Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC - Hỏi đáp

a/\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\Rightarrow\Delta SAB\) vuông tại A

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\Rightarrow\Delta SAD\) vuông tại A

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\)

Mà \(CD\perp AD\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD\Rightarrow\Delta SCD\) vuông tại D

Tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AB\\BC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}BD\in\left(ABCD\right)\\SA\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp SA\)

Lại có \(BD\perp AC\) (t/c hình vuông)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp SA\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp SD\)

c/ Ta có O là trung điểm AC; M là trung điểm SC \(\Rightarrow MO\) là đường trung bình trong \(\Delta SAC\)

\(\Rightarrow MO//SA\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow MO\perp\left(ABCD\right)\)

Trong tam giác vuông \(SBC\) có \(BM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2}SC=MS=MC\)

Tương tự, trong tam giác vuông \(SCD\) có \(DM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow DM=\dfrac{1}{2}SC=MS=MC\)

Lại có \(SA\perp AC\) (do \(SA\perp\left(ABCD\right)\)) \(\Rightarrow\Delta SAC\) vuông tại A

\(\Rightarrow\) trong tam giác vuông SAC có AM là trung tuyến

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SC\)

\(\Rightarrow MA=MB=MC=MD=MS\)

d/

Do I là trung điểm SB, J là trung điểm SD \(\Rightarrow IJ\) là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow IJ//BD\)

Mà \(BD\perp\left(SAC\right)\) (cmt câu b) \(\Rightarrow IJ\perp\left(SAC\right)\)

Trong \(\Delta SCD\) có IM là đường trung bình \(\Rightarrow IM//CD\Rightarrow IM//\left(ABCD\right)\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}IJ//BD\left(cmt\right)\\BD\in\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IJ//\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(MIJ\right)//\left(ABCD\right)\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp\left(MIJ\right)\)

Lời giải:

Từ giả thiết đã cho ta dễ thấy \(\triangle SBC=\triangle SAC\) (c.g.c)

Do đó: \(BC=AC\) hay tam giác $ABC$ cân tại $C$

$SA=SB$ nên tam giác $SAB$ cân tại $S$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Trong tam giác cân thì chân đường trung tuyến trùng với chân đường cao nên trung tuyến $SH$ và $CH$ của tam giác cân $SAB$ và $CAB$ đều đồng thời là đường cao

Vậy \(SH\perp AB; CH\perp AB\Rightarrow AB\perp (SHC)\Rightarrow AB\perp SC\)

\(\Rightarrow (\overrightarrow{SC}; \overrightarrow{AB})=90^0\)

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\)

Ta sẽ chứng minh \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của A, B, C ( cũng là hình chiếu của H) trên các đường thẳng BC, CA, AB và gọi Ao, Bo, Co theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB (như hình vẽ)

Chiếu vectơ \(\overrightarrow{u}\)  lên đường thẳng BC theo phương của \(\overrightarrow{AH}\) ta được 

\(\overrightarrow{u_a}=\overrightarrow{A_oA_1}+\overrightarrow{A_oB}+\overrightarrow{A_oC}-\overrightarrow{A_oA_1}=\overrightarrow{O}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{u}\)  cùng phương với \(\overrightarrow{AH}\)  (1)

Tương tự như vậy,

ta cũng có  \(\overrightarrow{u}\)   cùng phương với \(\overrightarrow{BH,}\overrightarrow{CH}\) (2)

Từ (1) và (2) và do các vectơ \(\overrightarrow{AH,}\), \(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}\) đôi một không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O}\)

Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\)

Nhưng \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}\) nên \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\)

Do đó G, H, O thẳng hàng

 

Lời giải:

Để hiểu công thức trên một cách đơn giản nhất thì bạn chỉ cần vẽ sơ đồ Ven ra, xác định các tập trên sẽ thấy ngay công thức trên đúng.

Nếu muốn chứng minh công thức trên theo cách minh bạch hơn thì như sau:

Trước tiên ta cm kết quả:

\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)

Thật vậy:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} A=\left\{a_1,a_2,...,a_n, c_1,c_2,...,c_p\right\}\\ B=\left\{b_1,b_2,....,b_m,c_1,c_2,...,c_p\right\} \end{matrix}\right.\) với

\(\Rightarrow A\cup B=\left\{a_1,a_2,...,a_n, c_1,c_2,...,c_p, b_1,b_2,...,b_m\right\}\)

\(A\cap B=\left\{c_1,c_2,...,c_p\right\}\)

Ta có:

\(\Rightarrow |A|=n+p; |B|=|m+p|\); \(|A\cap B|=p; |A\cup B|=n+m+p\)

Do đó: \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)

--------------------

Áp dụng công thức trên:

\(|A\cup B\cup C|=|(A\cup B)\cup C|=|A\cup B|+|C|-|(A\cup B)\cap C|\)

\(=|A|+|B|-|A\cap B|+|C|-|(A\cap C)\cup (B\cap C)|\)

\(=|A|+|B|-|A\cap B|+|C|-(|A\cap C|+|B\cap C|)-|(A\cap C)\cap (B\cap C)|\)

\(=|A|+|B|-|A\cap B|+|C|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\)

Như vậy đó.

Gọi 2 góc kề bù lần lượt là\(\widehat{A}\) và \(\widehat{B}\)
Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}=180^0\)

⇔\(\dfrac{1}{2}\widehat{A}+\dfrac{1}{2}\widehat{B}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=90^0\)

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.