Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐKXĐ : -1 ≤ x ≤ 3

x² - 2x  - 3 - 4\(\sqrt{-x^2+2x+3}\) + m = 0

Đặt a = \(\sqrt{-x^2+2x+3}\)

⇔ a = \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương x + 1 và 3 - x

\(\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\le\dfrac{x+1+3-x}{2}=2\)

Vậy a ∈ [0 ; 2]

Ta có phương trình -a² - 4a + m = 0

⇔ a² + 4a - m = 0

Để phương trình đã cho có nghiệm x ∈ [-1 ; 3] thì phương trình được bôi đen có nghiệm a ∈ [0 ; 2]

⇔ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = a² + 4a tại ít nhất một điểm có hoành độ nằm trong khoảng [0;2]

⇔ 0 ≤ m ≤ 12

Vậy tập các giá trị của m thỏa mãn ycbt là M = [0;12]

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương $x, y, z$, ta được:$x^{3}+y^{2} \geqslant 2 \sqrt{x^{3} \cdot y^{2}}=2 x y \cdot \sqrt{x}$$y^{3}+z^{2} \geqslant 2 \sqrt{y^{3} \cdot z^{2}}=2 y z \cdot \sqrt{y}$$z^{3}+x^{2} \geqslant 2 \sqrt{z^{3} \cdot x^{2}}=2 z x \cdot \sqrt{z}$Khi đó BĐT đã cho trở thành:$\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{2 \sqrt{x}}{2 x y \sqrt{x}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{2 y z \sqrt{y}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{2 z x \sqrt{z}}=\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} (1)$Mặt khác ta có:$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geqslant \dfrac{2}{x y} \Rightarrow \dfrac{1}{x y} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)$

CMTT: $\dfrac{1}{y z} \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\right) ; \dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{z^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$Suy ra: $\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}(2)$Từ  $(1)$ và $(2)$ ta được: $\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$Dấu " $="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương $x, y, z$, ta được:

$x^{3}+y^{2} \geqslant 2 \sqrt{x^{3} \cdot y^{2}}=2 x y \cdot \sqrt{x}$

$y^{3}+z^{2} \geqslant 2 \sqrt{y^{3} \cdot z^{2}}=2 y z \cdot \sqrt{y}$

$z^{3}+x^{2} \geqslant 2 \sqrt{z^{3} \cdot x^{2}}=2 z x \cdot \sqrt{z}$

Khi đó BĐT đã cho trở thành:

$\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{2 \sqrt{x}}{2 x y \sqrt{x}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{2 y z \sqrt{y}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{2 z x \sqrt{z}}=\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} (1)$

Mặt khác ta có:

$\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geqslant \dfrac{2}{x y} \Rightarrow \dfrac{1}{x y} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)$

CMTT: $\dfrac{1}{y z} \leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\right) ; \dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{z^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)$

Suy ra: $\dfrac{1}{x y}+\dfrac{1}{y z}+\dfrac{1}{z x} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}(2)$

Từ  $(1)$ và $(2)$ ta được: $\dfrac{2 \sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{y}}{y^{3}+z^{2}}+\dfrac{2 \sqrt{z}}{z^{3}+x^{2}} \leqslant \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}$

Dấu " $="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

\(\begin{aligned} &\text { Điêu kiện }\left\{\begin{array}{l} 2 x+y \geq 0 \\ x-2 y+1 \geq 0 \end{array}\right.\\ &\text { Ta có hệ phương trình dã cho } \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 3 \sqrt{2 x+y}+\sqrt{x-2 y+1}=5 \\ 2 \sqrt{x-2 y+1}-(5 x+10 y)=9 \end{array}\right.\\ &\text { Đặt } u=\sqrt{2 x+y},(\mathrm{u} \geq 0) \text { và } v=\sqrt{x-2 y+1},(v \geq 0)\\ &\text { Suy ra }\left\{\begin{array}{l} 2 x+y=u^{2} \\ x-2 y+1=v^{2} \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x+y=u^{2} \\ x-2 y=v^{2}-1 \end{array}\right.\right.\\ &\text { Ta có } 5 x+10 y=m(2 x+y)+n(x-2 y), \text { suy ra }\left\{\begin{array}{l} 2 m+n=5 \\ m-2 n=10 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} m=4 \\ n=-3 \end{array}\right.\right.\\ &\text { Vậy } 5 x+10 y=4(2 x+y)-3(x-2 y)=4 u^{2}-3\left(v^{2}-1\right) \end{aligned}\)

\(\text{Vậy ta có hệ phương trình}: \begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3u + v = 5}\\ {2v - \left( {4{u^2} - 3{v^2} + 3} \right) = 9} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 5 - 3u}\\ {4{u^2} - 3{v^2} - 2v + 12 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {v = 5 - 3u}\\ {23{u^2} - 96u + 73 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 2 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} u = \dfrac{{73}}{{23}}\\ v = - \dfrac{{104}}{{23}} \end{array} \right. \end{array} \right.} \end{array}\)

\(\text{Trường hợp 1}: \left\{\begin{array}{l}u=1 \\ v=2\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x+y=1 \\ x-2 y=3\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-1\end{array}\right. (tm) \right.\right.\\ \text{Trường hợp 2}: \left\{\begin{array}{l}u=\dfrac{73}{23} \\ v=-\dfrac{104}{23}\end{array}\right. (ktm \left.v \geq 0\right)\\ \text{Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm} \left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-1\end{array}\right..\)

đề bài có nhầm ko bạn

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương thì:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=(m-2)^2-2(3-m)>0\\ S=2-m>0\\ P=\frac{3-m}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-2m-2>0\\ m< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m< 1-\sqrt{3}\)

Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4x-3x^2y-9xy^2}{x+3y}\ge0\\x+3y\ne0\end{matrix}\right.\)

Với \(3y\ge x\), hệ tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^4-2x^2+4\right)\left(x^2+2\right)=6x^5y\\\left(3y-x\right)^2=\dfrac{4x}{x+3y}-3xy\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^6+8=6x^5y\left(1\right)\\x^3+27y^3=4x\end{matrix}\right.\left(I\right)\)

Vì \(x=0\) thì hệ vô nghiệm nên \(x\ne0\), khi đó:

\(\left(I\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{8}{x^6}=\dfrac{6y}{x}\\1+\dfrac{27y^3}{x^3}=\dfrac{4}{x^2}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{3y}{x}=a,\dfrac{2}{x^2}=b\) ta được hệ:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+a^3=2b\\1+b^3=2a\end{matrix}\right.\)

Giải hệ này ta được \(a=b\Leftrightarrow\dfrac{3y}{x}=\dfrac{2}{x^2}\Leftrightarrow y=\dfrac{2}{3x}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^6-4x^4+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\\x=\sqrt{1+\sqrt{5}}\\x=-\sqrt{1+\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=\sqrt{2}\Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

TH2: \(x=-\sqrt{2}\Rightarrow y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

TH3: \(x=\sqrt{1+\sqrt{5}}\Rightarrow y=\dfrac{2}{3\sqrt{1+\sqrt{5}}}\)

TH4: \(x=-\sqrt{1+\sqrt{5}}\Rightarrow y=-\dfrac{2}{3\sqrt{1+\sqrt{5}}}\)

Đối chiếu với các điều kiện ta được \(\left(x;y\right)=\left(-\sqrt{1+\sqrt{5}};-\dfrac{2}{3\sqrt{1+\sqrt{5}}}\right)\)

ĐKXĐ: ...

\(y\left(y^2-5y+4\right)+y^2=\left(y^2-5y+4\right)\sqrt{x+1}+x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-5y+4\right)\left(y-\sqrt{x+1}\right)+\left(y+\sqrt{x+1}\right)\left(y-\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-\sqrt{x+1}\right)\left[\left(y-2\right)^2+\sqrt{x+1}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow y=\sqrt{x+1}\Rightarrow y^2=x+1\)

Thế xuống pt dưới:

\(2\sqrt{x^2-3x+3}+6x-7=\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2+x\sqrt{3x-2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x^2-3x+3}-1\right)+x\left(x-\sqrt{3x-2}\right)=x^3-7x+6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}+\dfrac{x\left(x^2-3x+2\right)}{x+\sqrt{3x-2}}=\left(x+3\right)\left(x^2-3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-3x+2=0\\\dfrac{2}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}+\dfrac{x}{x+\sqrt{3x-2}}=x+3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1) với \(x\ge\dfrac{3}{2}\):

\(\dfrac{2}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}\le8-4\sqrt{3}< 1\)

\(\sqrt{3x-2}\ge0\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x-2}}\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{\sqrt{x^2-3x+3}+1}+\dfrac{x}{x+\sqrt{3x-2}}< 2\\x+3>2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm