Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Phước Lộc
Xem chi tiết
Phước Lộc
Xem chi tiết
Khôi Nguyễn
2 tháng 9 2023 lúc 5:52

Để tìm phương trình đường thẳng Δm, ta thay các giá trị của x, y, z vào phương trình của Δm:

x = 1 - m + (m - 1)t
y = 3 - m + (m + 1)t
z = m - mt

Thay A(5, 3, 1) vào phương trình của Δm:

5 = 1 - m + (m - 1)t
3 = 3 - m + (m + 1)t
1 = m - mt

Từ đó, ta có hệ phương trình:

4 = (m - 1)t
0 = 2t
-4 = 2mt

Giải hệ phương trình này, ta được t = 0 và m = 1.

Thay t = 0 và m = 1 vào phương trình của Δm, ta có:

x = 1 - 1 + (1 - 1) * 0 = 0
y = 3 - 1 + (1 + 1) * 0 = 2
z = 1 - 1 * 0 = 1

Vậy phương trình đường thẳng Δm là:

x = 0
y = 2
z = 1

Do đó, đáp án là A.

 
Bình luận (1)
Phước Lộc
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
1 tháng 9 2023 lúc 20:52

Giả sử ta có M (a;0;0); N (0;b;0) và P (0;0;c) với a,b,c > 0.

\(\Rightarrow V_{OMNP}=\dfrac{1}{6}abc\)

\(\Rightarrow\left(\alpha\right)\) có dạng \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}=1\) do mặt phẳng đi qua điểm A (2;1;3).

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy: 

\(1=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{2.1.3}{abc}}\)

\(\Leftrightarrow abc\ge162\)

\(\Rightarrow V\ge27\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=3\\c=9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\alpha\right):\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{9}=1\)

Có phương trình đường thẳng d, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng \(\alpha\) là nghiệm của hệ phương trình (d) và \(\left(\alpha\right)\). Như vậy, x = 4, y = -1 và z = 6.

Chọn A.

Bình luận (0)
Thành Đạt
Xem chi tiết
meme
3 tháng 9 2023 lúc 8:02

Để tìm phương trình mặt phẳng (P) và tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta cần tìm điểm giao giữa mặt cầu (S) và đường thẳng Δ. Đầu tiên, ta thay đổi phương trình đường thẳng Δ từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là: x = t y = 1 + t z = 1 + 2t

Tiếp theo, ta thay các giá trị x, y, z vào phương trình mặt cầu (S) để tìm điểm giao: (t)2 + (1 + t + 1)2 + (1 + 2t - 2)2 = 10 t2 + (t + 2)2 + (2t - 1)2 = 10 t2 + t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 - 10 = 0 6t2 + 4t - 5 = 0

Giải phương trình trên, ta tìm được t = 1/2 và t = -5/6. Thay t vào phương trình tham số của Δ, ta có các điểm giao là: Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Tiếp theo, ta tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm giao này. Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm: (x - x1)(y2 - y1) - (y - y1)(x2 - x1) = 0

Điểm giao thứ nhất: (1/2, 3/2, 5/2) Điểm giao thứ hai: (-5/6, 1/6, -1/6)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: (x - 1/2)((1/6) - (3/2)) - (y - 3/2)((-5/6) - (1/2)) + (z - 5/2)((-1/6) - (3/2)) = 0 -2x + 2y - z + 4 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -2x + 2y - z + 4 = 0.

Tiếp theo, để tính bán kính đường tròn giao tuyến, ta tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (P). Khoảng cách này chính bằng bán kính đường tròn giao tuyến.

Đặt điểm A là tâm mặt cầu (x0, y0, z0) = (0, -1, 2). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Thay các giá trị vào công thức, ta có: d = |(0)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) + 4| / sqrt((-2)^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 5 / sqrt(9) d = 5/3

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là 5/3.

Vậy đáp án đúng là: (P): -2x + 2y - z + 4 = 0; r = 5/3

Bình luận (0)
Thành Đạt
Xem chi tiết
meme
3 tháng 9 2023 lúc 8:03

Để tính cos(Δ1;Δ2), ta cần tìm vector chỉ phương của hai đường thẳng Δ1 và Δ2.

Vector chỉ phương của đường thẳng d là (1, t, 2) và vector chỉ phương của đường thẳng d' là (-1, 1, -2).

Để tìm vector chỉ phương của mặt phẳng (P), ta lấy vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, 1, -1).

