Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

\(\widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)

Ta có: ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=\left(3a\right)^2+\left(\sqrt{3}a\right)^2=12a^2\)

=>\(AC=2a\sqrt{3}\)

Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

nên \(\widehat{SCA}=30^0\)

=>\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=30^0\)

Hình ảnh không hiển thị. Bạn xem lại.

Ta có: SA\(\perp\)AB

SA\(\perp\)AC

AB,AC cùng thuộc mp(ABC)

Do đó: SA\(\perp\)(ABC)

=>SA\(\perp\)BC

=>\(\widehat{\left(SA;BC\right)}=90^0\)

ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>AC//A'C' BD//B'D' ABCD và A'B'C'D' là hình vuông

Vì A'B'C'D là hình vuông

nên A'C'\(\perp\)B'D'

\(\left(\widehat{AC;B'D'}\right)=\widehat{A'C';B'D'}=90^0\)

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a

=>AB=CD=AD=BC=A'B'=B'C'=C'D'=D'A'=a

Vì ΔADD' vuông cân tại D nên \(D'A=\sqrt{DA^2+D'D^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

Vì ΔABB' vuôngcân  tại B nên 

\(AB'=\sqrt{AB^2+BB'^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

Vì ΔA'B'D' vuông cân tại A

nên \(D'B'=\sqrt{A'D'^2+A'B'^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

Do đó: D'A=AB'=D'B'

=>ΔAD'B' đều

=>\(\widehat{D'AB'}=60^0\)

\(\left(\widehat{AD';AB'}\right)=\widehat{D'AB'}=60^0\)

Vì ADC'B' là hình bình hành

nên DC'//AB'

\(\widehat{AD';DC'}=\widehat{AD';AB'}=\widehat{B'AD'}=60^0\)

a) Ta có:
- M là trung điểm của AB, nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- P là trung điểm của SC, nên P là trung điểm của đoạn thẳng SC.
- I là trung điểm của SB, nên I là trung điểm của đoạn thẳng SB.

Vì M, P, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, SC, SB, nên ta có:
2AM = AB, 2CP = CS, 2BI = BS.

Giả sử BC không song song với MP. Khi đó, ta có:
- MP cắt BC tại H.
- MP cắt SA tại K.
- MP cắt QN tại L.

Theo định lý , ta có:
AH/HC = AK/KS = AL/LQ.

Từ đó, ta có:
2AM/2CP = AK/KS = AL/LQ.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng 2AM/2CP = AB/CS = BS/CS = BI/CS = 2BI/2CP.

Vậy ta có:
2BI/2CP = AK/KS = AL/LQ.

Do đó, ta có AK = AL và KS = LQ.

Từ đó, ta suy ra K = L và Sẽ có MP song song với BC.

Vậy BC // (IMP).

b) Thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp là một hình tam giác. Để xác định hình tam giác này, cần biết thêm thông tin về góc giữa mặt phẳng (α) và mặt phẳng đáy ABC.

c) Đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ) giao nhau tại một điểm. Để tìm giao điểm này, cần biết thêm thông tin về góc giữa đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ).

--thodagbun--

(Bn tham khảo cách lm đy nhe )

a) Ta có SM = MN = NA và G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, ta có:
SG = 2GM (vì G là trọng tâm)
SG = 2GN (vì G là trọng tâm)
Vậy GM = GN
Do đó, ta có tam giác SMN là tam giác đều.
Vì SM = MN = NA, nên tam giác SNA cũng là tam giác đều.
Từ đó, ta có góc SNA = 60°.
Mà góc SNA = góc SNB + góc BNA = góc SNB + góc BNC.
Vậy góc SNB + góc BNC = 60°.
Nhưng góc SNB + góc BNC = góc SBC.
Vậy góc SBC = 60°.
Do đó, GM // (SBC).

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G.
Ta có GD = GA (vì D là điểm đối xứng của A qua G)
Và GM = GN (vì G là trọng tâm)
Vậy tam giác GDM và tam giác GAN là tam giác đồng dạng (cạnh bằng nhau và góc bằng nhau).
Từ đó, ta có góc GDM = góc GAN.
Nhưng góc GDM = góc MCD và góc GAN = góc NGB.
Vậy góc MCD = góc NGB.
Do đó, (MCD) // (NBG).

c) Gọi H = DM ∩ (SBC).
Ta cần chứng minh H là trọng tâm của tam giác SBC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = 2GM.
Và GD = GA (vì D là điểm đối xứng của A qua G).
Từ đó, ta có AD = 2GD.
Vậy D là trọng tâm của tam giác AGD.
Do đó, DH là đường cao của tam giác AGD.
Vậy DH cắt AG tại I sao cho AI = 2IG.
Mà AI = 2IG nên I là trọng tâm của tam giác AGD.
Vậy I nằm trên đường thẳng DM.
Từ đó, ta có H = DM ∩ (SBC) là trọng tâm của tam giác SBC.
Vậy H là trọng tâm của tam giác SBC.

Gọi giao điểm của AP với BD là M

Xét ΔABD có

P là trọng tâm

M là giao điểm của AP với BD

Do đó: M là trung điểm của BD

Xét ΔDBC có

M,Q lần lượt là trung điểm của DB,DC

=>MQ là đường trung bình

=>MQ//BC

Chọn mp(AQM) có chứa PQ

Xét (AQM) và (ABC) có

\(A\in\left(AQM\right)\cap\left(ABC\right)\)

MQ//BC

Do đó: (AQM) giao (ABC)=xy, xy đi qua A và xy//MQ//BC

Gọi giao của PQ với xy là K

=>K là giao điểm của PQ với mp(ABC)