Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Đây là bdt Cosi. Bạn tìm trên internet

tìm trên internet

Ta có: \(a^2+\dfrac{1}{4}\ge a\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\\c^2+\dfrac{1}{4}\ge c\end{matrix}\right.\)

Cộng 3 cái vế theo vế ta được ĐPCM

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge2\)

Xét hiệu:

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-2=\dfrac{a^4}{a^2b^2}+\dfrac{b^4}{a^2b^2}-\dfrac{2a^2b^2}{a^2b^2}\)

\(=\dfrac{a^4+b^4-2a^2b^2}{a^2b^2}=\dfrac{\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)}{a^2b^2}\)

\(=\dfrac{\left(a^2-b^2\right)^2}{\left(ab\right)^2}=\left(\dfrac{a^2-b^2}{ab}\right)^2\ge0\)

=> BĐT luôn đúng

\(\dfrac{x+2}{3x+1}\le\dfrac{x-2}{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{3x+1}-\dfrac{x-2}{2x-1}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(2x-1\right)-\left(x-2\right)\left(3x+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+3x-2-3x^2+5x+2\le0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+8x\le0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(x-8\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x\le0\\x-8\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\ge8\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-x\ge0\\x-8\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\x\le8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\le0\)

tập nghiệm: \(x\ge8\) ; \(x\le0\)

Mình làm được rồi, cảm ơn các bạn