Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tỉ lệ vận tốc của xe máy lúc đi và lúc về là:

\(25:30=\frac{5}{6}\)

=> Tỉ lệ thời gian của xe máy lúc đi và lúc về là \(\frac{6}{5}\)

Đổi: \(20p=\frac{1}{3}h\)

Thời gian xe máy lúc đi là:

\(\frac{1}{3}.6=2\) (giờ)

Quãng đường AB dài:

\(25.2=50\) (km)

Đáp số: 50 km

Mình giải đc đó  

TXĐ:D=R

bpt nghiệm đúng với mọi x \(\in\)R

\(\Leftrightarrow-1\le\frac{x^2+5x+a}{2x^2-3x+2}<7\)  với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+5x+a<7\left(2x^2-3x+2\right)\\x^2+5x+a\ge-\left(2x^2-3x+2\right)\end{cases}\)  với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}13x^2-26x+14-a>0\\3x^2+2x+a+2\ge0\end{cases}\)    với mọi \(x\in R\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta1<0;a1=13>0\\\Delta2\le0;a2=3>0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}13^2-13\left(14-a\right)<0\\1^2-3\left(a+2\right)\le0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}a<1\\a\ge\frac{-5}{3}\end{cases}\)

Kết hợp 2 ĐK rồi KL.

a1 và a2 ở đâu ra vậy bạn ?

đenta 1 và đenta 2 tại sao lại ngược chiều với bất phương trình vậy bạn ?

Hint: \(pt\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-y-2\right)\left(x^2+y^2+xy-4x-2y+5\right)=0\)

Do \(a,b,c>0\) nên áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)(ĐPCM)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a-\dfrac{1}{2}\\y=b-\dfrac{1}{2}\\z=c-\dfrac{1}{2}\\t=d-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x+y+z+t=0\)

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x+1\right)}{4x^2+3}+\dfrac{2\left(2y+1\right)}{4y^2+3}+\dfrac{2\left(2z+1\right)}{4z^2+3}+\dfrac{2\left(2t+1\right)}{4t^2+3}\le\dfrac{8}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+3}+\dfrac{\left(2y-1\right)^2}{4y^2+3}+\dfrac{\left(2z-1\right)^2}{4z^2+3}+\dfrac{\left(2t-1\right)^2}{4t^2+3}\ge\dfrac{4}{3}\left(1\right)\)

Ta có: \(4x^2+3=3x^2+3+\left(y+z+t\right)^2\le3x^2+3+3\left(y^2+z^2+t^2\right)\)

\(=3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+3}\ge\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT_{\left(1\right)}\ge\dfrac{\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2+\left(2z-1\right)^2+\left(2t-1\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}\)

\(=\dfrac{4\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)-4\left(x+y+z+t\right)}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}\)

\(=\dfrac{4\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}{3\left(x^2+y^2+z^2+t^2+1\right)}=\dfrac{4}{3}=VP_{\left(1\right)}\)

a=b=c=d=\(\frac{1}{2}\) Uct xem

so ez

BĐ tương đương

Bài 3:

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=3\ge ab+bc+ca\) ( tự cm bđt nha )

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

\(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}=\dfrac{a^4}{ab+bc}+\dfrac{b^4}{bc+ab}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu " = " khi a = b = c = 1

Bài 4:

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)

( BĐT AM - GM )

Tương tự \(\Rightarrow\dfrac{b^3}{c^2+a^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\)

\(\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu " = " khi a = b = c

Tiếp sức cho Tú đệ

Bài 1: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3}{ab}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge VP."="\Leftrightarrow a=b=c\)

Bài 2: Holder:

\(\left(\dfrac{a^4}{bc^2}+\dfrac{b^4}{ca^2}+\dfrac{c^4}{ab^2}\right)\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\left(c+a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

Cần chứng minh \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)

AM-GM: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}\cdot\dfrac{ca}{b}}=2c\)

Tương tự rồi cộng theo vế:

\("=" \Leftrightarrow a=b=c\)