Chứng minh:
\(r\le\dfrac{1}{2}R\)
r: bán kính đường tròn nội tiếp.
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp
Chứng minh:
\(r\le\dfrac{1}{2}R\)
r: bán kính đường tròn nội tiếp.
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp
GTNN của hàm số
\(y=\dfrac{x-2017}{\sqrt{x-2018}}\)
ĐK: \(x>2018\)
Áp dụng BĐT Cosi:
\(y=\dfrac{x-2017}{\sqrt{x-2018}}\)
\(=\dfrac{x-2018+1}{\sqrt{x-2018}}\)
\(=\sqrt{x-2018}+\dfrac{1}{\sqrt{x-2018}}\ge2\)
\(min=2\Leftrightarrow x=2019\)
a) Cho \(x\ge2\). GTNN của hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x}\)
b) GTNN của biểu thức \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\) với x>1
a, \(y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x}=\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}}\ge0\)
\(min=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}=0\Leftrightarrow x=2\)
b, Áp dụng BĐT Cosi:
\(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\ge2\)
\(minf\left(x\right)=2\Leftrightarrow x=2\)
Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Chứng minh \(\dfrac{1+x}{1-x}+\dfrac{1+y}{1-y}+\dfrac{1+z}{1-z}\le\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{z}+\dfrac{2z}{x}\)
Cho ba số x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:
\(\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)\le36\left(xy+yz+xz\right)\)
Cách này đòi hỏi sự kiên nhẫn và kinh nghiệm.
Cần chứng minh:
\({\dfrac {4 \left( xy+zx+yz \right) \left( x+y+z \right) ^{7}}{ 243}}- \left( {x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} \right) \left( {x}^{3}{y}^{3}+{ x}^{3}{z}^{3}+{y}^{3}{z}^{3} \right) \geqslant 0.\quad(1) \)
Đặt
\(\text{M}=4\,{z}^{7}+ \left( 757\,x+757\,y \right) {z}^{6}+84\, \left( x+y \right) ^{2}{z}^{5}+140\, \left( x+y \right) ^{3}{z}^{4}\\\quad\quad+ \left( 1598 \,{x}^{4}+4205\,{x}^{3}y+4971\,{x}^{2}{y}^{2}+4205\,x{y}^{3}+1598\,{y} ^{4} \right) {z}^{3}\\\quad \quad+84\, \left( x+y \right) ^{5}{z}^{2}+28\, \left( x +y \right) ^{6}z\geqslant 0 \)
Ta có:
\((1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{243}xy\cdot M+{\dfrac { \left( x+y \right) \left( {x}^{2}+11\,xy+{y}^{2} \right) \left( 2\,x-y \right) ^{2} \left( x-2\,y \right) ^{2}xy}{243}}\\\quad\quad+{ \dfrac { \left( x+y \right) z \left( x+y+z \right) \left( {x}^{2}+2\,x y+11\,zx+{y}^{2}+11\,yz+{z}^{2} \right) \left( 2\,y-z+2\,x \right) ^{ 2} \left( y-2\,z+x \right) ^{2}}{243}}\geqslant 0. \)
Đẳng thức xảy ra khi $...$
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
a, A = y - 2x + 5 với 36x2 + 16y2 = 9
b, B = 2x - y - 2 với \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\)
Lời giải:
a)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((y-2x)^2\leq (16y^2+36x^2)(\frac{1}{16}+\frac{1}{9})=9.\frac{25}{144}\)
\(\Rightarrow \frac{-5}{4}\leq y-2x\leq \frac{5}{4}\Rightarrow \frac{15}{4}\leq y-2x+5\leq \frac{25}{4}\)
Vậy $A_{\min}=\frac{15}{4}$ và $A_{\max}=\frac{25}{4}$
b)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((2x-y)^2\leq (\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9})(16+9)=25\)
\(\Rightarrow -5\leq 2x-y\leq 5\Leftrightarrow -7\leq 2x-y-2\leq 3\)
Vậy $B_{min}=-7; B_{\max}=3$
Cho a,b,c > \(\dfrac{-1}{4}\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le\sqrt{21}\)
Đề bài thiếu, chắc chắn phải có thêm 1 dữ kiện khác
Ví dụ, bạn cho \(a=b=c=1000\) sẽ thấy BĐT sai
chứng minh rằng a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thì
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\(\le\)abc
Đặt b+c-a=2x; c+a-b=2y; a+b-c=2z
hay \(a=y+z;b=x+z;c=x+y\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b+c-a}{2}\\y=\dfrac{c+a-b}{2}\\z=\dfrac{a+b-c}{2}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Cosi, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)
\(\Leftrightarrow abc\ge8\cdot\dfrac{b+c-a}{2}\cdot\dfrac{c+a-b}{2}\cdot\dfrac{a+b-c}{2}\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)(đpcm)
Ta có: \(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\);
\(\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\);
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\).
Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0 ta có:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Mở rộng: Nếu a, b, c là các số thực không âm thì bđt đó vẫn đúng.
cho a,b là các số thực thỏa mãn a\(\ge\)b.Chứng minh rằng a3-b3\(\ge\)ab2-a2b
BĐT \(\Leftrightarrow a^3-b^3+a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+ab\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2\ge0\) (luôn đúng do \(a\geq b\)).
chứng minh rằng x2>2(x-1) với mọi số thực x
x2 > 2( x - 1 )
<=> x2 - 2x + 2 > 0
<=> ( x2 - 2x + 1 ) + 1 > 0
<=> ( x - 1 )2 + 1 > 0 ( luôn đúng ∀ x ∈ R )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh