=\frac{a-4+bi}{a+\left(b-4\right)i}=\frac{\left(a-4+bi\right)\left(a-\left(b-4\right)i\right)}{a^2-\left(b-4\right)^2}=\frac{a\left(a-4\right)+b\left(b-4\right)-\left[\left(a-4\right)\left(b-4\right)-ab\right]i}{a^2-\left(b-4\right)^2}\)

Số phức trên là thuần ảo khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-4\right)+b\left(b-4\right)=0\\\left(a-4\right)\left(b-4\right)-ab\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2=8\\a+b-4\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp \(z\) là điểm \(M\left(a;b\right)\) thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(2;2\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\) và khác 2 điểm \(A\left(0;4\right)\) và \(B\left(4;0\right)\)

\(\left|z\right|^2=a^2+b^2=OM^2\)

\(\left|z\right|_{max}\) khi M trùng giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (giao điểm năm khác phía O so với I)

Phương trình OI: \(1\left(x-2\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)

Giao điểm của OI và (C): \(2\left(x-2\right)^2=8\Rightarrow\left(x-2\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M_1\left(0;0\right)\) (loại); \(M_2\left(4;4\right)\) \(\Rightarrow a=b=4\)

Không có kết quả?!

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}z_1+z_2=2i\\z_1z_2=-1-2i\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z_1^3+z_2^3=\left(z_1+z_2\right)\left(z_1^2+z_2^2-z_1z_2\right)=\left(z_1+z_2\right)\left(\left(z_1+z_2\right)^2-3z_1z_1\right)\)

\(=2i\left[\left(2i\right)^2-3\left(-1-2i\right)\right]=2i\left(6i-1\right)=-12-2i\)

ta có : \(\left|z+1+i\right|=\left|z+2i\right|\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+a^2+\left(b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow b=a-1\)

khí đó : \(P=\left|z-2-3i\right|+\left|z+1\right|=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a+1\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(a-4\right)^2}+\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)^2}\ge\sqrt{\left(2a-1\right)^2+\left(2a-5\right)^2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a-2}{a+1}=\dfrac{a-4}{a-1}=k>0\) \(\Leftrightarrow a\in\varnothing\) \(\Rightarrow\) không có giá trị của \(P=a+2b\)

\(\left|z\right|=1\Rightarrow z=cosx+i.sinx\)

\(z^3-z+2=cos3x+i.sin3x-cosx-i.sinx+2\)

\(=\left(cos3x-cosx+2\right)-i.\left(sin3x-sinx\right)\)

\(=\left(2-2sin2x.sinx\right)-i.2cos2x.sinx\)

\(=2\left[\left(1-sin2x.sinx\right)-i.cos2x.sinx\right]\)

\(\Rightarrow A=\left|z^3-z+2\right|=2\sqrt{\left(1-sin2x.sinx\right)^2+cos^22x.sin^2x}\)

\(A=2\sqrt{1-2sin2x.sinx+sin^22x.sin^2x+cos^22x.sin^2x}\)

\(A=2\sqrt{1-4sin^2x.cosx+sin^2x}\)

\(A=2\sqrt{1-4\left(1-cos^2x\right)cosx+1-cos^2x}\)

\(A=2\sqrt{4cos^3x-cos^2x-4cosx+2}\)

\(A_{max}\) khi \(4cos^3x-cos^2x-4cosx+2\) đạt max

Xét hàm \(f\left(t\right)=4t^3-t^2-4t+2\) trên \(\left[-1;1\right]\)

\(f'\left(t\right)=12t^2-2t-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\frac{1}{2}\\t=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đạt max tại \(t=-\frac{1}{2}\) hay \(A_{max}\) khi \(a=cosx=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow b^2=sin^2x=1-cos^2x=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow P=2a+4b^2=-1+3=2\)

Tổng cấp số nhân với \(u_1=1\); \(u_{2017}=i^{2016}\); \(p=i\)

\(\Rightarrow S=\frac{i^{2017}-1}{i-1}=\frac{i.\left(i^2\right)^{1008}-1}{i-1}=\frac{i-1}{i-1}=1\)