Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

\(\dfrac{\left(X-1\right)}{X^2+4x+3}\)=\(\dfrac{x-1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\)(1)

mode > 5 > 1

nhập hệ số :quy tắc ( nhập cái thừa số cuối cùng của mẫu > tới thừa số thứ đầu của mẫu >nhập tử )

pt thứ nhất nhập hệ số của x

pt thứ 2 nhập hệ số của\(x^0\)

sẽ như thế này

kq :=-1

=2

vậy(1)= \(\dfrac{-1}{x+1}+\dfrac{2}{x+3}\)

xong rồi đó còn lại tự tính

Lời giải:

Xét \(\int \frac{x-1}{x^2+4x+3}dx\)

\(=\int \frac{x-1}{(x+1)(x+3)}dx=\frac{1}{2}\int (x-1)\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}\right)dx\)

\(=\frac{1}{2}\int \frac{x-1}{x+1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{x-1}{x+3}dx\)

\(=\frac{1}{2}\int (1-\frac{2}{x+1})dx-\frac{1}{2}\int (1-\frac{4}{x+3})dx\)

\(=\int \frac{2}{x+3}dx-\int \frac{dx}{x+1}=\int \frac{2d(x+3)}{x+3}-\int \frac{d(x+1)}{x+1}\)

\(=2\ln |x+3|-\ln |x+1|+c\)

\(\Rightarrow K=\int ^{2}_{0}\frac{x-1}{x^2+4x+3}dx=2\ln 5-\ln 3-(2\ln 3-0)\)

\(=2\ln 5-\ln 3-2\ln 3\)

Lời giải:

Ta có:

\(P=\int \frac{2xdx}{(x+1)(x^2+1)^2}=\int \frac{2x(x-1)dx}{(x^2-1)(x^2+1)^2}\)

\(=\int \frac{x(x-1)}{x^2+1}\left(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+1}\right)dx\)

\(=\int \frac{x(x-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}dx-\int \frac{x(x-1)}{(x^2+1)^2}dx=M-N\)

Xét M

\(M=\int \frac{x(x-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}dx=\int \frac{x(x-1)}{2}\left(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+1}\right)dx\)

\(=\int \frac{x}{2(x+1)}dx-\int \frac{x(x-1)}{2(x^2+1)}dx\)

\(=\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{x+1})dx-\frac{1}{2}\int (1-\frac{x+1}{x^2+1})dx\)

\(=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int \frac{d(x+1)}{x+1}-\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \frac{(x+1)dx}{x^2+1}\)

\(=-\frac{1}{2}\ln |x+1|+\frac{1}{2}\int \frac{(x+1)dx}{x^2+1}\)

Xét N

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x-1\\ dv=\frac{xdx}{(x^2+1)^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int \frac{xdx}{(x^2+1)^2}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-1}{2(x^2+1)}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow N=\frac{1-x}{2(x^2+1)}+\int \frac{1}{2(x^2+1)}dx\)

Do đó: \(P=M-N=-\frac{1}{2}\ln |x+1|+\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{x^2+1}\)

\(=\frac{-1}{2}\ln |x+1|+\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{4}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\)

\(=\frac{-1}{2}\ln |x+1|+\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{4}\ln |x^2+1|+c\)

không tăng có nghĩa là giảm dần á bạn

Câu 1:

\(A=\int \frac{2\sin x+\cos x}{3\sin x+2\cos x}dx\)

\(A=\int \frac{\frac{8}{13}(3\sin x+2\cos x)-\frac{1}{13}(3\cos x-2\sin x)}{3\sin x+2\cos x}dx\)

\(A=\frac{8}{13}\int dx-\frac{1}{13}\int \frac{(3\cos x-2\sin x)dx}{3\sin x+2\cos x}\)

\(A=\frac{8}{13}x-\frac{1}{13}\int \frac{d(3\sin x+2\cos x)}{3\sin x+2\cos x}\)

\(A=\frac{8}{13}x-\frac{1}{13}\ln |3\sin x+2\cos x|+c\)

Câu 2:

Ta có: \(I=\int \frac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx=\int \frac{x^3}{(x^2+1)(x^2+2)}dx\)

\(=\int x^3\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2}\right)dx=\int \frac{x^3dx}{x^2+1}-\int \frac{x^3}{x^2+2}dx\)

\(=\frac{1}{2}\int \frac{x^2d(x^2+1)}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int \frac{x^2d(x^2+2)}{x^2+2}\)

\(=\frac{1}{2}\int \left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)d(x^2+1)-\frac{1}{2}\int \left(1-\frac{2}{x^2+2}\right)d(x^2+2)\)

