Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC - Hỏi đáp

\(AC=10\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=10\sqrt{3}\)

Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow BD//NE\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow BD//\left(MNE\right)\Rightarrow d\left(BD;MN\right)=d\left(BD;\left(MNE\right)\right)=d\left(O;\left(MNE\right)\right)\)

Gọi H là giao điểm AC và NE \(\Rightarrow OH=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OA\Rightarrow OH=\frac{1}{3}AH\)

\(\Rightarrow d\left(O;\left(MNE\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(A;\left(MNE\right)\right)\)

\(BD\perp AC;BD\perp SA\Rightarrow BD\perp\left(MAH\right)\Rightarrow NE\perp\left(MAH\right)\)

Từ A kẻ \(AK\perp MH\Rightarrow AK\perp\left(MNE\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(MNE\right)\right)\)

\(MA=\frac{1}{2}SA=5\sqrt{3}\) ; \(AH=\frac{3}{4}AC=\frac{15\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{MA^2}+\frac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\frac{MA.AH}{\sqrt{MA^2+AH^2}}=3\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow d\left(BD;MN\right)=\frac{1}{3}.3\sqrt{5}=\sqrt{5}\)

\(BB'//A'A\Rightarrow d\left(BB';A'H\right)=d\left(BB';\left(A'AH\right)\right)=d\left(B;\left(A'AH\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A'H\perp BC\\BC\perp AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(A'AH\right)\Rightarrow BH=d\left(B;\left(A'AH\right)\right)\)

\(BH=\frac{1}{2}BC=a\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{\sqrt[3]{5x+3}-2+2-\sqrt{2x+2}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{\frac{5\left(x-1\right)}{\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}+2\sqrt[3]{5x+3}+4}-\frac{2\left(x-1\right)}{2+\sqrt{2x+2}}}{x-1}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(\frac{5}{\sqrt[3]{\left(5x+3\right)^2}+2\sqrt[3]{5x+3}+4}-\frac{2}{2+\sqrt{2x+2}}\right)=-\frac{1}{12}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}m.sin\left(\frac{\pi x}{2}+2019\pi\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}msin\left(\frac{\pi x}{2}+2018\pi+\pi\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}msin\left(\frac{\pi x}{2}+\pi\right)=m.sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=-m\)

\(f\left(1\right)=m.sin\left(\frac{\pi}{2}+2019\pi\right)=-m\)

Để hàm số liên tục tại \(x=-1\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}=f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow-m=-\frac{1}{12}\Rightarrow m=\frac{1}{12}\)

Bạn ghi đề sai thì phải, nhìn hàm khi \(x< 1\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\) không tồn tại (ko phải dạng vô định \(\frac{0}{0}\), khi thay x=1 vào tử số ra khác 0)

Qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt SB tại P \(\Rightarrow ADNP\) là hình thang cân

Gọi H là trung điểm NP \(\Rightarrow MH\perp AD\)

\(\Rightarrow AD\perp\left(SHM\right)\Rightarrow PN\perp\left(SHM\right)\)

Mà PN là giao tuyến của (SBC) và (ADN)

\(\Rightarrow\widehat{SHM}\) là góc giữa (SBC) và (ADN)

\(MQ=AB=a\Rightarrow SQ=\sqrt{SM^2+MQ^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=\frac{1}{2}SQ=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

Do \(MH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SMQ \(\Rightarrow MH=\frac{1}{2}SQ=\frac{a\sqrt{7}}{4}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{SHM}=\frac{SH^2+HM^2-SM^2}{2SH.HM}=\frac{1}{7}\)

Bạn ghi lại đề, đề bài từ đoạn "gọi M, Q..." trở đi là thấy ko chính xác nữa

Hình bạn tự vẽ

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp SI\) (1)

Do \(\Delta SAD\) đều \(\Rightarrow SI\perp AD\) (2)

(1), (2) \(\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)

Dễ dàng nhận ra ABKD là hình vuông

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{2}\) ; \(BC=\sqrt{BK^2+CK^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow BD^2+BC^2=4a^2=CD^2\)

