Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Hỏi đáp

Lời giải:

Lấy phương trình (1) nhân với $11$ rồi trừ đi phương trình (2) ta có:

\(11(x^2-y^2)-(x^2+y^2)=(11-11xy)-(3xy+11)\)

\(\Leftrightarrow 10x^2-12y^2=-14xy\)

\(\Leftrightarrow 5x^2-6y^2+7xy=0\)

\(\Leftrightarrow (5x-3y)(x+2y)=0\)

TH1 : \(5x-3y=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}y\)

Thay vào PT(1): \(\Rightarrow \frac{-16}{25}y^2=1-\frac{3}{5}y^2\Leftrightarrow \frac{-1}{25}y^2=1\) (vô lý)

TH2: \(x+2y=0\Leftrightarrow x=-2y\)

\(\Leftrightarrow 3y^2=1+2y^2\Leftrightarrow y^2=1\)

\(\Leftrightarrow y=\pm 1\Rightarrow x=\mp 2\) (thử lại thấy đúng)

Vậy \((x,y)=(2; -1); (-2; 1)\)

\(1+\sqrt{x^2-4x+3}-x=0\)

\(ĐK:\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-4x+3\ge0}\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

\(PT\Leftrightarrow\sqrt{x^2-4x+3}-\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4x+3-\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x^2-4x+3}+\left(x-1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow2-2x=0\Rightarrow x=1\left(tm\right)\)

ĐK : \(x\ge2\)

\(y=x-2-\sqrt{x-2}+2=\left(\sqrt{x-2}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\forall x\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\)

Vậy Min \(y=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{9}{4}\)

à mình nhầm

Sorry nhá

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=7y-x\\ (xy+1)^2-xy=13y^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (7y-x)^2-xy=13y^2\)

\(\Leftrightarrow 36y^2-15xy+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow (12y-x)(3y-x)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=12y\\ x=3y\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=12y\). Thay vào PT(1):

\(12y.y+12y+1=7y\)

\(\Leftrightarrow 12y^2+5y+1=0\) (pt vô nghiệm)

Nếu \(x=3y\Rightarrow 3y.y+3y+1=7y\)

\(\Leftrightarrow 3y^2-4y+1=0\)

\(\Leftrightarrow (3y-1)(y-1)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} y=\frac{1}{3}\rightarrow x=1\\ y=1\rightarrow x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiệm \((x;y)=(1;\frac{1}{3}); (3;1)\)

Hoặc đến đoạn $36y^2-15xy+x^2=0$ nếu bạn không biết xử lý ra sao thì có thể thực hiện cách sau:

Dễ thấy $y=0$ không phải nghiệm của HPT. Do đó $y\neq 0$

Đặt $x=ty$

\(\Rightarrow 36y^2-15.ty.y+(ty)^2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2(36-15t+t^2)=0\)

\(\Rightarrow 36-15t+t^2=0\) (do $y\neq 0$)

Đến đây ta giải PT bậc 2 một ẩn như bình thường để tìm ra mối quan hệ của $x,y$

Trừ theo vế hai pt của hệ:

\(\left(x^3-y^3\right)+2\left(x-y\right)=\left(y-x\right)\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+2\left(x-y\right)+\left(x-y\right)=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+3\left(x-y\right)=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3\right)=0\)

Ta có: \(x^2+xy+y^2+3=\left(x^2+2.x.\frac{y}{2}+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+3=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+3>0\forall x,y\)

Do đó x = y thay vào pt đầu suy ra:

\(x^3+2x=x\left(\text{thay y bởi x}\right)\Leftrightarrow x^3+x=0\Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=0\Leftrightarrow x=0\)

Do vậy x = y = 0

P/s: Còn thiếu nghiệm nào không ta?:3

Lời giải:

ĐK: \(x\in\mathbb{R}\)

\(\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2+2x+10}=\sqrt{29}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+2x+10}=\sqrt{29}-\sqrt{x^2-2x+5}\)

Bình phương 2 vế:

\(x^2+2x+10=29+x^2-2x+5-2\sqrt{29(x^2-2x+5)}\)

\(\Leftrightarrow 4x-24=-2\sqrt{29(x^2-2x+5)}\)

\(\Leftrightarrow 12-2x=\sqrt{29(x^2-2x+5)}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 12-2x\geq 0\\ (12-2x)^2=29(x^2-2x+5)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ 4x^2+144-48x=29x^2-58x+145\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ 25x^2-10x+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 6\\ (5x-1)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{1}{5}\)

(thỏa mãn)

Vậy.....

DK:\(-2\le x\le2\)

\(t=\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}\Rightarrow t^2=10-3x-4\sqrt{4-x^2}\Rightarrow Pt\Leftrightarrow t^2=3t\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=3\end{matrix}\right.\)

\(t=0\Rightarrow\sqrt{2+x}=2\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{5}\)

Thu lai thay x= 6/5 thoa man\(t=3\Rightarrow1-3x=4\sqrt{4-x^2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{3}\\25x^2-6x-63=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3-12\sqrt{11}}{25}}\)