Chương 4: GIỚI HẠN - Hỏi đáp

Hình như bài này bản hỏi 1 lần rồi thì phải:

Câu hỏi của Đức Nguyễn Nguyện - Toán lớp 11 | Học trực tuyến

3.

\(y=\left(3-sinx\right)\left(1-sinx\right)\ge0\)

\(\Rightarrow y_{min}=0\) khi \(sinx=1\)

\(y=sin^2x-4sinx-5+8=\left(sinx+1\right)\left(sinx-5\right)+8\le8\)

\(y_{max}=8\) khi \(sinx=-1\)

4.

\(0\le\sqrt{sinx}\le1\Rightarrow3\le y\le5\)

\(y_{min}=3\) khi \(sinx=0\)

\(y_{max}=5\) khi \(sinx=1\)

5.

Đề là \(cos^24x\) hay \(cos\left(\left(4x\right)^2\right)\)

Hai biểu thức này cho 2 kết quả khác nhau

1.

\(y=\sqrt{5-\frac{1}{2}\left(2sinx.cosx\right)^2}=\sqrt{5-\frac{1}{2}sin^22x}\)

Do \(0\le sin^22x\le1\) \(\Rightarrow\frac{3\sqrt{2}}{2}\le y\le\sqrt{5}\)

\(y_{min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) khi \(sin^22x=1\)

\(y_{max}=\sqrt{5}\) khi \(sin2x=0\)

2.

\(y=cos^2x+2\left(2cos^2x-1\right)=5cos^2x-2\)

Do \(0\le cos^2x\le1\Rightarrow-2\le y\le3\)

\(y_{min}=-2\) khi \(cosx=0\)

\(y_{max}=3\) khi \(cos^2x=1\)

Hình như: \(n^2u_n=\dfrac{2.2^2.3^2...n^2}{\left(2^2-1\right)\left(3^2-1\right)...\left(n^2-1\right)}\)

Đề bài sai.

Với \(\left[{}\begin{matrix}u_1>2+\sqrt{2}\\u_1< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) thì dãy không có giới hạn (tiến tới âm vô cực)

Đây ko phải dạng vô định, bạn cứ thay số thoải mái thôi

\(=\frac{4}{0}=\infty\)

Tính giới hạn khi x tiến tới đâu chứ bạn?

Chắc bạn ghi nhầm đề, pt này giải luôn được mà:

\(x^{2018}-2018=0\Leftrightarrow x^{2018}=2018\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[2018]{2018}\)

Phương trình có đúng 2 nghiệm

\(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}>\frac{1}{\sqrt[3]{3}}>...>\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\)

\(\Rightarrow\frac{n-1}{\sqrt[3]{n}}< f\left(n\right)< \frac{n-1}{\sqrt[3]{2}}\)

Mà \(\lim\limits\frac{n-1}{\sqrt[3]{n}\left(n^2+1\right)}=\lim\limits\frac{n-1}{\sqrt[3]{n}\left(n^2+1\right)}=0\)

\(\Rightarrow\lim\limits\frac{f\left(n\right)}{n^2+1}=0\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{-2sin\frac{4037x}{2}.sin\frac{x}{2}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(-sin\frac{4037x}{2}.\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)=0.1=0\)

Mẫu là \(x^2\) thì có vẻ đẹp hơn :)

Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-30041975\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(0\right)=-30041975< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4-x-30041975\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a< 0\) đủ nhỏ sao cho \(f\left(a\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;0\right)\) hay \(\left(-\infty;0\right)\)

Tương tự: \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\Rightarrow\) luôn tồn tại ít nhất 1 số thực \(b>0\) đủ lớn sao cho \(f\left(b\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;b\right)\) hay \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có nhiều hơn 1 nghiệm

\(\lim\limits\frac{3^n+4^n+3}{4^n+2^n-1}=\lim\limits\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n+1+3\left(\frac{1}{4}\right)^n}{1+\left(\frac{2}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{4}\right)^n}=\frac{0+1+0}{1+0+0}=1\)

\(\lim\limits\frac{5.2^n+9.3^n}{2.2^n+3.3^n}=\lim\limits\frac{5\left(\frac{2}{3}\right)^n+9}{2.\left(\frac{2}{3}\right)^n+3}=\frac{0+9}{0+3}=3\)

\(\lim\limits\frac{4^n-7^n}{2^n+15^n}=\lim\limits\frac{\left(\frac{4}{15}\right)^n-\left(\frac{7}{15}\right)^n}{\left(\frac{2}{15}\right)^n+1}=\frac{0-0}{0+1}=0\)

\(\lim\limits\frac{6.5^n+9^n}{3.12^n+7^n}=\lim\limits\frac{6\left(\frac{5}{12}\right)^n+\left(\frac{9}{12}\right)^n}{3+\left(\frac{7}{12}\right)^n}=\frac{0+0}{3+0}=0\)

\(\lim\limits\frac{\sqrt{5}^n}{3^n+1}=\lim\limits\frac{\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^n}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^n}=\frac{0}{1+0}=0\)

\(\lim\limits\frac{5.5^n-3.7^n}{3.10^n+36.6^n}=\lim\limits\frac{5.\left(\frac{5}{10}\right)^n-3\left(\frac{7}{10}\right)^n}{3+36\left(\frac{6}{10}\right)^n}=\frac{0-0}{3+0}=0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{a^2x^2-x^2-bx-1}{ax-\sqrt{x^2+bx+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(a^2-1\right)x-b-\frac{1}{x}}{a+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\left(a^2-1\right)x-b}{a+1}\)

Để giới hạn đã cho là hữu hạn và bằng \(\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-1=0\\-\frac{b}{a+1}=\frac{1}{2}\\a\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A=1\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^4-3x+1\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng thuộc R

\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(1\right)=-1\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left(0;1\right)\) hay pt đã cho luôn có nghiệm