Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
17 giờ trước (11:00)

\(I=\int e^xcos2xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=cos2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=\dfrac{1}{2}sin2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x-\dfrac{1}{2}\int e^xsin2xdx\)

Xét \(I_1=\int e^xsin2xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=sin2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=-\dfrac{1}{2}cos2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}\int e^xcos2xdx=-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}I\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{4}I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x+\dfrac{1}{4}e^xcos2x+C\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{5}e^xsin2x+\dfrac{1}{5}e^xcos2x+C\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
19 tháng 1 lúc 1:06

Lời giải:

Đặt \(u=\ln (x+\sqrt{x^2+1}); dv=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

\(\Rightarrow du=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}; v=\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow \int \frac{x\ln (x+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int udv=uv-vdu=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\int dx\)

\(=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-x+C\)

 

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
14 tháng 1 lúc 7:46

Hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right).e^2\)  hay \(\left(x^2-3x+3\right)e^x\) bạn?

Nếu hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right)e^2\) thì đơn giản là bạn khảo sát như khảo sát hàm \(g\left(x\right)=x^2-3x+3\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
14 tháng 1 lúc 7:43

Trước hết ta xét: \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{x+a}=\left(x+a\right)^{-1}\) với a là hằng số bất kì

\(g'\left(x\right)=-1.\left(x+a\right)^{-2}=\left(-1\right)^1.1!.\left(x+a\right)^{-\left(1+1\right)}\) 

\(g''\left(x\right)=-1.\left(-2\right).\left(x+a\right)^{-3}=\left(-1\right)^2.2!.\left(x+a\right)^{-\left(2+1\right)}\)

Từ đó ta dễ dàng tổng quát được:

 \(g^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^n.n!.\left(x+a\right)^{-\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x+a\right)^{n+1}}\)

Xét: \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=-\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x+2}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Áp dụng công thức trên ta được:

\(f^{\left(30\right)}\left(1\right)=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{1^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1+2\right)^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1-2\right)^{31}}\)

Bạn tự rút gọn kết quả nhé

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
14 tháng 1 lúc 7:13

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3}-4x\) hay \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3-4x}\) bạn?

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
2 tháng 12 2020 lúc 16:14

\(I_1=\int\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)^2dx=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+cos^22x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x\right)+C\)

\(I_2=\int\left(\frac{1+cos6x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}sin6x+C\)

\(I_3=\int sin^2x.cos^2x.sinxdx=-\int\left(1-cos^2x\right)cos^2x.d\left(cosx\right)\)

\(=\int\left(cos^4x-cos^2x\right)d\left(cosx\right)=\frac{1}{5}cos^5x-\frac{1}{3}cos^3x+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
2 tháng 12 2020 lúc 16:19

\(I_4=\int sin^2x.cos^4x.cosxdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)^2d\left(sinx\right)\)

\(=\int\left(sin^6x-2sin^4x+sin^2x\right)d\left(sinx\right)\)

\(=\frac{1}{7}sin^7x-\frac{2}{5}sin^5x+\frac{1}{3}sin^3x+C\)

(với câu kiểu như \(I_3;I_4\) nếu bạn chưa quen tính nguyên hàm trực tiếp theo kiểu đưa hàm vào vi phân thì có thể qua 1 bước phụ đặt \(sinx=t\) khi đó nguyên hàm trở thành \(\int\left(t^6-2t^4+t^2\right)dt=...\) rồi trả biến về x như bình thường)

\(I_5=\frac{1}{5}\int sin^35x.d\left(sin5x\right)=\frac{1}{20}sin^45x+C\)

\(I_6=\frac{1}{4}\int\left(2sin3x.cos3x\right)^2dx=\frac{1}{4}\int sin^26xdx\)

\(=\frac{1}{8}\int\left(1-cos12x\right)dx=\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{12}sin12x\right)+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
2 tháng 12 2020 lúc 16:26

\(I_7=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{cos^4x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{cos^2x}.\frac{dx}{cos^2x}\)

Đặt \(tanx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{cos^2x}dx=dt\\x=0\Rightarrow t=0\\x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=1\\\frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x=1+t^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_7=\int\limits^1_0\left(1+t^2\right)dt=\left(t+\frac{1}{3}t^3\right)|^1_0=\frac{4}{3}\)

\(I_8=\int\frac{cos^3x}{sin^3x}dx=\int\frac{cos^2x}{sin^3x}.cosxdx=\int\frac{1-sin^2x}{sin^3x}.cosxdx\)

Đặt \(sinx=t\Rightarrow cosx.dx=dt\)

\(I_8=\int\frac{1-t^2}{t^3}dt=\int\left(t^{-3}-\frac{1}{t}\right)dt=-\frac{1}{2t^2}-ln\left|t\right|+C\)

\(=-\frac{1}{2sin^2x}-ln\left|sinx\right|+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
2 tháng 12 2020 lúc 17:30

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{1}{x^3}\)

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=\frac{1}{x^3}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow-8=-8+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)f\left(x\right)=-\frac{1}{2x^2}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2}dx\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\frac{1}{2x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow2=2+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow m=\int\limits^{16}_1-\frac{1}{\frac{2x}{4}\sqrt{\frac{x}{4}}}dx=-6\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
2 tháng 12 2020 lúc 17:42

\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).f'\left(x\right)\right]'=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f\left(x\right).f'\left(x\right)=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{e}\Rightarrow3e=3e+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\int\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}dx=\frac{1}{2}\left(ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx\right)+C\)

Thay \(x=\frac{1}{e}\Rightarrow\frac{9}{2}=C\Rightarrow C=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow f^2\left(x\right)=ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9}\)

\(\Rightarrow m=f\left(e\right)-f\left(\frac{1}{e}\right)=1-3=-2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Huỳnh Bá Lộc
3 tháng 12 2020 lúc 21:28

Chỗ lấy nguyên hàm của \(\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\) bạn giải rõ giúp mình được không

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Trung tá -
3 tháng 12 2020 lúc 23:34

Không có cách nào nhanh được cả, chỉ có kiên nhẫn nguyên hàm từng phần thôi bạn

Sẽ tách ra và nguyên hàm từng phần lần lượt từ mũ to đến mũ nhỏ:

\(I=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\int\frac{-2ln^3x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=-2ln^3x\\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{-6ln^2x}{x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{2ln^3x}{x}-\int\frac{6ln^2x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\)

Tiếp tục tính cho bậc 2 cụm \(-\frac{6ln^2x}{x^2}+\frac{3ln^2x}{x^2}=-\frac{3ln^2x}{x^2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=-3ln^2x\\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{6lnx}{x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{3ln^2x}{x}-\int\frac{6lnx}{x^2}\)

Lại gom và tính tiếp phần \(\frac{lnx}{x^2}\) ...

Sau 4 lần tính như vậy sẽ ra kết quả thôi

Bình luận (0)

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN