Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hỏi đáp

\(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

= \(\dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}\)

= \(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

= \(-\sqrt{1}+\sqrt{100}\) = \(-1+10\) = \(9\)

G(2;1;-1) là tọa độ trọng tâm của tam giác

Lời giải:
Gọi tọa độ của điểm $A'$ là $(a,b,c)$

Vì $A'B'C'D'$ là hình bình hành nên theo tính chất hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{A'C'}\)

Mà: \(\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{AD}\) nên:

\(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

\(\Leftrightarrow (-2-a,1-b,1-c)+(6,3,3)=(7,0,-1)\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2-a+6=7\\ 1-b+3=0\\ 1-c+3=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3\\ b=4\\ c=5\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ điểm A' là (-3,4,5)

Lời giải:

Chọn điểm $I$ sao cho \(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=0\)

\(\Leftrightarrow (1-x_I, 2-y_I, 1-z_I)-2(2-x_I, -1-y_I, 3-z_I)=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x_I-2(2-x_I)=0\\ 2-y_I-2(-1-y_I)=0\\ 1-z_I-2(3-z_I)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow I(3,-4, 5)\)

Có:

\(MA^2-2MB^2=(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow{IA})^2-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2\)

\(=-MI^2+IA^2-2IB^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB})\)

\(=-MI^2+IA^2-2IB^2\)

Do đó để \(MA^2-2MB^2\) max thì \(MI^2\) min. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống mặt phẳng $Oxy$

Gọi d là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với (Oxy)

Khi đó: \(d:\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-4\\ z=5+t\end{matrix}\right.\)

$M$ thuộc d và $(Oxy)$ thì ta có thể suy ra ngay đáp án D

sao cho cái j có gtri nhỏ nhất v

tọa độ điểm M thỏa mãn j v

M∈ (S) : (x₀ - 2)² + (y₀-1)² +(z₀-1)² =9.

A=x₀+2y₀+2z₀=(x₀-2)+2(y₀-1)+2(z₀-1)+6

Dùng BĐT bunhiacopski

[(x₀-2)+2(y₀-1)+2(z₀-1)]² ≤ (1+4+4).[(x₀ - 2)² + (y₀-1)² +(z₀-1)² ]

≤ 81

-9 ≤ (x₀-2)+2(y₀-1)+2(z₀-1) ≤ 9.

-3 ≤ A ≤ 12. vậy GTNN của A = -3.

Dấu bằng xảy ra khi :

x₀+2y₀+2z₀ = -3

và \(\dfrac{x0-2}{1}=\dfrac{y0-1}{1}=\dfrac{z0-1}{1}\)

Giải hệ được x₀=1, y₀=z₀=-1. Suy ra: x₀+y₀+z₀ = -1

Đáp số: \(\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Ta thấy \(AB\) song song với \(CD\) nên \(AB\)song song với mặt phẳng \(\left(SCD\right)\), do đó khoảng cách từ B đến mp (SCD) bằng khoảng cách từ E (trung điểm AB) tới mp (SCD). Gọi F là trung điểm của CD thì dễ thấy CD vuông góc với mp (SEF), do đó đường cao EH của tam giác SEF cũng vuông góc với mp (SCD) và bằng khoảng cách cần tìm.

Trong tam giác đều SAB cạnh a, đường cao \(SE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Trong tam giác vuông SEF ta có

\(\dfrac{1}{EH^2}=\dfrac{1}{SE^2}+\dfrac{1}{EF^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}+\dfrac{1}{a^2}\)

\(\Rightarrow EH^2=\dfrac{3a^2}{7}\Rightarrow EH=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)