Để hai đường thẳng Δ1 và Δ2 song song với mặt phẳng (P), ta có điều kiện là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 cũng phải song song với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vì vậy, ta cần tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 sao cho chúng song song với vector (1, 1, -1).

Ta có thể tìm vector chỉ phương của Δ1 và Δ2 bằng cách lấy tích vector của vector chỉ phương của d hoặc d' với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Tính tích vector của (1, t, 2) và (1, 1, -1): (1, t, 2) x (1, 1, -1) = (t-3, 3t+1, -t-1)

Tính tích vector của (-1, 1, -2) và (1, 1, -1): (-1, 1, -2) x (1, 1, -1) = (-1, -3, -2)

Hai vector trên là vector chỉ phương của Δ1 và Δ2. Để tính cos(Δ1;Δ2), ta sử dụng công thức:

cos(Δ1;Δ2) = (Δ1.Δ2) / (|Δ1|.|Δ2|)

Trong đó, Δ1.Δ2 là tích vô hướng của hai vector chỉ phương, |Δ1| và |Δ2| là độ dài của hai vector chỉ phương.

Tính tích vô hướng Δ1.Δ2: (t-3)(-1) + (3t+1)(-3) + (-t-1)(-2) = -t-3

Tính độ dài của Δ1: |Δ1| = √[(t-3)² + (3t+1)² + (-t-1)²] = √[11t² + 2t + 11]

Tính độ dài của Δ2: |Δ2| = √[(-1)² + (-3)² + (-2)²] = √[14]

Vậy, cos(Δ1;Δ2) = (-t-3) / (√[11t² + 2t + 11] * √[14])

Để tính giá trị của cos(Δ1;Δ2), ta cần biết giá trị của t. Tuy nhiên, trong câu hỏi không cung cấp giá trị cụ thể của t nên không thể tính được giá trị chính xác của cos(Δ1;Δ2).

Bình luận (0)
Lalisa Manobal
Xem chi tiết
25. Pham Tuan Thanh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 3 2023 lúc 21:03

Từ pt ta thấy mặt câu có tâm \(I\left(0;0;3\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{10}\)

Bình luận (0)
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 3 2023 lúc 17:33

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;2;3\right)\) ; \(\overrightarrow{CD}=\left(1;1;1\right)\)

\(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right]=\left(-1;2;-1\right)=-\left(1;-2;1\right)\)

Phương trình (P):

\(1\left(x-1\right)-2y+1\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y+z-2=0\)

Bình luận (0)
Nguyễn Đắc Linh
6 tháng 3 2023 lúc 17:31

Để tìm phương trình mặt phẳng (P) ta cần tìm được vector pháp tuyến của mặt phẳng. Vì mặt phẳng (P) song song với đường thẳng AB nên vector pháp tuyến của (P) cũng vuông góc với vector chỉ phương của AB, tức là AB(1-0;2-0;4-1)=(1;2;3).

Vì (P) đi qua C(1;0;1) nên ta dễ dàng tìm được phương trình của (P) bằng cách sử dụng công thức phương trình mặt phẳng:

3x - 2y - z + d = 0, trong đó d là vế tự do.

Để tìm d, ta chỉ cần thay vào phương trình trên cặp tọa độ (x;y;z) của điểm C(1;0;1):

3(1) -2(0) - (1) + d = 0

⇒ d = -2

Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:

3x - 2y - z - 2 = 0,

và đáp án là B.

Bình luận (0)
Phạm Phúc Nguyên
9 tháng 3 2023 lúc 22:11

→AB=(1;2;3)��→=(1;2;3) ; −−→CD=(1;1;1)��→=(1;1;1)

[−−→AB;−−→CD]=(−1;2;−1)=−(1;−2;1)[��→;��→]=(−1;2;−1)=−(1;−2;1)

Phương trình (P):

1(x−1)−2y+1(z−1)=0⇔x−2y+z−2=0

Bình luận (0)
minh trinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 3 2023 lúc 15:02

\(\overrightarrow{OA}=\left(1;0;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{OB}=\left(1;-1;2\right)\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]\right|=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

Bình luận (0)
Phạm Phúc Nguyên
9 tháng 3 2023 lúc 22:12

c

Bình luận (0)
minh trinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 3 2023 lúc 15:05

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;2;3\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-3;3;3\right)\) ; \(\overrightarrow{AD}=\left(-1;3;1\right)\)

\(V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\right|=4\)

Bình luận (0)