Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. - Hỏi đáp

Phương trình tham số d1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3+3t\\z=2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tham số d2: \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+6t'\\y=4t'\\z=5-5t'\end{matrix}\right.\)

Gọi (Q) là mặt phẳng song song (P) và cách (P) 1 khoảng bằng 2 \(\Rightarrow\) pt có dạng \(x-2y-2z-d=0\) (\(d\ne1\))

Gọi \(A\left(d;0;0\right)\) là 1 điểm thuộc (Q)

\(d\left(A;\left(P\right)\right)=2\Leftrightarrow\frac{\left|d+1\right|}{\sqrt{1+4+4}}=2\Leftrightarrow\left|d+1\right|=6\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=5\\d=-7\end{matrix}\right.\)

Có 2 mp (Q) thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x-2y-2z-5=0\\x-2y-2z+7=0\end{matrix}\right.\)

M là giao điểm (Q) và d1 nên tọa độ M là ...

N là giao điểm (Q) và d2 nên tọa độ N là ...

Phương trình dạng tham số của d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=1-t\\z=2t\end{matrix}\right.\)

Do \(M\in d\) nên tọa độ thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a=-1+2t\\b=1-t\\z=2t\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(a+1\right)^2+b^2+c^2=\left(-1+2t+1\right)^2+\left(1-t\right)^2+4t^2\)

\(=9t^2-2t+1=9\left(t-\frac{1}{9}\right)^2+\frac{8}{9}\ge\frac{1}{9}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(t=\frac{1}{9}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{7}{9}\\b=\frac{8}{9}\\c=\frac{2}{9}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=0\)

Phương trình tham số \(d_1\) : \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-t\\y=2+2t\\z=3t\end{matrix}\right.\)

Giả sử đường thẳng cần tìm là d lần lượt cắt d1 tại A và d2 tại B

Do A thuộc d1 nên tọa độ có dạng: \(A\left(1-a;2+2a;3a\right)\)

B thuộc d2 nên tọa độ có dạng: \(B\left(1+b;3-2b;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(a+b;1-2a-2b;1-3a\right)\)

AB vuông góc d1;d2 nên tích vô hướng của \(\overrightarrow{AB}\) với vtcp của d1 và d2 đều bằng 0:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\left(a+b\right)+2\left(1-2a-2b\right)+3\left(1-3a\right)=0\\1\left(a+b\right)-2\left(1-2a-2b\right)+0\left(1-3a\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}14a+5b=5\\5a+5b=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{3}\\b=\frac{1}{15}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{2}{3};\frac{8}{3};1\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(\frac{2}{5};\frac{6}{5};0\right)=\frac{2}{5}\left(1;3;0\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{2}{3}+t\\y=\frac{8}{3}+3t\\z=1\end{matrix}\right.\)

14.

\(d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2.2+2-8\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+\left(-2\right)^2}}=3\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(R=\sqrt{4^2+d^2\left(I;\left(P\right)\right)}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)

Phương trình mặt cầu:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+1\right)^2=25\)

15.

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;1;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-12;6;0\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(12;24;24\right)=12\left(1;2;2\right)\)

\(\Rightarrow\) Mặt phẳng (ABC) nhận \(\left(1;2;2\right)\) là 1 vtpt

18.

\(D\in Ox\Rightarrow D\left(a;0;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\left(a-3;4;0\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(4;0;-3\right)\end{matrix}\right.\)

\(AD=BC\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2+4^2=4^2+\left(-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}D\left(0;0;0\right)\\D\left(6;0;0\right)\end{matrix}\right.\)

11.

Mặt cầu (S) tâm \(I\left(1;-2;0\right)\) bán kính \(R=\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2-\left(-4\right)}=3\)

\(d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2-0+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{3}\)

Gọi bán kính đường tròn (C) là \(r\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(r=\sqrt{R^2-d^2\left(I;\left(P\right)\right)}=\sqrt{6}\)

Diện tích đường tròn: \(S=\pi r^2=6\pi\)

Mặt cầu tâm \(I\left(2;1;1\right)\) bán kính \(R=3\)

Xét mặt phẳng (P) chứa M có phương trình: \(x+2y+2z-A=0\)

Ta cần tìm A nhỏ nhất sao cho (P) cắt (S) tại ít nhất 1 điểm

\(\Rightarrow d\left(I;\left(P\right)\right)\le R\Leftrightarrow\frac{\left|2+2+2-A\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\le3\)

\(\Leftrightarrow\left|A-6\right|\le9\Rightarrow-9\le A-6\le9\Rightarrow-3\le A\le15\)

\(\Rightarrow A_{min}=-3\Rightarrow\) phương trình (P): \(x+2y+2z+3=0\)

Pt đường thẳng d qua I và vuông góc (P): \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)

M là giao điểm (P) và d nên tọa độ thỏa mãn:

\(2+t+2\left(1+2t\right)+2\left(1+2t\right)+3=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left(1;-1;-1\right)\)

\(\Rightarrow x+y+z=-1\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;-4;2\right)\)

\(\overrightarrow{AM}=\left(x-2;y+1;-4\right)\)