\(=\frac{1}{2}\int d(x^2+1)-\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int d(x^2+2)+\int \frac{d(x^2+2)}{x^2+2}\)

\(=\frac{x^2+1}{2}-\frac{1}{2}\ln |x^2+1|-\frac{x^2+2}{2}+\ln |x^2+2|+c\)

\(=\ln |x^2+2|-\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+c\)

Lời giải:

Ta có : \(10=\int ^{3}_{1}f(2x)dx=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}f(2x)d(2x)=\frac{1}{2}\int ^{6}_{2}f(x)dx\)

\(\Rightarrow \int ^{6}_{2}f(x)d(x)=20\)

Mà \(\int ^{2}_{0}f(x)dx=-5\Rightarrow \int ^{6}_{0}f(x)dx=15\)

Do đó mà \(\int ^{2}_{0}f(3x)dx=\frac{1}{3}\int ^{2}_{0}f(3x)d(3x)=\frac{1}{3}\int ^{6}_{0}f(x)dx=5\)

làm sao mà vẽ được

𝙁𝙊𝙍

⊂_ヽ 𝙔𝙊𝙐

      ＼＼ Λ＿Λ

          ＼( ˇωˇ)

              > ⌒ヽ

            / へ＼

         / / ＼＼𝙋𝘼𝙂𝙀

       ﾚ ノ ヽ_つ

     / /

    ( (ヽ

    | |、＼

    | 丿 ＼ ⌒)

    | | ) /

ノ ) Lﾉ

(_／ 

Đây ạ

Thay t = 5s vào pt vận tốc ta được: \(v=7.5=35(m/s)\)

Áp dụng công thức độc lập trong chuyển động biến đổi đều:

\(v^2-v_0^2=2aS\)

\(\Rightarrow 0^2-35^2=2.(-70)S\)

\(\Rightarrow S = 8,75m\)

Akai Haruma giúp mình với

Câu a)

\(I=\int ^{1}_{0}\frac{x(e^x+1)+1}{e^x+1}dx=\int ^{1}_{0}xdx+\int ^{1}_{0}\frac{dx}{e^x+1}\)

\(=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^2}{2}+\int ^{1}_{0}\frac{d(e^x)}{e^x(e^x+1)}=\frac{1}{2}+\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\ln\left | \frac{e^x}{e^x+1} \right |\)

\(\Leftrightarrow I=\frac{3}{2}+\ln 2-\ln (e+1)\)

Câu d)

\(I=\int ^{e}_{1}\ln(x+1)d(x)=\int ^{e}_{1}\ln (x+1)d(x+1)\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln (x+1)\\ dv=d(x+1)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{d(x+1)}{x+1}\\ v=x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|(x+1)\ln (x+1)-\int ^{e}_{1}d(x+1)\)

\(=(e+1)\ln \left ( \frac{e+1}{e} \right )-2\ln \left (\frac{2}{e}\right )\)

Câu b)

Đặt \(\tan \frac{x}{2}=t\). Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} dt=d\left ( \tan \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{2\cos ^2\frac{x}{2}}dx=\frac{t^2+1}{2}dx\rightarrow dx=\frac{2dt}{t^2+1}\\\ \cos x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)

\( I=\underbrace{\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1}{1+\cos x}dx}_{A}+\underbrace{\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{d(\cos x)}{\cos x+1}}_{B}\)

Có \(B=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{d(\cos x+1)}{\cos x+1}=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|\ln |\cos x+1|=-\ln 2\)

\(A=\int ^{1}_{0}\frac{2dt}{(t^2+1)\frac{2}{t^2+1}}=\int ^{1}_{0}dt=1\)

\(\Rightarrow I=A+B=1-\ln 2\)

Câu c)

Xét \(I=\underbrace{\int ^{2}_{1}\frac{\ln xdx}{x}}_{A}-\underbrace{\int ^{2}_{1}\frac{\ln xdx}{x^2}}_{B}\)

Có \( A=\int ^{2}_{1}\ln xd(\ln x)=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\frac{\ln ^2 x}{2}=\frac{\ln ^2 2}{2}\)

Với \(B\) đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=\frac{dx}{x^2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{-1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\frac{-\ln x}{x}+\int ^{2}_{1}\frac{dx}{x^2}=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|\left ( \frac{-\ln x}{x}-\frac{1}{x} \right )=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}\)

\(\Rightarrow I=A-B=\frac{\ln ^2 2+\ln 2-1}{2}\)