Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giải:

Thời gian đầu định mức 120 sản phẩm ngày, làm được một nửa số sản phẩm đó là:

5 . 120 = 600 ( sản phẩm)

Năm ngày còn lại mỗi ngày tăng được 30 sản phẩm

Mỗi ngày sản xuất được là:

120 + 30 = 150 ( sản phẩm )

Vậy số sản phẩm tổng cộng họ làm được là:

600 + 5 . 150 = 1350 ( sản phẩm )

Kết luận: ...

Đk:\(\frac{1}{2}\le x\le\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\left[\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\x=1\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

Ok 2 phần "khó" nhất thì mk đã giải quyết r` nhé =))

Lời giải:

Đặt \(x=a-1\Rightarrow x-1=a-2; x+3=a+2\)

PT trở thành:

\((a-2)^4+(a+2)^4=3\)

\(\Leftrightarrow a^4-8a^3+24a^2-32a+16+a^4+8a^3+24a^2+32a+16=3\)

\(\Leftrightarrow 2a^4+48a^2+32=3\)

\(\Leftrightarrow 2a^4+48a^2+29=0\)

\(\Leftrightarrow 2(a^4+24a^2+12^2)=259\)

\(\Leftrightarrow 2(a^2+12)^2=259\Rightarrow a^2=\pm \sqrt{\frac{259}{2}}-12<0\) (vô lý)

Do đó không tồn tại $a$, kéo theo không tồn tại $x$

Vậy pt vô nghiệm.

Câu a)

Có: \(\left\{\begin{matrix} (x+y)^2+3y^2=7\\ x+2y(x+1)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+4y^2+2xy=7\\ x+2y=5-2xy\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+4y^2+2xy=7\\ x^2+4y^2+4xy=(5-2xy)^2\end{matrix}\right.\)

Lấy PT(2) trừ PT(1) thu được:

\(2xy=(5-2xy)^2-7\)

\(\Leftrightarrow 2(xy)^2-11xy+9=0\)

\(\Rightarrow xy=\frac{9}{2}\) hoặc \(xy=1\) hay \(\left[\begin{matrix} 2xy=9\\ 2xy=2\end{matrix}\right.\)

Nếu \(2xy=9\Rightarrow x+2y=5-2xy=-4\)

Theo định lý Viete đảo thì $x,2y$ là nghiệm của PT:

\(X^2+4X+9=0\)\(\Leftrightarrow (X+2)^2+5=0\) (vl)

Nếu \(2xy=2\Rightarrow x+2y=5-2xy=3\)

Theo định lý Viete đảo thì $x,2y$ là nghiệm của PT:

\(X^2-3X+2=0\Rightarrow (x,2y)=(2,1); (1,2)\)

\(\Rightarrow (x,y)=(2,\frac{1}{2}); (1; 1)\)

Câu b:

\(\left\{\begin{matrix} x(y-1)+2y=x(x+1)(1)\\ \sqrt{2x-1}+xy-3y+1=0(2)\end{matrix}\right.\)

Từ \((1)\Leftrightarrow y(x+2)=x(x+1)+x\)

\(\Leftrightarrow y(x+2)=x(x+2)\Leftrightarrow (x+2)(y-x)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=-2\\ x=y\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=-2\) thay vào (2) thấy ngay vô lý vì ĐKXĐ là \(x\geq \frac{1}{2}\)

Nếu \(x=y\), thay vào (2): \(\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}-x)+(x^2-2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2x-1-x^2}{\sqrt{2x-1}+x}+(x-1)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2\left[1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}+x}\right]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ \sqrt{2x-1}+x=1\end{matrix}\right.\)

Với trường hợp \(\sqrt{2x-1}+x=1(x\leq 1)\Rightarrow \sqrt{2x-1}=1-x\)

\(\Rightarrow 2x-1=(1-x)^2=x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\Rightarrow x=2\pm \sqrt{2}\). Vì \(\frac{1}{2}\leq x\leq 1\Rightarrow x=2-\sqrt{2}\)

Vậy \((x,y)=(1,1); (2-\sqrt{2}; 2-\sqrt{2})\)

tao chào mẹ mày

Đặt \(\sqrt{2x^2-1}=t\) ta có: \(x^2+4x+4=-t^2+2t\sqrt{7}-7\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=-\left(t-\sqrt{7}\right)^2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\t-\sqrt{7}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=-2\)

Đặt \(t=1-\sqrt{x}\left(t\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\left(1-t\right)^2-\left(t-2015\right)\left(1-\sqrt{t}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(1-\sqrt{t}\right)^2\left(1+\sqrt{t}\right)^2+\left(t-2015\right)\left(1-\sqrt{t}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(1-\sqrt{t}\right)^2\left(1+2\sqrt{t}+t+t-2015\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t+\sqrt{t}-1007=0\end{matrix}\right.\Rightarrow t=1,t=\dfrac{2015}{2}-\dfrac{\sqrt{4029}}{2}\left(loai\right)\)

Vậy \(x=0\)

\(1\))\(x^2+5x+8=3\sqrt{x^3+5x^2+7x+6}\left(1\right)\\ĐK:x\ge-\dfrac{3}{2} \\ \left(1\right)\Leftrightarrow x^2+5x+8=3\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x^2+x+2\right)}\left(2\right)\)

Đặt \(b=\sqrt{2x+3};a=\sqrt{x^2+x+2}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-2b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\)\(\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{7\pm\sqrt{89}}{2}\end{matrix}\right.\)

4)\(ĐK:x\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0\\ \Leftrightarrow x^2-7x+6+2\sqrt{3x+1}-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-6\right)+\dfrac{12\left(x-1\right)}{2\sqrt{3x+1}+4}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-6+\dfrac{12}{2\sqrt{3x+1}+4}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x-6+\dfrac{12}{2\sqrt{3x+1}+4}=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-5\right)+\dfrac{6}{\sqrt{3x+1}+2}-1=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)+\dfrac{4-\sqrt{3x+1}}{\sqrt{3x+1}+2}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)-\dfrac{3\left(x-5\right)}{\left(\sqrt{3x+1}+2\right)\left(4+\sqrt{3x+1}\right)}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(1-\dfrac{3}{\left(\sqrt{3x+1}+2\right)\left(4+\sqrt{3x+1}\right)}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\\left(1-\dfrac{3}{\left(\sqrt{3x+1}+2\right)\left(4+\sqrt{3x+1}\right)}\right)=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+1}+2\right)\left(4+\sqrt{3x+1}\right)=3\\ \Leftrightarrow3x+1+6\sqrt{3x+1}+8=3\\ \Leftrightarrow x+2\sqrt{3x+1}+2=0\\ \Leftrightarrow2\sqrt{3x+1}=-x-2\ge0\Leftrightarrow x\le-2\)

Vậy pt có 2 nghiệm là x=1 và x=5

3)\(x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-7x+2\le0\\\left(x^2-7x+2\right)^2=4\left(3x+1\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{7-\sqrt{41}}{2}\le x\le\dfrac{7+\sqrt{41}}{2}\\x^4-14x^3+53x^2-40x=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x^2-13x+40\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loai\right)\\x=1\left(nhan\right)\\x=5\left(nhan\right)\\x=8\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có :

(m² + 2)x - 2m = x - 3

⇔ (m² + 1)x = 2m - 3

Với ∀m∈ R thì phương trình luôn có một nghiệm là

x = \(\dfrac{2m-3}{m^2+1}\)

Vậy với mọi m thuộc R thì phương trình luôn có một nghiệm là x = \(\dfrac{2m-3}{m^2+1}\)