Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a) Chứng minh bất đẳng thức (b-c)2 < a2;
b) Từ đó suy ra bất đẳng thức a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc +ca).
a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
a + b > c => a + b - c > 0
a + c > b => a + c - b > 0
=> [a + (b +c)](a - (b - c)) > 0
=> a2 – (b-c)2 > 0 => a2 > (b-c)2.
b) Từ kết quả câu a), ta có:
a2 + b2 + c2 > (b-c)2 + (a – c)2 + (a - b)2
<=> a2 + b2 + c2 > b2 + c2 – 2bc + a2 + c2 – 2ac + a2 + b2 – 2ab
<=> 2(ab + bc + ac) > a2 + b2 + c2.
Cho các bất đẳng thức, trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?
a) 8x > 4x; b) 4x > 8x;
c) 8x2 > 4x2; d) 8 + x > 4 + x.
Nếu x < 0 thì a) sai;
Nếu x > 0 thì b) sai;
Nếu x = 0 thì c) sai;
d) Đúng với mọi giá trị của x.
Giải bất phương trình
a) |5x - 4| ≥ 6;
Ta có : |5x - 4| ≥ 6
(=)\(\begin{cases}\text{5x - 4 ≥ 6}\\\text{5x - 4 ≥-6}\end{cases}\) => Ta lấy 5x -4 ≥ -6
(=) 5x ≥ -2
(=) x ≥ \(\frac{-2}{5}\)
Hãy giải các bất phương trình sau :
a) \(\frac{1}{x+1}
a) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\)
<=> \(f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-1\right)^2}<0\)
f(x) không xác định với x = +/- 1
Xét dấu của f(x) cho tập nghiệm của bất phương trình :
T=(-vô tỷ;-1) U (0;1) U (1:3)
b) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)
<=> f(x) = \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}-x+3\)
= \(\frac{x+12}{x\left(x+3\right)\left(x+4\right)}<0\)
Tập nghiệm T = (\(-1;\frac{2}{3}\)) U (1; + vô cùng)
gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ : 2x-y >= 2 , x-2y <= 2 , x+y >= 5 , x >= 0 : a) hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một miền tam giác ; b) trong (S) , hãy tìm điểm có tọa độ (x,y) làm cho biểu thức f(x,y) = y-x có giá trị nhỏ nhất , biết rằng f(x,y) có giá trị nhổ nhất tại một trong các đỉnh của (S)
giải và biện luận bất phương trình : 2(m+1)x <= (m+1)2(x-1)
cho n là số tự nhiên lớn hơn 2 , chứng minh : (1/2 + 1/3 + ... + 1/n ) ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n+1 ) <= n+1
1/a+b+c +1/b+c+1/a+c+1<1 với abc=1 và a,b,c dương
1/(a+b+1) + 1/(b+c+1) + 1/(c+a+1) ≤ 1
<=> (a+b+1)(b+c+1) + (b+c+1)(c+a+1) + (c+a+1)(a+b+1) ≤ (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)
<=> (a+b)(b+c)+a+b+b+c+1 + (b+c)(c+a)+b+c+c+a+1 + (c+a)(a+b)+c+a+a+b+1
≤ (a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b) +a+b+b+c+c+a+1
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b)(b+c)(c+a)
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
<=> 3 ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca-2)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
(a+b+c)(ab+bc+ca-2) ≥ 3.³√(abc) .[3³√(ab.bc.ca) -2] = 3
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
|x2-4|+2x=<|x+2|+1
trời đại số 10 ak 
mk mới có hok lớp 7 ak
cho a,b,c,là số dương thoả a+b+c=1 chứng minh (1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)>=9/2
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2}\)
Vậy \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{9}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
