Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Dễ ợt, bạn làm như sau nhé :

= \(=\left(me^x\frac{2a^x}{lna}+\frac{1}{ln3}\left(xlnx-x\right)+cos2x+\frac{3^{ }}{4^{ }}sin4x+C\right)\)

Bạn Thu Hà ơi. bạn giúp mình giải tiếp với nhé. Mình bí rồi  

Đặt  ;
 ;
Khi đó tích phân 

Sao vậy bạn, giúp mình với 

bạn chỉ cần tách x⁴-1  ​thành (x²-1)(x²+1),rồi đặt x²=t là ok

\(\frac{1}{12}\)

dễ lắm chỉ cần dùng casio fx-570VN PLUS

^{đặt x =tant} 

là xong trong 1 nốt nhạc

Tách sin^2 = 1-cos^2=(1-cos)(1+cos)

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số, đưa về thế này

1/cos +1/2(1-cos) -1/2(1+cos)

Mình giải đến đây thì chịu  

Cám ơn nhiều :)

55555555555555555555555

\(I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x\sin x}{1+\sin 2x}dx\\ J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x\cos x}{1+\sin 2x}dx\)

\(\Rightarrow I-J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\dfrac{e^x}{\sin x+\cos x}\Big|_0^\frac{\pi}{2}-\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{e^x}{\sin x+\cos x}dx\)

Suy ra

\(I-J=e^{\frac{\pi}{2}}-1-(I+J)\Rightarrow I=\dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}\)

Vui lòng Nguyễn Thành Đồng xem đề lại giúp mình nhé!

\(=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{x^2}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)\)

\(=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{x^2+1}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)\)

\(=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(x^2+1)^2}d(x^2+1)-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{(x^2+1)^3}d(x^2+1)\)

\(=-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{(x^2+1)^2}\)

\(\int e^{2x}.sin^2xdx\).

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sin^2x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2sinxcosxdx=sin2xdx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\).

\(\Rightarrow\) \(\int e^{2x}.sin^2xdx=\dfrac{e^{2x}.sin^2x}{2}-\dfrac{1}{2}\int e^{2x}.sin2xdx\) (1).

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=sin2x\\dv=e^{2x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2cos2xdx=2\left(1-2sin^2x\right)dx\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\).

\(\Rightarrow\) \(\int e^{2x}.sin2xdx=\dfrac{1}{2}e^{2x}.sin2x-\int e^{2x}.\left(1-2sin^2x\right)dx=\dfrac{e^{2x}.sin2x-e^{2x}}{2}+2\int e^{2x}.sin^2xdx\) (2).

Thế (2) và (1), ta suy ra:

\(\int e^{2x}.sin^2xdx=\dfrac{1}{8}e^{2x}.\left(2sin^2x-sin2x+1\right)+C\).

Đặt $t=e^x$ thì $dt=e^xdx$ nên $dx=\dfrac{1}{t}dt$

\(I=\int_2^3 \dfrac{1}{t(t-1)}dt=\int_2^3 \left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\ln|t-1|\Big|_2^3-\ln |t|\Big|_2^3=2\ln2-\ln3\)