Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Hỏi đáp

1)Thấy: x=0;y=0 không phải là nghiệm của hệ.

\(\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2-3=3\left(y^2+1\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2=3\left(y^2+2\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^3-8x=y\left(y^2+2\right)\\x^2y=3y\left(y^2+2\right)\end{cases}\)

Trừ vế theo vế hai phương trình,đc:

\(x^3-8x-\frac{x^2y}{3}=0\Leftrightarrow y=\frac{3\left(x^3-8x\right)}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{3\left(x^2-8\right)}{x}\).Thay \(y=\frac{3\left(x^2-8\right)}{x}\) vào pt 2 đc:

\(26x^4-426x^2-1728=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=9\\x^2=\frac{96}{13}\end{cases}\) dễ nhé 

ai giải giúp mình câu 4 của bài này đi

Chắc chắn rằng đề bài thiếu

Nếu ko có điều kiện gì thì biểu thức này ko có cả max lẫn min

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2x^2-5x-1\)

Ta có : \(VT=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\Rightarrow VT^2=x-2+4-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)

\(=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)

Theo Cauchy ta có : \(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\le x-2+4-x=2\)

\(\Rightarrow VT^2\le2+2=4\Rightarrow VT\le2\)

Ta lại có : \(VP=2x^2-5x-1=\left(2x^2-5x-3\right)+2=\left(2x-3\right)\left(x-1\right)+2\)

Mà \(2\le x\le4\Rightarrow\left(2x-3\right)\left(x-1\right)\ge0\Rightarrow VT\ge2\)

Ta thấy : \(VT\le2\le VP\) nên dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(x=3\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3\left(3y-2\right)=-8\left(1\right)\\x\left(y^3+2\right)=-6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

nhận thấy x=0 không là nghiệm, chia cả 2 vế cho x\(\ne\)0 ta có hệ sau

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{2}{x}\right)^2=3y+2\\y^3=\frac{6}{x}+2\end{matrix}\right.\)

vế trừ vế ta được phân tích sau: \(\left(\frac{2}{x}\right)^2+3\left(\frac{2}{x}\right)=y^3+3y\)

xét hàm đặc trung \(f\left(t\right)=t^3+t\)

với \(f'\left(t\right)=3t^2+1\)>0 với \(\forall t\in R\)

dẫn đến \(\frac{2}{x}=y\) thế vào phương trình (1) ta có

\(y^3-3y-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)

với y=-1 thì x=-2

với y=2 thì x=1

vậy phương trình có 2 nghiệm (x;y)=(-2;-1);(1;2)

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+x-3+\left(2-\sqrt[3]{9-x}\right)+\left(2x-\sqrt{5x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+3\right)+\frac{x-1}{4+2\sqrt[3]{9-x}+\sqrt[3]{\left(9-x\right)^2}}+\frac{\left(x-1\right)\left(4x-1\right)}{2x+\sqrt{5x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+3+\frac{1}{4+2\sqrt[3]{9-x}+\sqrt[3]{\left(9-x\right)^2}}+\frac{4x-1}{2x+\sqrt{5x-1}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (ngoặc to luôn dương)

Lời giải:

Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow \frac{y^2+1+x^2+1}{(x^2+1)(y^2+1)}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow (xy+1)(x^2+y^2+2)\geq 2(x^2+1)(y^2+1)\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy+x^2+y^2+2\geq 2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2)+2xy-2x^2y^2-x^2-y^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2-2xy+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow xy(x-y)^2-(x-y)^2\geq 0\leftrightarrow (xy-1)(x-y)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng với mọi $x\geq 1, y\geq 1$. Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $xy=1$ hoặc $x=y\geq 1$

ta có (1)

tương tự

(2)

từ (1) và (2) suy ra: 2^x=x^2

Lời giải:
ĐK: $x\geq 0; x\neq 1$

Ta có:

$P(x)=\frac{15\sqrt{x}-11}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}-\frac{(3\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}-\frac{(2\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{15\sqrt{x}-11-(3\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+3)-(2\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{-5x+13\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{(8-5\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$

$=\frac{8-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

Với $P=\frac{8-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ thì chưa đủ cơ sở để khẳng định $P(x)\leq \frac{2}{3}$

ĐKXĐ: \(x\ge-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(3x^2+6x+3-4\left(x+3\right)\right)\sqrt{x+3}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a\\\sqrt{x+3}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+\left(3a^2-4b^2\right)b=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b-4b^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+2b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\2b=-a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=x+1\left(x\ge-1\right)\\2\sqrt{x+3}=-x-1\left(x\le-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=x^2+2x+1\\4\left(x+3\right)=x^2+2x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x-2=0\\x^2-2x-11=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=1-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: ...

