Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

^{đặt x =tant} 

là xong trong 1 nốt nhạc

Tách sin^2 = 1-cos^2=(1-cos)(1+cos)

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số, đưa về thế này

1/cos +1/2(1-cos) -1/2(1+cos)

Mình giải đến đây thì chịu  

Cám ơn nhiều :)

55555555555555555555555

\(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x\sin x}{1+\sin 2x}dx\\ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x\cos x}{1+\sin 2x}dx\)

\(\Rightarrow I-J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\dfrac{e^x}{\sin x+\cos x}\Big|_0^\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{e^x}{\sin x+\cos x}dx\)

Suy ra

\(I-J=e^{\frac{\pi}{2}}-1-(I+J)\Rightarrow I=\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}\)

Vui lòng Nguyễn Thành Đồng xem đề lại giúp mình nhé!

\(=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{x^2}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)\)

\(=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{x^2+1}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)\)

\(=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(x^2+1)^2}d(x^2+1)-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)\)

\(=-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{(x^2+1)^2}\)

\(\int e^{2x}.sin^2xdx\).

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sin^2x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2sinxcosxdx=sin2xdx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\).

\(\Rightarrow\) \(\int e^{2x}.sin^2xdx=\dfrac{e^{2x}.sin^2x}{2}-\dfrac{1}{2}\int e^{2x}.sin2xdx\) (1).

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sin2x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2cos2xdx=2\left(1-2sin^2x\right)dx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\).

\(\Rightarrow\) \(\int e^{2x}.sin2xdx=\dfrac{1}{2}e^{2x}.sin2x-\int e^{2x}.\left(1-2sin^2x\right)dx=\dfrac{e^{2x}.sin2x-e^{2x}}{2}+2\int e^{2x}.sin^2xdx\) (2).

Thế (2) và (1), ta suy ra:

\(\int e^{2x}.sin^2xdx=\dfrac{1}{8}e^{2x}.\left(2sin^2x-sin2x+1\right)+C\).

Đặt $t=e^x$ thì $dt=e^xdx$ nên $dx=\dfrac{1}{t}dt$

\(I=\int_2^3 \dfrac{1}{t(t-1)}dt=\int_2^3 \left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\ln|t-1|\Big|_2^3-\ln |t|\Big|_2^3=2\ln2-\ln3\)

\(I=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.cos^3 xdx=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x.(1-\sin^2 x)d(\sin x)=\dfrac{\sin^3 x}{3}\Big|_0^{\pi/2}-\dfrac{\sin^5 x}{5}\Big|_0^{\pi/2}=\dfrac{2}{15}\)

Do đó diện tích hình phẳng là $S=|I|=\dfrac{2}{15}$

a) Đặt \(u=x^2\); \(dv=2^xdx\). Khi đó \(du=2xdx\)  ; \(v=\int2^xdx=\frac{2^x}{\ln2}\)  và  \(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2}{\ln2}\int x2^xdx\)

Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho tích phân ở vế phải bằng cách đặt :

\(u=x\)  ; \(dv=2^xdx\)   và thu được  \(du=dx\)    ; \(v=\frac{2^x}{\ln2}\)   Do đó

\(I_1=x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{1}{\ln2}\int2^xdx\right]\)

    = \(x^2\frac{2^x}{\ln_{ }2}-\frac{2}{\ln2}\left[x\frac{2^x}{\ln2}-\frac{2^x}{\ln^22}\right]+C\)  = \(\left(x^2-\frac{2}{\ln2}x+\frac{2}{\ln^22}\right)\frac{2^x}{\ln2}+C\)

b) Đặt \(u=x^2\); \(dv=e^{3x}dx\)

Khi đó \(du=2xdx\)    ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^{3x}d\left(3x\right)=\frac{1}{3}e^{ex}\)

Do đó:

\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int xe^{3x}dx\)  (a)

Lại áp dụng phép lấy nguyên hàm từng phần cho nguyên hàm ở vế phải. Ta đặt \(u=x\)  ; \(dv=e^{3x}dx\)

Khi đó  \(du=dx\)  ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\)  và 

\(\int xe^{ex}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\)

Thế kết quả thu được vào (a) ta có :

\(I_2=\frac{x^2}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\left(\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}\right)+C=\frac{e^{3x}}{27}\left(9x^2-6x+2\right)+C\)

c) Đặt \(u=x^2-6x+2\); \(dv=e^{3x}dx\)   

Khi đó \(du=\left(2x-6\right)dx\)   ; \(v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}\)

Do đó :

\(I_3=\frac{e^{3x}}{3}\left(x^2-6x+2\right)-\frac{2}{3}\int e^{3x}\left(x-3\right)dx\) 

Đặt \(\int e^{3x}\left(x-3\right)dx=I'_3\)

Ta có \(\frac{e^{3x}}{3}\left(x^2-6x+2\right)-\frac{2}{3}I'_3\)(a)

Ta lại áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần cho \(\int e^{3x}\left(x-3\right)dx\). 

Đặt \(u=x-3\)  ; \(dv=e^{3x}dx\)

Khi đó   \(du=dx\); \(v=\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}\)

Vậy \(I'_3=\frac{e^{3x}}{3}\left(x-3\right)-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{e^{3x}}{3}\left(x-3\right)-\frac{1}{9}e^{3x}\)

Thế \(I'_3\)  vào (a)  ta thu được 

\(I_3=e^{3x}\left(\frac{x^2}{3}-\frac{20}{9}x+\frac{38}{27}\right)+C\)