Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. - Hỏi đáp

Thuyết tương đối có hai phần: tương đối hẹp (Special Theory of Relativity 1905) và tương đối rộng (General Theory of Relativity 1916-1919)

Thuyết tương đối hẹp có hai tiên đề chính:

1.Các định luật vật lý là bất biến (hay đồng nhất) trong mọi hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu chuyển động không có gia tốc).

2.Tốc độ ánh sáng trong chân không là như nhau đối với mọi quan sát viên, bất kể chuyển động của nguồn phát ánh sáng như thế nào. (c=const)

Thuyết tương đối hẹp chủ yếu sửa những lỗi sai và hạn chế của cơ học Newton khi vật chất đạt đến vận tốc của ánh sáng (được coi là vận tốc khả dĩ lớn nhất tự nhiên), đồng thời phủ định môi trường ete siêu sáng được nhà bác học J.C.Maxwell đưa ra. Thuyết tương đối hẹp đưa ra nhiều hệ quả quan trọng, trong đó có:

*)Phép biến đổi Lorentz: Với v là vận tốc của vật, c là vận tốc ánh sáng trong chân không (thường lấy là c=3.10⁸m/s)

\(\gamma=\frac {1} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}\)

a)Sự giãn nở thời gian - Thời gian riêng: Nói đơn giản, có thể hiểu là một đồng hồ đặt trong hệ quy chiếu chuyển động (với vận tốc v thời gian t₀) sẽ chạy chậm hơn một đồng hồ giống hệt như nó nhưng đặt trong hệ quy chiếu đứng yên (vơi thời gian t) so với hệ quy chiếu này.

\(t=\frac {t_0} {\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}}\)

b)Co ngắn chiều dài: \(l=\frac {l_0} {\gamma}\)

c)Không thời gian - Nón ánh sáng - Biểu đồ không thời gian.

d)Công thức cộng vận tốc: trong trường hợp vận tốc của vật gần với ánh sáng, công thức cộng vận tốc tuyệt đối là:

+u_x là vận tốc tuyệt đối (tại hệ quán tính đang khảo sát S).

+u'_x là vận tốc tương đối (tại hệ quán tính đang chuyển động S' đối với hệ quán tính S).

+v là vận tốc của hệ quán tính S' so với hệ quán tính S.

+c là vận tốc ánh sáng trong chân không.

Nếu v<<c <=> u_x≃u^'_x+v hay v₁₃≃v₁₂+v₂₃ là công thức cộng vận tốc cổ điển.

e)Vận tốc-4; Vector-4; Vector-4 của năng lượng và động lượng:

Mối liên hệ giữa năng lượng và động lượng:

f)Biểu thức năng lượng trong trường hợp v gần với c:\(E=\gamma m_0c^2\); với γ là hệ số Lorentz (trên) và m₀ là khối lượng khi nghỉ của vật. Đối với trường hợp v<<c ta có công thức nổi tiếng: E=mc² biểu thị sự tương đương giữa năng lượng và khối lượng của vật.

Cái hẹp ở học thuyết này (SRT) là Einstein đã bỏ qua lực hấp dẫn, ông đã tiếp tục nghiên cứu về trường hợp tổng quát là tính cả lực hấp dẫn, từ đó bài báo "Cơ sở thuyết tương đối tổng quát" ra đời năm 1915, và Einstein hoàn thành thuyết năm 1916.

Thuyết tương đối tổng quát được chứng minh năm 1919 bởi hiện tượng nhật thực năm đó bởi một nhà thiên văn học người Anh, khi ông đã chứng minh được ánh sáng bị bẻ cong bởi khối lượng một góc nhỏ (cụ thể ở đây là Mặt Trời). Thuyết tương đối rộng tập trung nghiên cứu về một khái niệm tưởng chừng đơn giản nhưng không hề như vậy: LỰC HẤP DẪN.

Newton đã đưa ra thuyết vạn vật hấp dẫn, được coi là một học thuyết vĩ đại thời bấy giờ, và đã tồn tại hơn 200 năm, cho đến khi Einstein đưa ra thuyết tương đối, lật đổ thành trì vững chãi của Newton. Để chứng minh cho những phát hiện tưởng chừng điên rồ của mình thời bấy giờ, ông đã sử dụng nhiều công cụ toán học được xem là cực kỳ khó và lằn nhằn thời bấy giờ (hình học vi phân, hình học Riemann, hình học Minkowski.