Để 3 điểm thẳng hàng

\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{-4}{2}=-2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2.3+2=-4\\y=-4.\left(-2\right)-1=7\end{matrix}\right.\)

Trắc nghiệm: thay tọa độ B vào 4 đáp án chỉ có duy nhất đáp án A thỏa mãn => chọn A

Tự luận:

\(\overrightarrow{BA}=\left(1;0;1\right)\) , \(M\left(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm AB

Mặt phẳng trung trực AB có pt:

\(1\left(x-\frac{3}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+z-2=0\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(0;1;1\right)\) ; \(N\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\) là trung điểm BC

Pt mp trung trực của BC:

\(1\left(y-\frac{1}{2}\right)+1\left(z-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y+z-1=0\)

Tâm I của mặt cầu thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x+z-2=0\\y+z-1=0\\x+y+z-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;0;1\right)\)

\(\overrightarrow{BI}=\left(0;0;1\right)\Rightarrow R=BI=1\)

Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+y^2+\left(z-1\right)^2=1\)

Mặt cầu tâm \(I\left(3;-2;1\right)\)

Mặt phẳng (P) nhận \(\left(1;2;2\right)\) là 1 vtpt

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P) \(\Rightarrow\) M là giao điểm của d với mặt cầu (giao điểm nằm giữa I và H với H là giao của d và (P))

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-2+2t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\)

H là giao d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:

\(3+t+2\left(-2+2t\right)+2\left(1+2t\right)+11=0\Rightarrow t=-\frac{4}{3}\) \(\Rightarrow H\left(\frac{5}{3};-\frac{14}{3};-\frac{5}{3}\right)\)

M là giao d và (S) nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left(3+t\right)^2+\left(-2+2t\right)^2+\left(1+2t\right)^2-6\left(3+t\right)+4\left(-2+2t\right)-2\left(1+2t\right)+5=0\)

\(\Leftrightarrow9t^2-9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(4;0;3\right)\\M\left(2;-4;-1\right)\end{matrix}\right.\)

M nằm giữa I và H nên \(M\left(2;-4;-1\right)\) là điểm cần tìm

\(\overrightarrow{PQ}=\left(-1;-1;4\right)\)

\(\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(3;2;-1\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{PQ};\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(-7;11;1\right)\)

\(\Rightarrow\) Mặt phẳng \(\left(\Delta\right)\) nhận \(\left(-7;11;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình:

\(-7\left(x-2\right)+11\left(y-0\right)+1\left(z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-7x+11y+z+15=0\)

\(\overrightarrow{PQ}=\left(-1;-1;2\right)\)

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{n}=\left(3;2;-1\right)\) là 1 vtpt

\(\left[\overrightarrow{PQ};\overrightarrow{n}\right]=\left(-3;5;1\right)\)

\(\Rightarrow\) Vtpt của \(\left(\Delta\right)\) phải có dạng \(k\left(-3;5;1\right)\) nên cả 4 đáp án đều ko đúng

Bạn coi lại đề bài (tọa độ P; Q và pt (P), chắc bạn nhầm số liệu chỗ nào đó)

Lấy \(A\left(6;0;0\right)\) là 1 điểm thuộc (P)

\(\Rightarrow d\left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=d\left(A;\left(Q\right)\right)=\frac{\left|6+2.0-2.0+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}=3\)

Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống (ABC)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;-6;0\right)=3\left(1;-2;0\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(5;3;3\right)\)

\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(-6;-3;13\right)=-1\left(6;3;-13\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng SH nhận \(\left(6;3;-13\right)\) là 1 vtcp

Phương trình SH: \(\frac{x-3}{6}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-6}{-13}\)

Gọi \(M\left(x;y;0\right)\) \(\Rightarrow OM^2=x^2+y^2\)

\(d^2\left(M;\left(\alpha\right)\right)=\frac{\left(x+2y+4\right)^2}{9}\) ; \(d^2\left(M;\left(\beta\right)\right)=\frac{\left(2x-2y-13\right)^2}{9}\)

\(\left(x+2y+4\right)^2=\left(2x-2y-13\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2y+4=2x-2y-13\\x+2y+4=-2x+2y+13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4y+17\\3x=9\Rightarrow x=3\end{matrix}\right.\)

Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\x^2+y^2=\frac{\left(x+2y+4\right)^2}{9}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\9y^2+81=4y^2+28y+49\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\5y^2-28y+32=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(3;4;0\right)\\M\left(3;\frac{8}{5};0\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4y+17\\x^2+y^2=\frac{\left(x+2y+4\right)^2}{9}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4y+17\\\left(4y+17\right)^2+y^2=\left(2y+7\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4y+17\\13y^2+108y+240=0\end{matrix}\right.\) (vô nghiệm)

Bạn kiểm tra lại tính toán

Lời giải:

Bạn sử dụng công thức tính thể tích hình chóp thông thường thôi. Ta có:

\(\overrightarrow {OA}=(1,2,4); \overrightarrow {OB}=(3,0,0); \overrightarrow {OC}=(0,4,0)\)

\(V_{OABC}=\frac{1}{6}|\overrightarrow {OA}[\overrightarrow {OB}; \overrightarrow {OC}]|=8\)