Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1.

a, \(\left(2x-5\right)\left(x^2-x-6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x-5< 0\\x^2-x-6>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x-5>0\\x^2-x-6< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< \dfrac{5}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{5}{2}\\-2< x< 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -2\\\dfrac{5}{2}< x< 3\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b, \(\dfrac{3x+4}{x^2-3x+5}< 0\)

Vì \(x^2-3x+5=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\) nên bất phương trình tương đương:

\(3x+4>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{4}{3}\)

c, \(\left|3x+7\right|>2x+3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+7< -2x-3\\3x+7>2x+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in R\)

2.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m+1\right)=m^2-4m>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\)

5.

a, \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(4;5\right)\\\overrightarrow{CA}=\left(-2;-4\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình đường thẳng AB:

\(\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y-2}{-1}\Leftrightarrow x-2y+1=0\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-1}{5}\Leftrightarrow5x-4y-1=0\)

Phương trình đường thẳng CA:

\(\dfrac{x-5}{-2}=\dfrac{y-6}{-4}\Leftrightarrow2x-y-4=0\)

\(\Leftrightarrow x+2y-17=0\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\A=\left(3;2\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow4x+5y-22=0\left(AH\right)\)

M có tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=3\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(3;\dfrac{7}{2}\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left(0;\dfrac{3}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình tham số của AM: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2+\dfrac{3}{2}t\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)

Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 

\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(m\ge10\)

Không có đề bài à bạn

Lời giải:Đặt $A=f(1)=a+b+c; B=f(-1)=a-b+c; C=f(0)=c$

Theo đề bài: $|A|, |B|, |C|\leq 1$

\(|a|+|b|+|c|=|\frac{A+B}{2}-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|\)

\(\leq |\frac{A+B}{2}|+|-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|=|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|C|+|\frac{A}{2}|+|\frac{-B}{2}|+|C|\)

\(=|A|+|B|+2|C|\leq 1+1+2=4\) (đpcm)

1.

 Áp dụng BĐT BSC:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)

2.

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\) và BĐT BSC:

\(\dfrac{a+b}{a^2+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2}\)

\(\le\dfrac{a+b}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\dfrac{b+c}{\dfrac{\left(b+c\right)^2}{2}}+\dfrac{c+a}{\dfrac{\left(c+a\right)^2}{2}}\)

\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

\(\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)

\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)

Cách khác:

1.

 Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)

Đây chính là BĐT Bunhiacopxky mà bạn? 

a.

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4\ge0\\1-x\ge0\\1-2x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-4\le x\le\dfrac{1}{2}\)

BPT tương đương:

\(\sqrt{x+4}\le\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}\)

\(\Leftrightarrow x+4\le2-3x+2\sqrt{2x^2-3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-3x+1}\ge2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1< 0\\\left\{{}\begin{matrix}2x+1\ge0\\2x^2-3x+1\ge4x^2+4x+1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{1}{2}\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\2x^2+7x\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2}\le x\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\le0\)

Kết hợp ĐKXĐ ta được nghiệm của BPT: \(-4\le x\le0\)

Ở câu b, 2 dấu trong căn bên trái là dấu cộng hay trừ vậy nhỉ?

Giống dấu trừ mà thấy có 2 gạch dọc thẳng đứng nghi ngờ quá

c.

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+x^2-2x+1+x+1-\sqrt{3x-2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\left(x-1\right)^2+\dfrac{x^2-x+3}{x+1+\sqrt{3x-2}}\le0\)

Do vế trái luôn dương nên BPT đã cho vô nghiệm