Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

mẫu sơn màu có thể xảy ra với bàn cờ này có dạng từ 1 đến 8. Giả sử 1 trong các số các cột thuộc dạng 1. Bài toán được CM nếu tất cả các cột còn lại thuộc dạng 1,2,3 hoặc 4. Giả sử tất cả các cột còn lại thuộc dạng 5,6,7,8 khi đó theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong số sau cột có 2 cột cùng 1 dạng và như vậy bài toán cũng được CM.

CM hoàn toàn tương tự nếu 1 cột có dạng 8. Giả sử k có cột nào trong các cột 1,8 thì theo nguyên lí Dirichlet cũng có 2 cột cùng dạng và bài toán cũng được CM.

    (x²-3x+2)(x²-9x+20)=4

=>(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)=4

Đặt x-3=a , phương trình tương đương:

    (a+2)(a+1)(a-1)(a-2)=4

=>(a²-1)(a²-4)=4

=>a⁴-5a²=0

Tự giải nốt nhé!

a: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=5\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{y}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=5\\\dfrac{2}{x}-\dfrac{8}{y}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{11}{y}=11\\\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{y}=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\\dfrac{1}{x}=-3+\dfrac{4}{y}=-3+4=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{12}{x-3}-\dfrac{5}{y+2}=63\\\dfrac{8}{x-3}+\dfrac{15}{y+2}=-13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{36}{x-3}-\dfrac{15}{y+2}=189\\\dfrac{8}{x-3}+\dfrac{15}{y+2}=-13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{44}{x-3}=176\\\dfrac{8}{x-3}+\dfrac{15}{y+2}=-13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{15}{y+2}=-13-\dfrac{8}{x-3}=-13-32=-45\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{13}{4}\\y=-\dfrac{1}{3}-2=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3=2y+8x\\x^2-3y^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^3-3y^3=6\left(y+4x\right)\\x^2-3y^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3x^3-3y^3=\left(x^2-3y^2\right)\left(y+4x\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3-3y^3=x^2y+4x^3-3y^3-12y^2x\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2y-12xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+xy-12y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3y\right)\left(x+4y\right)=0\)

Đến đây thì dễ rồi

Dễ thấy \(x=0\) không phải là nghiệm của phương trình

Nên chia cả hai vế của phương trình cho x ta được

\(x+\sqrt[3]{\dfrac{x^2\left(x^2-1\right)}{x^3}}=2+\dfrac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{x^2}.\dfrac{\left(x^2-1\right)}{x}}-2=0\)

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}+\sqrt[3]{x-\dfrac{1}{x}}-2=0\)

Đặt \(a=\sqrt[3]{x-\dfrac{1}{x}}\)

\(\Rightarrow a^3+a-2=0\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+2\right)=0\)

\(\Rightarrow a=1\)

Đến đây tự làm nha

ĐK : \(y\ne0\) Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho y³

\(\Rightarrow x^3+\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{1}{y^3}=4\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{1}{y^2}\left(x+\dfrac{1}{y}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)=4\)

HPT\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{y^2}+x+\dfrac{1}{y}=4\\\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\ab=4\end{matrix}\right.\)

Đến đây tự làm nha

\(\Leftrightarrow3+2\sqrt{x\left(1-x\right)}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

Đặt \(a=\sqrt{x}\) \(b=\sqrt{1-x}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-2ab=3\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-2ab=3\\\left(a+b\right)^2-2ab=1\end{matrix}\right.\)

Đến đây tự làm nha

HPT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(x^2+y^2\right)+2xy+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=20\\\left(x-y\right)+\left(x+y\right)+\dfrac{1}{x-y}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=20\\\left(x-y\right)+\left(x+y\right)+\dfrac{1}{x-y}=5\end{matrix}\right.\)

Đặt \(a=x+y;b=x-y\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2+b^2+\dfrac{1}{b^2}=20\\a+b+\dfrac{1}{b}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2=22\\b+\dfrac{1}{b}=5-a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+\left(a-5\right)^2=22\)

\(\)Đến đây thì dễ rồi tự làm nhé