Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Rồng Xanh
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
29 tháng 1 2021 lúc 18:56

Áp dụng bđt AM - GM:

\(T=\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}=\left(\dfrac{1}{9}\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\right)+\dfrac{8}{9}\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{9}}+\dfrac{8}{9}.3=\dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy Min T = \(\dfrac{10}{3}\) khi a = b = c.

Bình luận (0)
Rồng Xanh
Xem chi tiết
manh pham
29 tháng 1 2021 lúc 18:44

2x+80=3y

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 1 2021 lúc 18:51

\(3x+y+6z\le x^2\left(y+z\right)+5xz\left(y+z\right)=\dfrac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(x+5z\right)\)

\(\Rightarrow3x+y+6z\le\dfrac{1}{54}\left(2x+y+z+x+5z\right)^3=\dfrac{1}{54}\left(3x+y+6z\right)^3\)

\(\Rightarrow\left(3x+y+6z\right)^2\ge54\)

\(\Rightarrow3x+y+6z\ge3\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2};\dfrac{9\sqrt{6}}{10};\dfrac{\sqrt{6}}{10}\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
29 tháng 1 2021 lúc 14:49

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4\le x\le1\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-4\le x< -2\)

Bình luận (0)
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 1 2021 lúc 0:30

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)

Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:

$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$

$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)

\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)

\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

 

Bình luận (0)
Akai Haruma
29 tháng 1 2021 lúc 0:31

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)

Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:

$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$

$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)

\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)

\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

 

Bình luận (0)
Thiên Yết
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 1 2021 lúc 0:16

\(a=2b-2c\Rightarrow sinA.2R=2sinB.2R-2sinC.2R\)

\(\Rightarrow sinA=2sinB-2sinC\)

\(ah_a=bh_b=ch_c\Rightarrow\left(2b-2c\right)h_a=bh_b=ch_c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{2b-2c}{b}.\dfrac{1}{h_b}\\\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{2b-2c}{c}.\dfrac{1}{h_c}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}-\dfrac{1}{h_c}+\left(\dfrac{b}{c.h_c}-\dfrac{c}{b.h_b}\right)\)

Câu này đề sai tiếp, biểu thức \(\dfrac{b}{c.h_c}-\dfrac{c}{b.h_b}\) kia không thể bằng 0

Bình luận (0)
Thiên Yết
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 1 2021 lúc 0:19

\(\left\{{}\begin{matrix}sinA=\dfrac{a}{2R}\\sinB=\dfrac{b}{2R}\\sinC=\dfrac{c}{2R}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow sin^2A+sin^2B=\dfrac{a^2+b^2}{4R^2}=\dfrac{9+36}{4R^2}=\dfrac{45}{4R^2}\)

Trong khi đó \(3sin^2C=\dfrac{3.17}{4R^2}=\dfrac{51}{4R^2}\)

Đề bài sai

Bình luận (0)
Shizadon
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 1 2021 lúc 23:12

Cần thêm điều kiện x;y;z dương, nếu không đây là 1 BĐT sai

Bình luận (0)
jasminee
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
27 tháng 1 2021 lúc 12:43

Nếu x = 4 thì bất phương trình vô nghiệm

Nếu x > 4 => 4 - x < 0

Bất phương trình tương đương với

x - 4m ≥ 0 ⇔ x ≥ 4m

Nếu x < 4 => 4 - x > 0

Bất phương trình tương đương với

x - 4m ≤ 0 ⇔ x ≤ 4m

 

Bình luận (0)
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
27 tháng 1 2021 lúc 12:57

a, m2x - 1 < mx + m

⇔ (m2 - m)x < m + 1

Bất phương trình vô nghiệm khi 

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-m=0\\m+1\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Vậy phương trình có nghiệm với ∀m ∈ R

b, (m2 + 9)x + 3 ≥ m - 6mx

⇔ (m2 + 6m + 9)x ≥ m + 3

Phương trình có nghiệm đúng với ∀x khi m = -3

c, 8m2x - 4m2 ≥ 4m2x + 5mx + 9x - 12

⇔ 4m2x - 5mx - 9x ≥ 4m2 - 12

⇔ (4m2 - 5m - 9)x ≥ 4m2 - 12

Bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x khi m = -1

 

 

 

Bình luận (0)
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Hồng Phúc
27 tháng 1 2021 lúc 18:36

a, \(\left(x+m\right)m+x>3x+4\)

\(\Leftrightarrow mx+m^2+x>3x+4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x+m^2-4>0\left(1\right)\)

Nếu \(m=0,\) bất phương trình vô nghiệm

Nếu \(m>0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x>-m-2\)

\(\Rightarrow x\in\left(-m-2;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow m>0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nếu \(m< 0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x< -m-2\)

\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn

Vậy \(m>0\)

Bình luận (2)
Hồng Phúc
27 tháng 1 2021 lúc 18:39

b, \(m\left(x-m\right)\ge x-1\)

\(\Leftrightarrow mx-m^2\ge x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x\ge m^2-1\left(1\right)\)

Nếu \(m=1,\) bất phương trình thỏa mãn

Nếu \(m>1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x\ge m+1\)

\(\Rightarrow m>1\) không thỏa mãn yêu cầu

Nếu \(m< 1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x\le m+1\)

\(\Rightarrow m< 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy \(m< 1\)

Bình luận (0)
Hồng Phúc
27 tháng 1 2021 lúc 18:46

c, \(m\left(x-1\right)< 2x-3\)

\(\Leftrightarrow mx-m< 2x-3\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)x< m-3\)

Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi \(\left\{{}\begin{matrix}m-2=0\\m-3< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)

Vậy yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m\ne2\)

Bình luận (0)