Chương 4: GIỚI HẠN

Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 3 lúc 22:34

Chọn \(f\left(x\right)=3x-2\)

Giới hạn đã cho hữu hạn khi \(\left[{}\begin{matrix}3x-2-m^2=0\\2.\left(3x-2\right)+2m+1=0\end{matrix}\right.\) có nghiệm \(x=1\)

TH1: \(3x-2-m^2=0\) có nghiệm \(x=1\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)

Với \(m=1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-3\right)\left(6x-1\right)}{x^2-3x+2}=-15\left(ktm\right)\)

Với \(m=-1\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-3\right)\left(6x-5\right)}{x^2-3x+2}=-3\left(ktm\right)\)

TH2: \(2\left(3x-2\right)+2m+1=0\) có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{3}{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(3x-2-\dfrac{9}{4}\right)\left(6x-6\right)}{x^2-3x+2}=\dfrac{15}{2}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=-\dfrac{3}{2}\)

Bình luận (1)
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 2 lúc 21:42

Giả thiết suy ra \(f\left(1\right)=1\)

Giới hạn \(\dfrac{\left[f\left(x\right)-m^2\right].\left[2f\left(x\right)+2m+1\right]}{x^2-3x+2}\) hữu hạn nên \(\left[f\left(x\right)-m^2\right]\left[2f\left(x\right)+2m+1\right]=0\) có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow\left[f\left(1\right)-m^2\right].\left[2f\left(1\right)+2m+1\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)\left(2m+3\right)=0\)

\(\Rightarrow m=\left\{-\dfrac{3}{2};-1;1\right\}\)

Lần lượt thay 3 giá trị ta được \(m=-\dfrac{3}{2}\) thỏa mãn (đến đoạn này biện pháp tốt nhất là chọn hàm \(f\left(x\right)=x^2+x-1\) rồi CALC là 3s xong kết quả chứ tính tay 3 con giới hạn chắc hết ngày)

Bình luận (0)
camcon
Xem chi tiết

Giới hạn đến 2- thì là x nhỏ hơn 2, giới hạn đến 2+ thì là lớn hơn 2

Mà thật ra là bạn chỉ nên quan đến khi x tiến đến 2- hay 2+ khi có dấu căn hoặc là giá trị tuyệt đối thôi, còn trong những dạng này thì thay như bình thường. Mẫu bằng 0 thì xem trên tử, tử bằng 0 thì biến đổi hoặc tử khác 0 thì sẽ ra kết quả luôn

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{3x^2+x-1}{2x^2-5x+2}\)

\(=+\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow2^-}3x^2+x-1=3\cdot2^2+2-1=3\cdot4+1=13>0\\\lim\limits_{x\rightarrow2^-}2x^2-5x+2=2\cdot2^2-5\cdot2+2=0\\\end{matrix}\right.\)

 

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 1 lúc 22:46

Giới hạn 1 phía thì gần như bạn kia nói (mặc dù cuối cùng lại kết luận sai). Với \(x\rightarrow2^-\) thì đồng nghĩa \(x< 2\), nên khi đó nhìn lên khu vực xét dấu của \(2x^2-5x+2\) ta sẽ biết nó âm hay dương.

Nếu giới hạn \(x\rightarrow2\) mà tử, mẫu có cùng nhân tử \(x-2\) (nghĩa là rút gọn được) thì làm bình thường. Còn nếu chỉ có mẫu tiến tới 0, tử tiến tới 1 số khác 0 thì có thể kết luận ngay là giới hạn này ko tồn tại (ngoại trừ trường hợp dấu của mẫu số ko đổi khi x đi qua 2, ví dụ như \(\left(2x^2-5x+2\right)^2\) thì nó luôn dương, hoặc \(\left|2x^2-5x+2\right|\) cũng vậy)

Ví dụ cụ thể: \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\dfrac{3x^2+x-1}{2x^2-5x+2}=-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2+x-1}{2x^2-5x+2}\) không tồn tại.

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2+x-1}{\left|2x^2-5x+2\right|}=+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2+x-1}{-\left(2x^2-5x+2\right)^2}=-\infty\)

Theo định nghĩa về giới hạn tại 1 điểm: giới hạn tại 1 điểm chỉ tồn tại khi giới hạn trái và giới hạn phải tại đó bằng nhau.

Nghĩa là muốn \(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow a^-}f\left(x\right)\)

Trong ví dụ của em \(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=-\infty\) còn \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=+\infty\)

Rõ ràng là \(-\infty\ne+\infty\) nên \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^2+x-1}{2x^2-5x+2}\) ko tồn tại

Bình luận (2)
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 1 lúc 22:27

\(a+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}-\dfrac{3x+3}{\sqrt{x}}=0\) có nghiệm \(x=1\)

\(\Rightarrow a+\dfrac{2}{\sqrt{1}}-\dfrac{6}{\sqrt{1}}=0\Rightarrow a=4\)

\(4+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}-\dfrac{3x+3}{\sqrt{x}}=3\left(2-\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}\right)+\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}-2\right)\)

\(=-3\left(\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x}\left(x+1+2\sqrt{x}\right)}\right)+\dfrac{-3\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x^2-x+1}\left(x+1-2\sqrt{x^2-x+1}\right)}\)

Rút gọn với \(\left(x-1\right)^2\) bên ngoài rồi thay dố là được

Bình luận (0)
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 1 lúc 23:41

Dạng \(u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}\) này có 1 cách làm chung:

Đặt \(v_n=u_n+k\) với k sao cho sau khi chuyển vế rút gọn thì tử số của \(\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}\) triệt tiêu mất số hạng tự do b là được.

Ví dụ ở bài này, ta đặt ra nháp:

\(u_n=v_n+k\Rightarrow v_{n+1}+k=\dfrac{4\left(v_n+k\right)+2}{v_n+3+k}\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=\dfrac{4v_n+4k+2}{v_n+k+3}-k=\dfrac{4v_n+4k+2-k\left(v_n+k+3\right)}{v_n+k+3}\)

\(=\dfrac{\left(4-k\right)v_n+2-k^2+k}{v_n+k+3}\)

Cần k sao cho \(-k^2+k+2=0\Rightarrow k=-1\) (lấy số nhỏ cho gọn). Vậy là xong. Thực tế ta làm như sau:

Đặt \(u_n=v_n-1\Rightarrow v_1=u_1+1=4\)

\(v_{n+1}-1=\dfrac{4\left(v_n-1\right)+2}{v_n+2}\Rightarrow v_{n+1}=\dfrac{4v_n-2}{v_n+2}+1=\dfrac{5v_n}{v_n+2}\)

(sau đó nghịch đảo 2 vế):

\(\Rightarrow\dfrac{1}{v_{n+1}}=\dfrac{v_n+2}{5v_n}=\dfrac{2}{5}.\dfrac{1}{v_n}+\dfrac{1}{5}\)

(Đây là gần như 1 dãy bình thường rồi)

(Tiếp tục đặt \(\dfrac{1}{v_n}=x_n+k\) sao cho triệt tiêu nốt số hạng \(\dfrac{1}{5}\) bên phải đi:

\(x_{n+1}+k=\dfrac{2}{5}\left(x_n+k\right)+\dfrac{1}{5}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{2}{5}.x_n+\dfrac{2k}{5}+\dfrac{1}{5}-k\)

\(\Rightarrow\dfrac{2k}{5}+\dfrac{1}{5}-k=0\Rightarrow k=\dfrac{1}{3}\))

Đặt \(\dfrac{1}{v_n}=x_n+\dfrac{1}{3}\Rightarrow x_1=\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}\)

\(\Rightarrow x_{n+1}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\left(x_n+\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow x_{n+1}=\dfrac{2}{5}x_n\)

Đây là công thức cấp số nhân dạng , do đó ta có: \(x_n=-\dfrac{1}{12}.\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{v_n}=x_n+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{12}.\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2^{n-1}}{12.5^{n-1}}+\dfrac{4.5^{n-1}}{12}=\dfrac{4.5^{n-1}-2^{n-1}}{12.5^{n-1}}\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{12.5^{n-1}}{4.5^{n-1}-2^{n-1}}\)

\(\Rightarrow u_n=v_n-1=\dfrac{12.5^{n-1}}{4.5^{n-1}-2^{n-1}}-1\)

\(lim\left(u_n+4\right)=lim\left(\dfrac{12.5^{n-1}}{4.5^{n-1}-2^{n-1}}+3\right)=\dfrac{12}{4}+3=6\)

Đây là cách làm cơ bản, còn trên thực tế, khi trắc nghiệm chỉ cần đơn giản như sau:

Giả sử \(lim\left(u_n\right)=a\), hiển nhiên dãy đã cho dương nên a dương

Lấy giới hạn 2 vế giả thiết:

\(lim\left(u_{n+1}\right)=lim\left(\dfrac{4u_n+2}{u_n+3}\right)\Rightarrow a=\dfrac{4a+2}{a+3}\)

\(\Rightarrow a^2+3a=4a+2\)

\(\Rightarrow a^2-a-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\\a=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow lim\left(u_n+4\right)=2+4=6\)

Nhanh hơn khoảng 1 tỉ lần :D

Bình luận (5)