Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Hệ BPT(I) \(\left\{\begin{matrix}2x^2+7x+9\ge0\left(1\right)\\\frac{3x+1}{x}>0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Bất pt (1) \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{7}{4}\right)^2+\frac{23}{16}\ge0\) =>đúng với mọi x

Bất pt(2)\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)x>0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x< -\frac{1}{3}\\x>0\end{matrix}\right.\)

Nghiệm của hệ (I)là: x<-1/3 hoặc x>0

Bai1:

\(-2x+\frac{3}{5}\le\frac{3\left(2x-7\right)}{3}\Leftrightarrow-10x+3\le5\left(2x-7\right)\Leftrightarrow-10x+3\le10x-35\)

\(\Leftrightarrow\left(10+10\right)x\ge3+35\Rightarrow x\ge\frac{38}{20}=\frac{19}{10}\)

Bài

\(\left\{\begin{matrix}x+m-1>0\\3m-2-x>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(I\right)\left\{\begin{matrix}x>1-m\\x< 3m-2\end{matrix}\right.\)

Hệ (I) có nghiệm cần m thỏa mãn:

\(1-m< 3m-2\Leftrightarrow1+2< 3m+m\Rightarrow m>\frac{3}{2}\)

Kết luận: để hệ có nghiệm cần: m>3/2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM_GM kết hợp với $abc=1$:

\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=3a\). Tương tự với các phân thức khác

\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+3\geq 3(a+b+c)\)

Tiếp tục áp dụng AM_GM:

\(\frac{b}{a}+b^2c^2a+c\geq 3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc......\), công theo vế và rút gọn

\(\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ac)=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cộng hai BĐT thu được lại, ta có:

\(\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\geq 2\left(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

mk k bt lm. Mk ms hk lp 8...

Lời giải:

Nhân $4$ vào cả hai vế, phương trình trở thành:

\(4x^2+4y^2+4z^2-4xy-12y-8z+16=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-y)^2+3(y-2)^2+(2z-2)^2=0\)

Vì \((2x-y)^2, (y-2)^2,(2z-2)^2\geq 0\forall x,y,z\in\mathbb{Z}\) nên

\((2x-y)^2+3(y-2)^2+(2z-2)^2\geq 0\)

Dấu $=$ xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\ y-2=0\\ 2z-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2\\ x=1\\ z=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \((x,y,z)=(1,2,1)\) là nghiệm của HPT

Ta có \(x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+4=0\)

Nhân cả 2 vế với 4

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2-4xy-12y-8z+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(3y^2-12y+12\right)+\left(4z^2-8z+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+3\left(y-2\right)^2+\left(2z-2\right)^2=0\left(1\right)\)

Vì \(\left(2x-y\right)^2\ge0;\) \(3\left(y-2\right)^2\ge0;\) \(\left(2z-2\right)^2\ge0\)

Để xảy ra (1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\y-2=0\\2z-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+4=0\) tại x = 1; y = 2; z = 1

Ta có: P = 2xy + 2yz + 7zx

\(\Leftrightarrow\)2P = 4xy + 4y

Cho x2+y2+z2=9

Tìm GTLN của P=2xy+2yz+7zx

\(\Leftrightarrow\)2P = 4xy + 4yz + 14zx

\(\Leftrightarrow\)2P - 72 = - 8(x² + y² + z²) + 4xy + 4yz + 14zx

= ( - x² + 4xy - 4y²) + ( - z² + 4yz - 4y²) + ( - 7x² + 14zx - 7z²)

= - (x - 2y)² - (z - 2y)² - 7(x - z)² \(\le\)0

\(\Rightarrow P\le36\)

Vậy GTLN là 36 đạt được khi: x = z = - 2, y = - 1 hoặc x = z = 2, y = 1

M thuoc d => y=1-2x

=> M(t ; 1-2t)

d_(M;D)=2

<=> \(\frac{\left|4t+3\left(1-2t\right)-10\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)

<=> |-2t-7|=10

<=> \(\left[\begin{matrix}t=\frac{17}{2}\\t=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

M(\(\frac{17}{2};-16\)) hoac M(\(-\frac{3}{2};4\))

pt 3 cạnh của tam giác là pt từng cạnh à

Lời giải:

Xét hàm \(y=(m-2)x^4-2(m+1)x^2+2m-1\)

Ta thấy số mũ của $x$ đều chẵn nên hàm $y$ là hàm chẵn ( tức là nếu nó nhận một giá trị $t$ là nghiệm thì giá trị đối của nó $-t$ cũng là nghiệm)

Do đó, để phương trình \(y=0\) có một nghiệm chỉ khi $y$ chỉ nhận $x=0$ là nghiệm. Để thỏa mãn điều đó thì trước tiên \(y(0)=2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\).

Thay vào PT ban đầu trở thành \(x^4+2x^2=0\). Phương trình này đúng là chỉ có một nghiệm $x=0$.

Vậy $m=\frac{1}{2}$

.