Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Hỏi đáp

ĐKXĐ:...

Biến đổi pt đầu:

\(2y\left(y-2x\right)+2\left(y-2x\right)+y-1=3\sqrt{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\)

\(\Leftrightarrow2\left(y+1\right)\left(y-2x\right)+y-1=3\sqrt{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-1}=a\\\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}=b\end{matrix}\right.\) ta được:

\(a^2+2b^2=3ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-2b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\left(1\right)\\\sqrt{y-1}=2\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế phương trình dưới:

\(\Leftrightarrow y+1+y-2x+2\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}=2y-2x+2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(y+1\right)\left(y-2x\right)}=1\) (3)

TH1: thế (1) vào (3) ta được:

\(2\sqrt{y-1}=1\Rightarrow y-1=\frac{1}{4}\Rightarrow y=\frac{5}{4}\Rightarrow x=\frac{41}{72}\)

TH2: thế (2) vào (3) ta được:

\(\sqrt{y-1}=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x=\frac{23}{24}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)

\(M=x^2+y^2+xy=\left(x+y\right)^2-xy\ge1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0,5.

\(x=1-y\Rightarrow x^2+y^2+xy=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Với mọi x thuộc tập xác định, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=1\sqrt{x-2}+1\sqrt{4-x\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)}=2}\)

còn

\(x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

do đó 

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)  \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2\\\left(x-3\right)^2+2=2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(x=3\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=3\)

\(x\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x}\ge2\)

\(A=x+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{4x}+\frac{3}{4x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}+\frac{3}{4}.2=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{5}{2}\) khi \(x=\frac{1}{2}\)

---đề thiếu: độ dài 2 cạnh góc "vuông"---

Gọi độ dài cạnh góc vuông bé là a cm(a>0)

=>độ dài cạnh còn lại là:a+7(cm)

Độ dài cạnh huyền là:\(\sqrt{a^2+\left(a+7\right)^2}=\sqrt{2a^2+14a+49}\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác là:

a+a+7+\(\sqrt{2a^2+14a+49}\)=30

<=>2a-23=-\(\sqrt{2a^2+14a+49}\)

ĐK có nghiệm:a\(\le\dfrac{23}{2}\)

=>4a²-92a+529=2a²+14a+49

<=>2a²-106a+480=0

<=>a=48(L) hoặc a=5(TM)

=>độ dài cạnh góc vuông là 5 cm và 12 cm

Độ dài cạnh huyền:

\(\sqrt{2.5^2+14.5+49}=13\left(cm\right)\)

\(\Delta=\left(m-2\right)^2+8m=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\ge0\) \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm

Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2\)

\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(m-2\right)^2+4m\)

\(A=m^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow A_{min}=4\) khi \(m=0\)

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=-2\)

Điều kiện: \(-1\) ≤ \(x\) ≤ 3

Đặt \(t=\sqrt{\left(x+1\right)}+\sqrt{3-x}\) (t ≥ 0)

=> \(t^2=4+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\)

=> \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=\dfrac{t^2-4}{2}\)

Thay vào phương trình ta được:

\(t-\dfrac{t^2-4}{2}+2=0\)

=> \(-t^2+2t+8=0\)

=> \(t=4\)

\(t=-2\) (loại)

Với \(t=4\) ta được: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=4\)

=> \(4\) + \(2\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=4\)

=> \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=0\)

=> \(-x^2+2x+3=0\)

=> \(x=3\) và \(x=-1\) (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x=3\) và \(x=-1\) là 2 nghiệm của phương trình.

\(\left|x+5\right|=3x+1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=3x+1\\x+5=-3x-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x=-4\\4x=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\frac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)

b) khong hiểu đề

Từ pt trên suy ra \(y=x+1\) thay xuông dưới:

\(\left(m-1\right)x^2+\left(x+1\right)^2+x-2\left(x+1\right)+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow mx^2+x+2m-4=0\)

Đặt \(f\left(x\right)=mx^2+x+2m-4=0\)

Để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1< x_2< 2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-4m\left(2m-4\right)>0\\a.f\left(2\right)=m\left(4m+2+2m-4\right)>0\\\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-1}{2m}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-8m^2+16m+1>0\\m\left(6m-2\right)>0\\\frac{4m+1}{2m}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{3}< m< \frac{4+3\sqrt{2}}{4}\)