Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Trần Hà Ngân Khánh
Xem chi tiết
Hoàng Huệ Cẩm
Xem chi tiết
Ngô Võ Thùy Nhung
31 tháng 3 2016 lúc 19:31

Để ý rằng trong một hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên AC, BD có cùng trung điểm vì vậy ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\) với mọi J. Vậy

Vì ABCD là hình bình hành nên  \(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JD}\)  với mọi điểm J trong mặt phẳng. Điều này tương đương với 

 \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JB}\) 

Khi J là gốc tọa độ, ta được D(5;0)

 

Bình luận (0)
Đỗ Hạnh Quyên
31 tháng 3 2016 lúc 19:35

Với bốn điểm A, B, C, D phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng thì tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\)

Do đó, giả sử tìm được điểm D(x;y)

Khi đó : \(\overrightarrow{AB}=\left(-9;-3\right)\)

và \(\overrightarrow{DC}=\left(-4-x;-3-y\right)\)

Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), điều này tương ứng với 

\(\begin{cases}-4-x=-9\\-3-y=-3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)

Vậy D (5;0)

Bình luận (0)
Phạm Thái Dương
31 tháng 3 2016 lúc 19:40

Ta cũng có thể sử dụng quy tắc hình bình hành để giải như sau :

Ta có \(\overrightarrow{BA}=\left(9;3\right);\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)\)

Giả sử tìm được điểm D(x;y). Khi đó \(\overrightarrow{BD}=\left(x+7;y-1\right)\) và do đó ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)

Điều này tương ứng với 

\(\begin{cases}x+7=9+3\\y-1=3+\left(-4\right)\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}\)

Vậy đáp số D(5;0)

Bình luận (0)
Lê Ngọc Toàn
Xem chi tiết
Phạm Thảo Vân
31 tháng 3 2016 lúc 19:49

Từ giả thiết ,ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-5;1\right);\overrightarrow{BC}=\left(3;2\right);\overrightarrow{CA}=\left(2;-3\right)\)

Đặt \(\widehat{CAB}=\alpha;\widehat{ABC}=\beta;\widehat{BCA}=\gamma\), khi đó :

\(\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{-5.\left(-2\right)+1.3}{\sqrt{\left(-5\right)^2+1^2}.\sqrt{\left(-2\right)^2+3^2}}=\frac{13}{13.\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tương tự làm như vậy, ta có

\(\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy \(\alpha=\beta=\frac{\pi}{4}\)

và \(\gamma=\frac{\pi}{2}\)

Bình luận (0)
Mai Thị Xuân Bình
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Hằng
31 tháng 3 2016 lúc 20:56

Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\)

Gọi H(x;y) là trực tâm của tam giác ABC thế thì \(\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y\right),\overrightarrow{AH}=\left(x;y-1\right)\)

Ta có H là trực tâm của tam giac ABC khi và chỉ khi

\(\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)    \(\begin{cases}4x-3\left(y-1\right)=0\\-2\left(x-2\right)+2y=0\end{cases}\)

                         \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-9\\y=-11\end{cases}\)

Vậy trực tâm của tam giác ABC là H(-9;-11)

Để tìm  tọa độ của tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có thể sử dụng công thức khoảng cách IA=IB=IC hoặc sử dụng đẳng thức Vecto \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\)

Hoặc cũng có thể làm như sau :

Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Khi đó M(-1;2) và \(N\left(0;\frac{3}{2}\right)\)

Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó :

\(\begin{cases}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(-1-x\right)+2\left(2-y\right)=0\\4\left(-x\right)-3\left(\frac{3}{2}-y\right)=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{15}{2}\end{cases}\)

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là \(I\left(\frac{9}{2};\frac{15}{2}\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Thanh Hà
Xem chi tiết
Mai Linh
31 tháng 3 2016 lúc 20:33

a) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(-6;8\right),\overrightarrow{AC}=\left(-4;3\right)\) do đó AB=10 và AC=5.

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ A

khi đó \(\overrightarrow{DB}=-2\overrightarrow{DC}\) suy ra \(D\left(-\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right)\) 

Vậy độ dài đường phân giác trong kẻ từ A bằng \(AD=\sqrt{\left(3+\frac{5}{3}\right)^2+\left(-5+\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{14\sqrt{2}}{3}\)

b) Gọi E là chân phân giác ngoài kẻ từ A

Khi đó \(\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EC}\) suy ra E(1;-7)

Vậy nếu J là trung điểm DE thì \(J\left(-\frac{1}{3};-\frac{11}{3}\right)\)

Bình luận (0)
Võ Thị Hoài Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
31 tháng 3 2016 lúc 21:36

A B C M G

Vì M(1;-1) là trung điểm BC và \(G\left(\frac{2}{3};0\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}\) từ đó tìm được A(0;2)

Vì tam giác ABC cân tại A nên \(BC\perp MA\) tức là đường thẳng BC đi qua M(1;-1), nhận \(\overrightarrow{MA}=\left(-1;3\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.

