Chương 4: SỐ PHỨC - Hỏi đáp

Đặt \(z=a+bi\Rightarrow\overline{z}=a-bi\)

Ta có \(z.\overline{z}=1\Leftrightarrow\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2i^2=1\Leftrightarrow a^2+b^2=1\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp các số phức thỏa mãn điều kiện trên là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính 1 đơn vị độ dài

\(\dfrac{\left|z-i\right|}{\left|z+i\right|}\Leftrightarrow\left|z-i\right|=\left|z+i\right|\Leftrightarrow\left|x+yi-i\right|=\left|x+yi+i\right|\)\(\Leftrightarrow\left(\left|x^2+\left(y+1\right)^2\right|\right)^2=\left(\left|x^2+\left(y-1\right)^2\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2y+1=x^2+y^2+2y+1\)

\(\Rightarrow y=0\)

Vậy là trục 0x

Đ/án : D

đặc \(z=a+bi\) (\(a;b\in R\) và \(i^2=-1\))

ta có : \(Y=3\left|z\right|+4\left|z-4i\right|+5\left|z-3\right|\)

\(\Leftrightarrow Y=3\left|a+bi\right|+4\left|a+\left(b-4\right)i\right|+5\left|\left(a-3\right)+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow Y=3\sqrt{a^2+b^2}+4\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}+5\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

\(Y\ge-\sqrt{\left(3^2+4^2+5^2\right)\left(a^2+b^2+a^2+\left(b-4\right)^2+\left(a-3\right)^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow Y\ge-5\sqrt{2}.\sqrt{3a^2+3b^2-8b-6a+25}\)

\(\Leftrightarrow Y\ge-5\sqrt{2}.\sqrt{3\left(a-1\right)^2+\left(\sqrt{3}b-\dfrac{8}{2\sqrt{3}}\right)^2+\dfrac{50}{3}}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{3}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(a-3\right)^2}+b^2}\)

giải ra tìm được \(a;b\) rồi thay ngược trở lại nha

d) |x - 4| + 3x = 5

|x - 4| + 3x = 5 ⇔ x - 4 + 3x = 5 khi x ≥ 4

                       ⇔ 4x             = 9

                       ⇔ x              =  (không thoả mãn điều kiện x ≥ 4)

 |x - 4| + 3x = 5 ⇔ -x + 4 + 3x = 5 khi x < 4

                        ⇔ 2x              = 1

                        ⇔ x                = 

b) |x + 4| = 2x - 5 ⇔ x + 4 = 2x - 5 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4

                           ⇔ x       = 9 ( thoả mãn điều kiện x ≥ -4)

 |x + 4| = 2x - 5 ⇔ -x - 4 = 2x - 5 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4

                        ⇔ 3x      = 1

                        ⇔ x       =  (không thoả mãn điều kiện x < -4)

Vậy phương trình có nghiệm x = 9

ta có : \(\left|z+1+i\right|=\left|z+2i\right|\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+a^2+\left(b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow b=a-1\)

khí đó : \(P=\left|z-2-3i\right|+\left|z+1\right|=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2}+\sqrt{\left(a+1\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(a-4\right)^2}+\sqrt{\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)^2}\ge\sqrt{\left(2a-1\right)^2+\left(2a-5\right)^2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a-2}{a+1}=\dfrac{a-4}{a-1}=k>0\) \(\Leftrightarrow a\in\varnothing\) \(\Rightarrow\) không có giá trị của \(P=a+2b\)

- là số phức và số phức liên hợp á bạn..

câu A

A(1;3) ; B(-3;6)

\(\overrightarrow{AB}\)= (-4;3)

\(\left|\overrightarrow{AB}\right|\)= \(\sqrt{\left(-4\right)^2+3^2}\) = 5

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)

Có:

\(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)

\(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)

(do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )

\(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)

Theo BĐT Mincopxky :

\(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)

\(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)

Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)

Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)

Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)

đặc \(z=a+bi\) với \(\left(a;b\in R;i^2=-1\right)\)

ta có : \(\left|z-\overline{z}+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}z+\dfrac{1}{2}\overline{z}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a+bi-a+bi+2i\right|=\left|\dfrac{3}{2}a+\dfrac{3}{2}bi+\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2b+2\right)^2}=\sqrt{\left(2a+b\right)^2}\) \(\Leftrightarrow2b+2=2a+b\Leftrightarrow a=\dfrac{b}{2}+1\)

ta có : \(P=\left|z-3\right|=\left|a+bi-3\right|=\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}+1-3\right)^2+b^2}=\sqrt{\left(\dfrac{b}{2}-2\right)^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow P=\sqrt{\dfrac{5b^2}{4}-2b+4}\ge\sqrt{4-\dfrac{\left(-2\right)^2}{4.\dfrac{5}{4}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

dấu "=" xảy ra khi \(b=\dfrac{2}{2.\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\) và \(a=\dfrac{7}{5}\) \(\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{5}+\dfrac{4}{5}i\)

ta có : \(\left|z^2+4\right|=2\left|z\right|\Leftrightarrow\left|\left(a+bi\right)^2+4\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|a^2-b^2+4+2abi\right|=2\left|a+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2}=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2+4\right)^2+\left(2ab\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+16-2a^2b^2-8b^2+8a^2+4a^2b^2=4a^2+4b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-4a^2-4b^2+4=8b^2-8a^2-12=P\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2\right)^2-4\left(a^2+b^2\right)+4\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a^2+b^2-2\right)^2=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)

vậy \(P=\left(\left|z\right|^2-2\right)^2\)