\(\Rightarrow\Delta DBC\) vuông cân tại B \(\Rightarrow CB\perp BD\)

Kéo dài IH và CB cắt nhau tại K

\(IH//BD\) (đường trung bình) \(\Rightarrow BC\perp IH\Rightarrow CK\perp\left(SHI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CSK}\) là góc giữa SC và (SHI)

\(IC=\sqrt{ID^2+CD^2}=\sqrt{\left(\frac{AD}{2}\right)^2+CD^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)

\(SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến trong tam giác đều cạnh a)

\(\Rightarrow SC=\sqrt{SI^2+IC^2}=a\sqrt{5}\)

\(BK=BH.sin\widehat{KHB}=\frac{AB}{2}.\frac{IA}{IH}=\frac{AB}{2}.\frac{AB}{2\sqrt{AH^2+IA^2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow CK=BC+BK=a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{5a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{CSK}=\frac{CK}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}\Rightarrow\widehat{CSK}\approx52^014'\)

Bạn tự vẽ hình

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều ABC cạnh a)

\(SN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều SBC cạnh a)

\(\Rightarrow AN=SN=SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\Delta SAN\) đều

\(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp SN\\BC\perp AN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAN\right)\)

\(\left(P\right)\perp BC\Rightarrow\left(P\right)//\left(SAN\right)\)

Từ M kẻ \(MD//AN\left(D\in BC\right)\), từ M kẻ \(ME//SA\left(E\in SB\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MDE\) là thiết diện của (P) và chóp

Theo đt Talet: \(\frac{MD}{AN}=\frac{ME}{SA}=\frac{DE}{SN}=\frac{BM}{AB}\)

\(\Rightarrow MD=ME=DE=\frac{AN.BM}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\left(a-b\right)}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MDE\) là tam giác đều cạnh \(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-b\right)\)

Theo công thức diện tích tam giác đều:

\(S_{MDE}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-b\right)\right)^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\left(a-b\right)^2\)

Bạn coi lại dữ liệu bài toán, vừa thừa vừa thiếu

SA=SC=AC nên tam giác SAC đều thì hiển nhiên \(\widehat{CSA}=60^0\) ko cần đề bài phải cho nữa

\(\widehat{ASB}=90^0\) và SA=SB thì tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có \(AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=a\sqrt{2}\) cũng không cần đề phải cho

Nhưng hoàn toàn ko có dữ liệu BC hoặc góc A của tam giác ABC để định dạng đáy

Ta có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

b/ Do \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

Lại có \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\)

c/ Gọi K là trung điểm BC \(\Rightarrow IK//AC\Rightarrow AC//\left(SIK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SI;AC\right)=\widehat{SIK}\) nếu \(\widehat{SIK}\le90^{ }\) hoặc \(180^0-\widehat{SIK}\) nếu \(\widehat{SIK}>90^0\)

\(SI=\sqrt{SA^2+IA^2}=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(IK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow SK=\sqrt{SB^2+BK^2}=\sqrt{SB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=a\sqrt{3}\)

\(cos\widehat{SIK}=\frac{SI^2+IK^2-SK^2}{2SI.IK}=-\frac{1}{5}\Rightarrow\widehat{SIK}\approx101^032'\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(SI,AC\right)=180^0-\widehat{SIK}}\approx78^028'\)

\(CM=\sqrt{BM^2+BC^2}=\sqrt{\left(\frac{AB}{2}\right)^2+BC^2}=\frac{a\sqrt{21}}{2}\)

Từ A kẻ \(AH\perp CM\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta CBM\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{BC}{CM}\Rightarrow AH=\frac{AM.BC}{CM}=\frac{AB.BC}{2CM}=\frac{a\sqrt{42}}{7}\)

Từ A kẻ \(AK\perp SH\Rightarrow AK\perp\left(SMC\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SMC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AK=\frac{AH.SA}{\sqrt{AH^2+SA^2}}=\frac{2a\sqrt{51}}{17}\)