Do đó đường thẳng BC có phương trình  \(-1\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=0\)

                                                           hay  \(-x+3y+4=0\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên MB=MC=MA=\(\sqrt{10}\)

Suy ra B, C nằm trên đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\)

Từ đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình 

\(\begin{cases}-x+3y+4=0\\\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=10\end{cases}\)

Giải hệ phương trình thu được (x;y) = (4;0) và (x;y) = (-2;2)

Vậy A(0;2), B(4; 0), C(-2;-2)

Bình luận (0)
Đặng Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Thiên An
31 tháng 3 2016 lúc 21:23

Từ giả thiết suy ra AB=5 và A, B trở về cùng 1 phía của đường thẳng \(\Delta\)

a) Nếu tam giác ABC cân tại C thì CA=CB và từ đó, tìm được \(C\left(-\frac{47}{4};\frac{47}{2}\right)\)

    Nếu tam giác ABC cân tại C thì AC=AB=5, từ đó tìm được C(2;-4) và C(-2;4) thỏa mãn. Nếu tam giác ABC cân tại B thì BC=BA=5 nhưng \(d\left(B;\Delta\right)=\frac{16}{\sqrt{5}}>5\) nên trong trường hợp này không có điểm C thỏa mãn

b) Với I là trung điểm AB thì \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{2ID}\)

 Do đó \(D\in\Delta:\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}\right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của I trên \(\Delta\).

Vậy đáp số : \(D\left(-\frac{1}{5};\frac{2}{5}\right)\)

c) \(E\left(\frac{2}{11};-\frac{4}{11}\right)\)

d) \(\left|FA-FB\right|\ge0\),\("="\)\(\Leftrightarrow FA=FB\Leftrightarrow F\left(-\frac{47}{4};\frac{47}{2}\right)\)

Bình luận (0)
Lê Thanh Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Đạt
1 tháng 4 2016 lúc 22:14

a) Gọi M là trung điểm cạnh CA thì \(M\left(\frac{3}{2};1\right)\) và \(\overrightarrow{BM}=\left(\frac{9}{2};-3\right)\).  

Đường trung tuyến BM của tam giác có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}.\overrightarrow{BM}=\left(3;-2\right)\) suy ra ta có phương trình

\(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{-2}\)

b) Do đường cao kẻ từ A có phương vuông góc với đường thẳng BC nên nó nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(5;-4\right)\) làm vec tơ pháp tuyến. Suy ra có phương trình.

\(5.\left(x-1\right)-4\left(y-2\right)=0\) hay \(5x-4y+3=0\)

c) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-4;2\right)=2.\left(-2;1\right)\). Gọi N là trung điểm  AC thì N(-1;3)

Đường trung trực của cạnh AB đi qua N(-1;3) và có vec tơ pháp tuyến

\(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{AB}=\left(-2;1\right)\)

Suy ra có phương trình

\(-2.\left(x+1\right)+1.\left(y-3\right)=0\) hay \(-2x+y-5=0\)

Bình luận (1)
Bạch Hà An
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Hằng
1 tháng 4 2016 lúc 22:05

A B C P N M

 

Do M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA và AB nên AB//MN, BC//NP và CA//PM

Từ đó đường thẳng AB đi qua P và nhận vec tơ \(\overrightarrow{MN}=\left(-7;1\right)\) làm vec tơ chỉ phương suy ra AB nhận vec tơ \(\overrightarrow{c}=\left(1;7\right)\) làm vec tơ pháp tuyến.

Vậy AB có phương trình tổng quát \(1.\left(x-3\right)+7.\left(y-2\right)=0\) hay \(x+7y-17=0\)

Tương tự, ta được BC : \(3x-4y-10=0\) và CA : \(4x+3y+7=0\)

Bình luận (0)
Mai Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Đạt
1 tháng 4 2016 lúc 22:27

A B H M N C

Giả sử có hai đường thẳng m, n đi qua A, cắt BC theo thứ tự tai M,N sao cho \(S_{\Delta ABM}=S_{\Delta AMN}=S_{\Delta ANC}\)

Khi đó, do ba tam giác này có cùng chiều cao AH nên 

\(BM=MN=NC=\frac{1}{3}BC\)

Điều này tương đương với \(\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NC}\)

Từ \(\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}\) suy ra với mọi điểm O

đều có \(\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}}{3}\) và do đó \(M\left(-2;\frac{7}{3}\right)\)

Ta có :

\(\overrightarrow{AM}=\left(-5;\frac{22}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(-15;22\right)\)

Suy ra đường thẳng AN đi qua điểm A(3;-5) và nhận vec tơ \(\overrightarrow{n}=\left(-3;5\right)\) làm vec tơ chỉ phương.

Do đó đường thẳng n có phương trình \(\frac{x-3}{-3}=\frac{y+5}{5}\)

Bình luận (0)