Chương 4: GIỚI HẠN - Hỏi đáp

Đây ko phải dạng vô định, bạn cứ thay số thoải mái thôi

\(=\frac{4}{0}=\infty\)

Tính giới hạn khi x tiến tới đâu chứ bạn?

Chắc bạn ghi nhầm đề, pt này giải luôn được mà:

\(x^{2018}-2018=0\Leftrightarrow x^{2018}=2018\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[2018]{2018}\)

Phương trình có đúng 2 nghiệm

\(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}>\frac{1}{\sqrt[3]{3}}>...>\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\)

\(\Rightarrow\frac{n-1}{\sqrt[3]{n}}< f\left(n\right)< \frac{n-1}{\sqrt[3]{2}}\)

Mà \(\lim\limits\frac{n-1}{\sqrt[3]{n}\left(n^2+1\right)}=\lim\limits\frac{n-1}{\sqrt[3]{n}\left(n^2+1\right)}=0\)

\(\Rightarrow\lim\limits\frac{f\left(n\right)}{n^2+1}=0\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{-2sin\frac{4037x}{2}.sin\frac{x}{2}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(-sin\frac{4037x}{2}.\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)=0.1=0\)

Mẫu là \(x^2\) thì có vẻ đẹp hơn :)

Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-30041975\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(0\right)=-30041975< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-x-30041975\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a< 0\) đủ nhỏ sao cho \(f\left(a\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;0\right)\) hay \(\left(-\infty;0\right)\)

Tương tự: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\Rightarrow\) luôn tồn tại ít nhất 1 số thực \(b>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(b\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;b\right)\) hay \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có nhiều hơn 1 nghiệm

\(\lim\limits\frac{3^n+4^n+3}{4^n+2^n-1}=\lim\limits\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n+1+3\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1+\left(\frac{2}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{4}\right)^n}=\frac{0+1+0}{1+0+0}=1\)

\(\lim\limits\frac{5.2^n+9.3^n}{2.2^n+3.3^n}=\lim\limits\frac{5\left(\frac{2}{3}\right)^n+9}{2.\left(\frac{2}{3}\right)^n+3}=\frac{0+9}{0+3}=3\)

\(\lim\limits\frac{4^n-7^n}{2^n+15^n}=\lim\limits\frac{\left(\frac{4}{15}\right)^n-\left(\frac{7}{15}\right)^n}{\left(\frac{2}{15}\right)^n+1}=\frac{0-0}{0+1}=0\)

\(\lim\limits\frac{6.5^n+9^n}{3.12^n+7^n}=\lim\limits\frac{6\left(\frac{5}{12}\right)^n+\left(\frac{9}{12}\right)^n}{3+\left(\frac{7}{12}\right)^n}=\frac{0+0}{3+0}=0\)

\(\lim\limits\frac{\sqrt{5}^n}{3^n+1}=\lim\limits\frac{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^n}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^n}=\frac{0}{1+0}=0\)

\(\lim\limits\frac{5.5^n-3.7^n}{3.10^n+36.6^n}=\lim\limits\frac{5.\left(\frac{5}{10}\right)^n-3\left(\frac{7}{10}\right)^n}{3+36\left(\frac{6}{10}\right)^n}=\frac{0-0}{3+0}=0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{a^2x^2-x^2-bx-1}{ax-\sqrt{x^2+bx+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(a^2-1\right)x-b-\frac{1}{x}}{a+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(a^2-1\right)x-b}{a+1}\)

Để giới hạn đã cho là hữu hạn và bằng \(\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-1=0\\-\frac{b}{a+1}=\frac{1}{2}\\a\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A=1\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^4-3x+1\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(1\right)=-1\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;1\right)\) hay pt đã cho luôn có nghiệm

Đặt \(S=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

\(n^2+1< n^2+2< ...< n^2+n\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}>\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}>...>\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

\(\Rightarrow\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}>\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\sqrt{n^2+n}\)

\(\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}< \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

\(\Rightarrow\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}< S< \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\)

Mà \(lim\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=lim\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1\)

\(\Rightarrow lim\left(S\right)=1\) theo nguyên lý kẹp

Lời giải:

\(\lim\limits_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{2x+1}}{x-4}=\lim\limits_{x\to 4}\frac{(x+5)-(2x+1)}{(\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+1})(x-4)}=\lim\limits_{x\to 4}\frac{4-x}{(\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+1})(x-4)}\)

\(=\lim\limits_{x\to 4}\frac{-1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+1}}=\frac{-1}{\sqrt{4+5}+\sqrt{2.4+1}}=\frac{-1}{6}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{5x-1}-2+2-\sqrt[3]{10x-2}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\frac{5\left(x-1\right)}{\sqrt{5x-1}+2}-\frac{10\left(x-1\right)}{4+2\sqrt[3]{10x-2}+\sqrt[3]{\left(10x-2\right)^2}}}{\sqrt{2}\left(x-1\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{5}{\sqrt{5x-1}+2}-\frac{10}{4+2\sqrt[3]{10x-2}+\sqrt[3]{\left(10x-2\right)^2}}\right)=\frac{5}{12\sqrt{2}}=\frac{5}{3.2^2\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=7\)