Bài 2:

d/ Do \(AM=BM\Rightarrow d\left(B;\left(SMC\right)\right)=d\left(A;SMC\right)\)

Theo cmt ta có \(CM\perp\left(SAB\right)\)

Từ A kẻ \(AP\perp SM\Rightarrow AP\perp\left(SMC\right)\)

\(\Rightarrow AP=d\left(A;\left(SMC\right)\right)=d\left(B;\left(SMC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AP^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AM^2}\Rightarrow AP=\frac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\frac{3a\sqrt{10}}{10}\)

e/

Do \(MN//BC\) (t/c đường trung bình) \(\Rightarrow BC//\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BC;SM\right)=d\left(BC;\left(SMN\right)\right)=d\left(B;\left(SMN\right)\right)\)

Mà \(AM=BM\Rightarrow d\left(B;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AQ\perp MN\Rightarrow MN\perp\left(SAQ\right)\)

Từ A kẻ \(AT\perp SQ\Rightarrow AT\perp\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow AT=d\left(A;\left(SMN\right)\right)=d\left(BC;SM\right)\)

\(AQ=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{AT^2}=\frac{1}{AQ^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AT=\frac{SA.AQ}{\sqrt{SA^2+AQ^2}}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)

Câu 2:

a/ Kẻ \(MH\perp AC\Rightarrow MH\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MSH}\) là góc giữa SM và (SAC)

\(SM=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=a\sqrt{10}\) ; \(MH=\frac{1}{2}\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(sin\widehat{MSH}=\frac{MH}{SM}=\frac{\sqrt{30}}{20}\Rightarrow\widehat{MSH}\approx15^053'\)

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}MC\perp AB\\MC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa \(\left(SMC\right)\) và \(\left(ABC\right)\)

\(tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=3\Rightarrow\widehat{SMA}\approx71^033'\)

c/ Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow NG=\frac{1}{3}NS\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)

Từ N kẻ \(NK\perp AB\Rightarrow NK\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow NK=d\left(N;\left(SAB\right)\right)\)

\(NK=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left(G;\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Kẻ hình vuông ABDC \(\Rightarrow H\) là trung điểm ID

Theo tính chất hình vuông ta có \(IH\perp IC\)

\(\Rightarrow CH=\sqrt{IC^2+IH^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow SH=CH.tan60^0=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)

Gọi M là trung điểm BD \(\Rightarrow KM//SD\) (t/c đường trung bình)

\(\Rightarrow KM//\left(SAH\right)\Rightarrow d\left(K;\left(SAH\right)\right)=d\left(M;\left(SAH\right)\right)\)

Mà \(HM//BI\) (t/c đường trung bình) \(\Rightarrow HM\perp\left(SAH\right)\)

\(\Rightarrow HM=d\left(M;\left(SAH\right)\right)\)

\(HM=\frac{1}{2}BI=\frac{a}{2}\)

Đề bài thiếu tất cả các kích thước, bạn tự điền và tự tính

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\frac{4}{5}\) \(\Rightarrow\frac{SA}{AC}=\frac{4}{5}\Rightarrow SA=\frac{4}{5}AC\)

Với \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}\)

Do \(AD//BC\Rightarrow AD//\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(D;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=...\)

Bạn tự vẽ hình nhé :D

Câu 1:

\(BC\perp AB\) ; \(BC\perp BB'\Rightarrow BC\perp\left(ABB'A'\right)\)

\(AA'=\sqrt{A'B^2-AB^2}=a\sqrt{3}\)

Do \(AC=2MC\Rightarrow d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=2d\left(M;\left(A'BC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp A'B\Rightarrow AH\perp\left(A'BC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(A'BC\right)\right)\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{A'A^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{A'A.AB}{\sqrt{A'A^2+AB^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(A'BC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

Bài 2:

Bạn ghi sai đề, G là trọng tâm ABC nên \(BG\in\left(ABCD\right)\) thì làm gì có góc giữa BG và (ABCD)