Chương 4: GIỚI HẠN - Hỏi đáp

\(\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)+1\right]}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}\)

\(\Rightarrow u_n=\frac{1.\left(3^2-3+1\right)}{3.\left(2^2-2+1\right)}.\frac{2\left(4^2-4+1\right)}{4.\left(3^2-3+1\right)}.\frac{3\left(5^2-5+1\right)}{5\left(4^2-4+1\right)}...\frac{\left(n-1\right)\left[\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)+1\right]}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}\)

\(\Rightarrow u_n=\frac{1.2.\left[\left(n+1\right)^2-\left(n+1\right)+1\right]}{\left(2^2-2+1\right).n\left(n+1\right)}=\frac{2n^2+2n+2}{3n^2+3n}\)

\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\frac{2n^2+2n+2}{3n^2+3n}=\frac{2}{3}\)

\(=lim\frac{1}{2\sqrt{2}n\sqrt[4]{1+\frac{3}{64n}-\frac{1}{32n^2}+\frac{1}{64n^4}}-n\sqrt{1-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}-3n}\)

\(=lim\frac{1}{2\sqrt{2}n-n-3n}=lim\frac{1}{\left(2\sqrt{2}-4\right)n}=0\)

Hình như bài này bản hỏi 1 lần rồi thì phải:

Câu hỏi của Đức Nguyễn Nguyện - Toán lớp 11 | Học trực tuyến

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{x+7}-3+\sqrt{3x+10}-4}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\frac{x-2}{\sqrt{x+7}+3}+\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{3x+10}+4}}{x-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+10}+4}\right)=\frac{13}{24}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{-x\sqrt{4x^2+3}}{2x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\sqrt{4+\frac{3}{x^2}}}{2-\frac{1}{x}}=-\infty\)

\(lim\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+3}}=lim\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n}}}=\frac{1}{2}\)

\(lim\left(\frac{\left(n-2\right)^2-\left(3n^2+n-1\right)}{n-2+\sqrt{3n^2+n-1}}\right)=lim\frac{-2n^2-5n+5}{n-2+\sqrt{3n^2+n-1}}=lim\frac{-2n+5+\frac{5}{n}}{1-\frac{2}{n}+\sqrt{3+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}}=-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(x^3-2x+1\right)^{\frac{1}{3}}-1}{x^2+2x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{3}\left(3x-2\right)\left(x^3-2x+1\right)^{-\frac{2}{3}}}{2x+2}=-\frac{1}{3}\)

\(=lim\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\)

\(=lim\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}.\left(1-0\right)=\frac{1}{2}\)

\(=lim\frac{\sqrt{2+\frac{3}{n}}}{\sqrt{2}+\frac{5}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{2+0}}{\sqrt{2}+0}=1\)

x tiến tới đâu zậy bạn?

Sẽ hợp lý hơn nếu giới hạn này là dạng chuỗi số (ẩn n) chứ ko phải chuỗi hàm (ẩn x):

\(lim\left(\frac{2n}{n^2+n+1}+\frac{2n}{n^2+n+2}+...+\frac{2n}{n^2+2n}\right)\)

Vì \(2n\) nằm trong quy luật của cấp số cộng \(n+1;n+2...\) nhưng \(2x\) với x là số thực thì ko hề nằm trong quy luật này, cho nên ta ko biết số số hạng của tổng chuỗi hàm này là bao nhiêu cả, chỉ xác định được số số hạng nếu nó là tổng chuỗi số

Nếu nó là dạng \(lim\left(\frac{2n}{n^2+n+1}+\frac{2n}{n^2+n+2}+...+\frac{2n}{n^2+2n}\right)\)

Thì ta có thể sử dụng giới hạn kẹp

\(\frac{2n}{n^2+n}+\frac{2n}{n^2+n}+...+\frac{2n}{n^2+n}>\frac{2n}{n^2+n+1}+...+\frac{2n}{n^2+2n}>\frac{2n}{n^2+2n}+...+\frac{2n}{n^2+2n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2n^2}{n^2+n}>\frac{2n}{n^2+n+1}+...+\frac{2n}{n^2+2n}>\frac{2n^2}{n^2+2n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2n}{n+1}>\frac{2n}{n^2+n+1}+...+\frac{2n}{n^2+2n}>\frac{2n}{n+2}\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}lim\frac{2n}{n+1}=2\\lim\frac{2n}{n+2}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow lim\left(\frac{2n}{n^2+n+1}+\frac{2n}{n^2+n+2}+...+\frac{2n}{n^2+2n}\right)=2\)

\(lim\frac{\sqrt{n+\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n-\sqrt{n}}}=lim\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}}{\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{n}}}}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{0+0}}}{\sqrt{1-\sqrt{0}}}=1\)

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}{x^2+x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+x^2\right)^{\frac{1}{3}}-\left(1-2x\right)^{\frac{1}{4}}}{x^2+x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{2}{3}x\left(1+x^2\right)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}\left(1-2x\right)^{-\frac{3}{4}}}{2x+1}=\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Ta có:

\(\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{2-x}=\lim_{x\to 2}\frac{x^2+5-9}{(\sqrt{x^2+5}+3)(2-x)}=\lim_{x\to 2}.\frac{x^2-4}{(\sqrt{x^2+5}+3)(2-x)}\)

\(=\lim_{x\to 2}\frac{-(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}=\frac{-(2+2)}{\sqrt{2^2+5}+3}=-\frac{2}{3}\)