Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Eren
Xem chi tiết
Eren
11 tháng 9 2018 lúc 21:01

@Akai Haruma cứu em

Bình luận (0)
Lê Hà My
Xem chi tiết
Akai Haruma
29 tháng 12 2018 lúc 16:11

Lời giải:
Vế đầu tiên:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{xy.yz.xz}=9xyz\)

\(9xyz\geq 2xyz\) với mọi $x,y,z\geq 0$

Do đó: \(xy+yz+xz\geq 2xyz\Rightarrow xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)

Ta có đpcm.

Vế thứ hai

Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có (hoặc bạn có thể cm BĐT quen thuộc này bằng AM-GM ngược dấu)

\(xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\)

\(\Leftrightarrow xyz\geq (1-2z)(1-2x)(1-2y)\)

\(\Leftrightarrow xyz\geq 4(xy+yz+xz)-2(x+y+z)+1-8xyz=4(xy+yz+xz)-1-8xyz\)

\(\Rightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\Rightarrow xyz\geq \frac{4}{9}(xy+yz+xz)-\frac{1}{9}\)

Do đó:

\(xy+yz+xz-2xyz\leq xy+yz+xz-2\left(\frac{4}{9}(xy+yz+xz)-\frac{1}{9}\right)=\frac{xy+yz+xz+2}{9}(*)\)

Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\(1=(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{xy+yz+xz+2}{9}\leq \frac{\frac{1}{3}+2}{9}=\frac{7}{27}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)

Bình luận (0)
Hoàng
Xem chi tiết
Lê Hà My
Xem chi tiết
phạm việt hùng
Xem chi tiết
nguyễn viết hoàng
17 tháng 8 2018 lúc 21:18

do abc=1 nên đặt a=x/y;b=y/z;c=z/x

\(P=\sum\sqrt[4]{\dfrac{a+b}{c+1}}=\sum\sqrt[4]{\dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}}{\dfrac{z}{x}+1}}=\sum\sqrt[4]{\dfrac{x\left(xz+y^2\right)}{yz\left(x+z\right)}}\)

ta có\(\dfrac{x\left(x+z\right)\left(xz+y^2\right)}{yz\left(x+z\right)^2}=\dfrac{x\left(x\left(z^2+y^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)\right)}{yz\left(x+z\right)^2}\)

\(\ge\dfrac{x\sqrt{xz}\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yz\left(x+z\right)^2}\)(cô si 2 số)

P>=\(\sum\sqrt[4]{\dfrac{x\sqrt{xz}\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)^2yz}}\)>=3(cô si 3 số)

Bình luận (1)
phạm việt hùng
17 tháng 8 2018 lúc 19:33

@Akai Haruma @Lighning Farron

Bình luận (0)
Nên Biết Ko
Xem chi tiết
nguyễn viết hoàng
17 tháng 8 2018 lúc 21:08

\(20\left(a^2+b^2\right)+2c^2=16a^2+c^2+16b^2+c^2+4a^2+4b^2\)

\(\ge8ab+8ac+8bc=8\left(Am-Gm\right)\)

=> \(10\left(a^2+b^2\right)+c^2\ge4\)

Bình luận (0)
Tạ Duy Bảo
Xem chi tiết
Lightning Farron
18 tháng 8 2018 lúc 23:09

bài này dễ thôi bạn, quan trọng là nó hơi dài nên mình không có hứng làm chi tiết

BĐT đã cho viết lại thành

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)^2+72abc\left(ab+bc+ca\right)-\left(a+b+c\right)^5\le0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{2}\left(8a^3+7a^2b+7a^2c-7ab^2-7ac^2+9b^2c+9bc^2\right)\left(b-c\right)^2-\dfrac{3}{2}\left(8b^3+7b^2c-7bc^2+9ac^2+7ab^2+9a^2c-7a^2b\right)\left(c-a\right)^2-\dfrac{3}{2}\left(9a^2b+9ab^2+7ac^2-7a^2c-7b^2c+7bc^2+8c^3\right)\left(a-b\right)^2\le0\)

Bình luận (2)
Tạ Duy Bảo
18 tháng 8 2018 lúc 20:22
Bình luận (0)
nguyễn viết hoàng
19 tháng 8 2018 lúc 11:11

ta có \(27abc\le\left(\sum a\right)^3=\left(\sum a\right)\)

khi đó bđt <=>

\(\sum a^3+\dfrac{8}{3}\left(\sum a\right)\left(\sum ab\right)\le\sum a^3+3\left(a+b\right)\Pi=\left(\sum a\right)^3=1\)

Bình luận (0)
Hoàng
Xem chi tiết
Lightning Farron
24 tháng 8 2018 lúc 21:28

WLOG \(x\ge y \ge z\)

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:

\(VT=\dfrac{x+1}{y+1}+\dfrac{y+1}{z+1}+\dfrac{z+1}{x+1}\)

\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+xz^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\le\dfrac{21+xy^2+yz^2+xz^2}{xy+yz+xz+4}\)\(\le\dfrac{21+x^2y+xyz+yz^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)

\(\le\dfrac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)\(\le\dfrac{21+\dfrac{\left(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\)

\(=\dfrac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=\dfrac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}=VP\)

Dấu "=" khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và h.vị

Bình luận (4)
Lightning Farron
24 tháng 8 2018 lúc 19:17

Còn bài nào khó hơn không? |(.-.)|

Bình luận (3)
Liên Trần
Xem chi tiết
Kien Nguyen
Xem chi tiết