Einstein đã đưa ra một hệ phương trình tuân theo định lý phân kỳ hiệp biến tự do, định luật bảo toàn năng lượng-động lượng cục bộ đối với mọi tensor metric, nhằm mô tả các hiệu ứng hấp dẫn, nguồn hấp dẫn,... được sử dụng chủ yếu về mặt toán học trong thuyết tương đối rộng, ngày nay gọi là hệ phương trình trường Einstein:

Đây là một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, gồm 10 phương trình miêu tả tương tác cơ bản là hấp dẫn bằng kết quả của sự cong của không thời gian do có mặt của vật chất và năng lượng.

Các nhà vật lý tìm ra được metric Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (metric FLRW) là nghiệm chính xác của phương trình Einstein mô tả vũ trụ đang nở ra hay co lại, cho phép mô tả sự tiến hóa của vũ trụ từ xấp xỉ 13,8 tỷ năm về trước, khởi nguyên từ Vụ nổ lớn:

Thuyết tương đối rộng có nhiều hệ quả: Sự giãn thời gian do hấp dẫn và dịch chuyển tần số; ánh sáng bị lệch và sự trễ thời gian do hấp dẫn; sóng hấp dẫn; hiệu ứng quỹ đạo và tính tương đối của phương hướng; sự tiến động của điểm cận nhật; giảm chu kỳ quỹ đạo; hiệu ứng trắc địa và kéo hệ quy chiếu.

Thuyết tương đối rộng cũng có nhiều liên hệ với Thuyết lượng tử (được nhà vật lý lý thuyết Max Planck khởi xướng) (trường lượng tử trong không thời gian cong; hấp dẫn lượng tử;... )

Thuyết tương đối là một phát minh cực kỳ quan trọng của ngành vật lý hiện đại cả thế kỷ 20, và của cả thế kỷ 21. Nó được xem là một trong hai trụ cột quan trọng của ngành vật lý hiện đại (Lý thuyết kia là Thuyết Cơ học Lượng tử)

Albert Einstein (An-be Anhxtanh) là một trong những nhà vật lý vĩ đại nhất của ngành vật lý nói riêng và của sự phát triển của khoa học nói chung.

Với công thức E=mc² ta có 1 vật có khối lượng nhỏ đến đâu khi nhân với bình phương của tốc độ ánh sáng sẽ cho ra một nguồn năng lượng cực lớn

Gọi pt mặt phẳng (Q) song song (P) có dạng \(x+2y-2z+d=0\)

Lấy \(A\left(-3;0;0\right)\) là một điểm thuộc (P)

\(d\left(A;\left(Q\right)\right)=\frac{\left|-3+d\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{\left|d-3\right|}{3}=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=9\\d=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (Q): \(\left[{}\begin{matrix}x+2y-2z+9=0\\x+2y-2z-3=0\end{matrix}\right.\)

Bạn tìm giao điểm của d và (Q) sẽ ra tọa độ điểm M

Nhưng thi trắc nghiệm thì lẹ nhất là thay thẳng 4 đáp án vào kiểm tra

Đặt hệ trục \(Oxyz\) vào lăng trụ với \(O\equiv A;\) \(AB\equiv Ox\); \(AC\equiv Oy\); \(AA'\equiv Oz\), quy ước \(a\) bằng 1 đơn vị độ dài

\(\Rightarrow A'\left(0;0;1\right);B\left(1;0;0\right);C\left(0;\sqrt{3};0\right);B'\left(1;0;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{A'B}=\left(1;0;-1\right);\overrightarrow{BC}=\left(-1;\sqrt{3};0\right);\overrightarrow{BB'}=\left(0;0;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(A'BC\right)}}=\left[\overrightarrow{A'B};\overrightarrow{BC}\right]=\left(\sqrt{3};1;\sqrt{3}\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(BCC'B'\right)}}=\left[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BB'}\right]=\left(\sqrt{3};1;0\right)\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\frac{\left|3+1+0\right|}{\sqrt{3+1+3}\sqrt{3+1+0}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

// Giải theo kiểu 11:

Kẻ \(A'M\perp B'C'\); \(AN\perp BC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A'M\perp\left(BCC'B'\right)\\BC\perp\left(A'MN\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{A'NM}\) là góc giữa \(\left(A'BC\right)\) và \(\left(BCC'B'\right)\)

\(\frac{1}{A'M^2}=\frac{1}{A'B'^2}+\frac{1}{A'C'^2}\Rightarrow A'M=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow MN=AA'=a\Rightarrow A'N=\sqrt{A'M^2+MN^2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\frac{MN}{A'N}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\)

Hoặc là đáp án sai, hoặc là bạn đưa ra số liệu sai, cạnh bên lăng trụ có đúng bằng a ko bạn?

\(\left(a+b\right)x-2ay-bz+b=0\)

\(\Leftrightarrow ax-2ay+bx-bz+b=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(x-2y\right)+b\left(x-z+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(P\right)\) luôn đi chứa đường thẳng cố định \(d\) có pt: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\x-z+1=0\end{matrix}\right.\)

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2t\\y=t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc d và đi qua M có dạng:

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)+2\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+y+2z-5=0\)

Gọi A là giao điểm của d và (Q), tọa độ A là nghiệm:

\(2.2t+t+2\left(1+2t\right)-5=0\)\(\Rightarrow t=\frac{1}{3}\Rightarrow A\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right)\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(1-\frac{2}{3}\right)^2+\left(1-\frac{1}{3}\right)^2+\left(1-\frac{5}{3}\right)^2}=1\)

\(\Rightarrow R=\frac{AM}{2}=\frac{1}{2}\)

Bạn ghi đề bài đầy đủ ra đi, đề bài này rõ ràng bị thiếu

Theo mình P nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng D. Khi đó OM = \(\sqrt{14}\). đúng không mọi người ơi?

*Áp dụng BĐT Svarxơ, ta có:

P\(=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

Vậy P_min=3\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1}=\frac{y^2}{1}=\frac{z^2}{1}\Rightarrow x=y=z=1\)

Gọi mặt phẳng (Q) có pt \(x+y+z-3=0\)

Gọi \(M\left(a;b;c\right)\in\left(Q\right)\) sao cho \(0\le a;b;c\le2\)

\(\Rightarrow P=OM^2=a^2+b^2+c^2\)

Bài toán trở thành tìm \(M\in\left(Q\right)\) sao cho \(OM\) đạt GTLN và GTNN

- Phần GTNN thì đơn giản rồi, gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (Q) \(\Rightarrow OH\perp HM\Rightarrow\) tam giác OHM vuông tại H \(\Rightarrow OH\le OM\) (trong tam giác vuông cạnh huyền luôn lớn hơn hoặc bằng cạnh góc vuông)

\(\Rightarrow OM_{min}=OH\) khi \(M\) trùng H (dễ dàng tìm ra \(H\left(1;1;1\right)\) có tọa độ thỏa mãn \(0\le a;b;c\le2\))

\(\Rightarrow OM_{min}=OH=d\left(O;\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1.0+1.0+1.0-3\right|}{\sqrt{1+1+1}}=\sqrt{3}\Rightarrow P_{min}=OM_{min}^2=3\)

- Phần GTLN hơi phức tạp chút, có lẽ do mình ko tìm ra cách giải tốt nhất

Ta thấy M luôn nằm trong hình lập phương giới hạn bởi các mặt phẳng \(x=2;y=2;z=2\) và \(xOy;yOz;xOz\)

\(\Rightarrow M\) thuộc hình phẳng là tiết diện của \(\left(Q\right)\) với hình lập phương nói trên

\(\Rightarrow M\) thuộc hình lục giác đều có tọa độ lần lượt A(1;0;2); B(0;1;2); C(0;2;1); D(1;2;0); E(2;1;0); F(2;0;1) với tâm là \(H\left(1;1;1\right)\)

\(OM^2=OH^2+HM^2\Rightarrow OM_{max}\) khi \(HM_{max}\)

Mà \(HM\le HA=HB=HC=HD=HE=HF\)

\(\Rightarrow OM_{max}\) khi \(M\) trùng A (hoặc B, C, D, E, F)

\(\Rightarrow OM_{max}^2=OH^2+HA^2=3+\left(1-1\right)^2+\left(0-1\right)^2+\left(2-1\right)^2=5\)

\(\Rightarrow P_{max}=OM_{max}^2=5\)

Khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;0;2\right)\) và các hoán vị

Kéo dài đường cao AH lần lượt cắt BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điển E và K, ta dễ dàng chứng minh được E là trung điểm HK

Đường cao \(AH\perp BC\) nên có phương trình \(x-y=0\), E là giao điểm của BC và AH \(\Rightarrow E\left(4;4\right)\) và H là trung điểm \(HK\Rightarrow K\left(3;3\right)\), suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \(R=IK=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\) phương trình đường tròn là \(\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=5,\left(C\right)\)

Vậy hai điểm B, C là nghiệm của hệ hai phương trình đường thẳng BC và đường tròn (C) \(\Rightarrow B\left(3;5\right);C\left(6;2\right)\) và đỉnh A là nghiệm hệ của đường cao AH và đường tròn (C) \(\Rightarrow A\left(6;6\right)\)

Diện tích tam giác ABC là :

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}d\left(A,BC\right).BC=\frac{1}{2}\frac{\left|6+6-8\right|}{\sqrt{2}}.3\sqrt{2}=6\)