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+91}-\sqrt{y^2+91}=\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2}+y^2-x^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+91}+\sqrt{y^2+91}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}+x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\) (ngoặc to luôn dương với \(x;y\ge2\))

Thay vào pt đầu:

\(\sqrt{x^2+91}=\sqrt{x-2}+x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-\sqrt{x^2+91}+\sqrt{x-2}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4+x^2-90}{x^2+1+\sqrt{x^2+91}}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x^2+10\right)}{x^2+1+\sqrt{x^2+91}}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{\left(x+3\right)\left(x^2+10\right)}{x^2+1+\sqrt{x^2+91}}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=3\)

Lời giải:

Lấy PT $(1)$ trừ PT $(2)$ theo vế ta có:

\(4(x-y)=4\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\right)=-\frac{4(x^2-y^2)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow 4(x-y)+\frac{4(x-y)(x+y)}{xy}=0\)

\(\Leftrightarrow 4(x-y)\left[1+\frac{x+y}{xy}\right]=0\)

Đến đây ta xét các TH:

TH1: $x-y=0$

$\Leftrightarrow x=y$. Thay vào PT$(1)$ ta có: $-2x=4\Rightarrow x=-2$

$\Rightarrow (x,y)=(-2,-2)$ (thỏa mãn)

TH2: $1+\frac{x+y}{xy}=0\Leftrightarrow xy=-(x+y)$

Lấy PT $(1)+(2)$ theo vế ta có:

$-(x+y)=\frac{2(x^2+y^2)}{xy}$

$\Rightarrow -xy(x+y)=2(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=2(x^2+y^2)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2=0\Rightarrow x=y$

Giống TH1 ta có $x=y=-2$

Vậy......

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2y=y^2+1(1)\\ 2xy^2=x^2+1(2)\end{matrix}\right.\)

Lấy $(1)-(2)$ theo vế suy ra:

$2xy(x-y)=y^2-x^2=-(x-y)(x+y)$

$\Leftrightarrow (x-y)(2xy+x+y)=0$

Xét các TH sau:

Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào $(1)$:

$2x^3=x^2+1\Leftrightarrow 2x^3-x^2-1=0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x-1)+(x-1)(x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x+1)=0$

Dễ thấy $2x^2+x+1>0$ nên $x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1$ (thỏa mãn)

Nếu $2xy+x+y=0\Leftrightarrow 2xy=-(x+y)$

Lấy $(1)+(2)\Rightarrow 2xy(x+y)=x^2+y^2+2$

$\Leftrightarrow -(x+y)^2=x^2+y^2+2$ (vô lý vì $VT\leq 0$ còn $VP>0$)

Vậy.......

Lời giải:

Lấy PT $(1)-(2)$ theo vế ta có:

$y^3-x^3=x^3-y^3-4(x^2-y^2)+7(x-y)$

$\Leftrightarrow 2(x^3-y^3)-4(x^2-y^2)+7(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)[2(x^2+xy+y^2)-4(x+y)+7]=0$

Thấy rằng:

$2(x^2+xy+y^2)-4(x+y)+7=(x+y-2)^2+3+x^2+y^2>0$ với mọi $x,y$

Do đó $x-y=0\Leftrightarrow x=y$

Thay vào PT $(1)$:

$x^3=x^3-4x^2+7x$

$\Leftrightarrow -4x^2+7x=0$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{7}{4}$

$\Leftrightarrow y=0$ hoặc $y=\frac{7}{4}$ (tương ứng)

Vậy.....

ĐKXĐ: \(xy\ne0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2y=y^2+2\\3xy^2=x^2+2\end{matrix}\right.\)

Chia vế cho vế:

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y^2+2}{x^2+2}\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x=y^3+2y\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+xy+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu: \(3x=\frac{x^2+2}{x^2}\Leftrightarrow3x^3-x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x^2+2x+2\right)=0\)