Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐKXĐ: \(x\le1\)

+) Xét \(x=0\) thỏa mãn.

+) Xét \(x\ne0\):

Nhân cả 2 vế của phương trình với \(\left(1+\sqrt{1-x}\right)\) ta được:

\(\left(1-\sqrt{1-x}\right)\left(1+\sqrt{1-x}\right)\sqrt[3]{2-x}=x\left(1+\sqrt{1-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt[3]{2-x}=x\left(1+\sqrt{1-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x}\)

Đặt \(\sqrt{1-x}=a\left(a\ge0\right)\), khi đó \(2-x=a^2+1\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt[3]{a^2+1}=1+a\)

\(\Leftrightarrow a^2+1=\left(a+1\right)^3=a^3+3a^2+3a+1\)

\(\Leftrightarrow a^3+2a^2+3a=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^2+2a+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(C\right)\\\left(a+1\right)^2+2=0\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1-x}=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) ( thỏa mãn )

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(x=\left\{0;1\right\}\)

Lại bị lỗi công thức :((

Nhân cả hai vế của phương trình với \(1+\sqrt{1-x}\) ta được:

\(\left(1-\sqrt{1-x}\right)\left(1+\sqrt{1-x}\right)\sqrt[3]{2-x}=x\left(1+\sqrt{1-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt[3]{2-x}=x\left(1+\sqrt{1-x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x}\)

Sửa đề: \(\left\{{}\begin{matrix}x^5+xy^4=y^{10}+y^6\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6\end{matrix}\right.\)

ĐK: \(x\ge-\dfrac{5}{4}\)

Nếu \(y=0\Rightarrow\) Hệ đã cho vô nghiệm

Nếu \(y\ne0\)

 \(\left\{{}\begin{matrix}x^5+xy^4=y^{10}+y^6\left(1\right)\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\), ta có:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^5}{y^5}+\dfrac{x}{y}=y^5+y\)

\(\Leftrightarrow t^5+t=y^5+y\)

\(\Leftrightarrow\left(y-t\right)\left(y^4+ty^3+t^2y^2+t^3y+y^4\right)=0\)

Dễ chứng minh được \(y^4+ty^3+t^2y^2+t^3y+y^4\ne0\) nên \(y=t\Leftrightarrow x=y^2\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6\)

Đến đây dễ rồi, bình phương hai vế giải tiếp rồi kết luận.

Đề lỗi không nhỉ.

Bpt \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m+2\right)x+2m+2\ge\) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m-1\right)\left(2m+2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\-m^2+4m+6< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m< 2-\sqrt{10}\\m>\sqrt{2+\sqrt{10}}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2-\sqrt{10}}\)

Phương trình tương đương

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+2=\left(m+1\right)\left(x-2\right)\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+2=\left(m+1\right)x-2m-2\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1-m-1\right)x=-2m-4\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-2x=-2m-4\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu m ≠ 0 thì S = {m + 2}

\(a^2=b^2+c^2-bc\Rightarrow bc=b^2+c^2-a^2\)

\(\Rightarrow cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{bc}{2bc}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow A=60^0\)

Tương tự: \(ac=a^2+c^2-b^2\Rightarrow cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow B=60^0\)

\(\Rightarrow C=180^0-\left(A+B\right)=60^0\)

\(\Rightarrow A=B=C=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều

Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=m^2-4\left(m+3\right)>0\\m>0\\m+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>6\).

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'=m^2-\left(m+2\right)>0\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m-2\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -1\end{matrix}\right.\). (1)

Khi đó theo hệ thức Viète ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\).

Ta có \(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(2m\right)^3-3.2m.\left(m+2\right)=8m^3-6m^2-12m\).

Do đó \(8m^3-6m^2-12m\le16\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(8m^2+10m+8\right)\le0\Leftrightarrow m\le2\)

(do \(8m^2+10m+8=2\left(2m+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{39}{8}>0\forall m\)).

Kết hợp vs (1) ta có m < -1.

Đoạn cuối mình làm sai:

\(\dfrac{3m-7}{m-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\Leftrightarrow1< m< 3\).

Nếu vậy thì đáp án đúng là A.

Để pt có 2 nghiệm thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-3\right)\left(m-1\right)=1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\ne1\).

Khi đó theo hệ thức Viète: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\).

Do đó \(x_1+x_2+x_1x_2< 1\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)+\left(m-3\right)}{m-1}< 1\Leftrightarrow\dfrac{3m-7}{m-1}< 1\Leftrightarrow3m-7< m-1\Leftrightarrow2m< 6\Leftrightarrow m< 3\).

Vậy m là các số thoả mãn m < 3 và m khác 1.

1) \(\Leftrightarrow4-4\sqrt{\dfrac{x+2}{x-3}}=x+7\)

\(\Leftrightarrow-4\sqrt{\dfrac{x+2}{x-3}}=x+3\)

\(\Leftrightarrow16\dfrac{x+2}{x-3}=x^2+6x+9\)

\(\Leftrightarrow16x+3=x^3+6x^2+9x-3x^2-18x-27\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-25x-59=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4,79\\x=-2,2\\x=-5,58\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm....

ai giúp e đuy e tặng coin cko :)) 

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\\dfrac{x-1}{x+1}\ge3m+2\end{matrix}\right.\).

\(PT\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{x+1}=2\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}-3m-2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1}{x+1}\ge0\\\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^2-4\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)+4\left(3m+2\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Ta có \(\Delta'_{\left(1\right)}=2^2-4\left(3m+2\right)=-12m-4\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{-1}{3}\).

Ta chứng minh với \(m\le-\dfrac{1}{3}\) pt luôn có nghiệm.

Thật vậy, từ (1) suy ra \(\dfrac{x-1}{x+1}=\sqrt{-12m-4}+2\ge2>3m+2\).

Dễ thấy với t khác 1 thì pt \(\dfrac{x-1}{x+1}=t\) luôn có nghiệm khác 1.

Điều này chứng tỏ pt luôn có nghiệm.

Vậy \(m\le-\dfrac{1}{3}\).

P/s: Không biết có sai đoạn nào không ạ

ĐKXĐ: \(x\geq -2\).

Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của pt.

Xét x khác -2.

\(PT\Leftrightarrow\sqrt[3]{x^3+8}-\left(2x+4\right)=\dfrac{24x-18}{x^2-2x-7}-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+2\right)\left(x^2-6x-4\right)}{\sqrt[3]{x^3+8}+x+2}=\dfrac{-6\left(x^2-6x-4\right)}{x^2-2x-7}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2}{\sqrt[3]{x^3+8}+x+2}=\dfrac{-6}{x^2-2x-7}\left(1\right)\) hoặc x² - 6x - 4 = 0.

\(\left(1\right)\Rightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x-1\right)=-6\sqrt[3]{x^3+8}\)

+) Nếu x \(\geq 7\) thì \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x-1\right)>0\ge-6\sqrt{x^3+8}\) (loại)

+) Nếu \(x\le7\) thì \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x-1\right)\ge-2\left(x+2\right)>-6\sqrt[3]{3\left(x+2\right)}\ge-6\sqrt[3]{x^3+8}\) (loại)

Do đó (1) vô nghiệm.

Do đó \(x^2-6x-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3+\sqrt{13}\left(TMĐK\right)\\x=3-\sqrt{13}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy...