Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Hỏi đáp

- Nguyên nhân quan trọng nhất: Áp dụng thành công những thành tựu của cuộc cách mạng khoa học - kĩ thuật hiện đại để nâng cao năng suất lao động, hạ giá thành sản phẩm, điều chỉnh hợp lý cơ cấu sản xuất.

- Vì có thành tựu khoa học kĩ thuật hiện đại thì mới có thể ứng dụng vào trong sản xuất công nghiệp để cho ra đời những máy móc hiện đại tân tiến, từ đó mới có thể nâng cao năng suất lao động, tăng sản lượng hàng hoá và chất lượng sản phẩm; giảm giá thành sản phẩm do chi phí sản xuất thấp làm tăng sức cạnh tranh trên thị trường, điều chỉnh hợp lí cơ cấu sản xuất.

\(I=\int cos\left(lnx\right)dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=cos\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{-sin\left(lnx\right)}{x}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.cos\left(lnx\right)+\int sin\left(lnx\right)dx=x.cos\left(lnx\right)+I_1\)

Xét \(I_1=\int sin\left(lnx\right)dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=sin\left(lnx\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=x.sin\left(lnx\right)-\int cos\left(lnx\right)dx=x.sin\left(lnx\right)-I\)

\(\Rightarrow I=x.cos\left(lnx\right)+x.sin\left(lnx\right)-I\Rightarrow2I=x.cos\left(lnx\right)+x.sin\left(lnx\right)\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{x}{2}\left(cos\left(lnx\right)+sin\left(lnx\right)\right)+C\)

\(I=\int cos2x.e^{3x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{3x}\\dv=cos2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3.e^{3x}dx\\v=\dfrac{1}{2}sin2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^{3x}.sin2x-\dfrac{3}{2}\int sin2x.e^{3x}dx=\dfrac{1}{2}e^{3x}.sin2x-\dfrac{3}{2}I_1\)

Xét \(I_1=\int sin2x.e^{3x}dx\) \(\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{3x}\\dv=sin2x.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3.e^{3x}dx\\v=\dfrac{-1}{2}cos2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=-\dfrac{1}{2}cos2x.e^{3x}+\dfrac{3}{2}\int cos2x.e^{3x}dx\) \(=-\dfrac{1}{2}cos2x.e^{3x}+\dfrac{3}{2}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^{3x}sin2x-\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{1}{2}e^{3x}cos2x+\dfrac{3}{2}I\right)\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^{3x}sin2x+\dfrac{3}{4}e^{3x}cos2x-\dfrac{9}{4}I\)

\(\Rightarrow\dfrac{13}{4}I=\dfrac{1}{2}e^{3x}sin2x+\dfrac{3}{4}e^{3x}cos2x\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{13}e^{3x}sin2x+\dfrac{3}{13}e^{3x}cos2x+C\)

Lời giải:

Xét PT hoành độ giao điểm:
\(x^4-x=0\)\(\Leftrightarrow x(x^3-1)=0\Leftrightarrow x(x-1)(x^2+x+1)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=1\end{matrix}\right.\)

Diện tích hình phẳng là:

\(S=\int ^{1}_{0}|x-x^4|dx=\int ^{1}_{0}(x-x^4)dx\)

\(=(\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{5})|\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right.=\frac{3}{10}\)(đvdt)

Bạn ghi rõ đề bài ra được không?

\(\int\limits^1_0\dfrac{2x+3}{2-x}dx=\int\limits^1_0\left(-2+\dfrac{7}{2-x}\right)dx=\left(-2x-7ln\left|2-x\right|\right)|^1_0=-2+7ln2\)\(\Rightarrow a=7;b=-2\)

Câu c
Đặt \(2x+1=t\Rightarrow x=\frac{t-1}{2}\)

Khi đó:

\(\int ^{\frac{1}{9}}_{0}\frac{x}{\sin ^2(2x+1)}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{11}{9}}_{0}\frac{t-1}{\sin ^2t}d(\frac{t-1}{2})=\frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt\)

Xét \(\int \frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\int \frac{t}{\sin ^2t}dt-\int \frac{dt}{\sin ^2t}=\int td(-\cot t)-(-\cot t)+c\)

\(=(-t\cot t+\int \cot tdt)+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\int \frac{\cos t}{\sin t}dt+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\int \frac{d(\sin t)}{\sin t}+\cot t+c\)

\(=-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c\)

\(\Rightarrow \frac{1}{4}\int ^{\frac{11}{9}}_{1}\frac{t-1}{\sin ^2t}dt=\frac{1}{4}(-t\cot t+\ln |\sin t|+\cot t+c)\left|\begin{matrix} \frac{11}{9}\\ 1\end{matrix}\right.\)

\(\approx 0,007\)

Câu a: Tích phân không thể tính được

Câu b:

Đặt \(\sqrt{x}=t\). Khi đó:

\(\int ^{\pi ^2}_{0}x\sin \sqrt{x}dx=\int ^{\pi}_{0}t^2\sin td(t^2)\) \(=2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt\)

Tính \(\int t^3\sin tdt\) bằng nguyên hàm từng phần:

\(\Rightarrow \int t^3\sin tdt=\int t^3d(-\cos t)=-t^3\cos t+\int \cos t d(t^3)\)

\(=-t^3\cos t+3\int t^2\cos tdt\)

\(=-t^3\cos t+3\int t^2d(\sin t)=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-\int \sin td(t^2))\)

\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int t\sin tdt)\)

\(=-t^3\cos t+3(t^2\sin t-2\int td(-cos t))\)

\(=-t^3\cos t+3[t^2\sin t-2(-t\cos t+\int \cos tdt)]\)

\(=-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c\)

\(\Rightarrow 2\int ^{\pi}_{0}t^3\sin tdt=2(-t^3\cos t+3t^2\sin t+6t\cos t-6\sin t+c)\left|\begin{matrix} \pi\\ 0\end{matrix}\right.\)

\(=2\pi ^3-12\pi \)

Tích phân này không thể tính được.

Lời giải:

Với những dạng như thế này bạn có thể thực hiện chia cả 2 vế cho $x^2$, sẽ ra những kết quả rất đẹp.

\(\int \frac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^2+\frac{1}{x^2}}\)

\(=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}=\int \frac{dt}{t^2-2}\) (đặt \(t=x+\frac{1}{x}\))

\(=\int \frac{dt}{(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \left(\frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln |t-\sqrt{2}|-\ln |t+\sqrt{2}|\right)+c\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+c=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+c\)

Cả hai đều đúng bạn nhé.

Lời giải:

Ta có:\(F(x)=\int (2x-3)\ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=(2x-3)dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\int (2x-3)dx=x^2-3x\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(F(x)=\int (2x-3)\ln xdx=(x^2-3x)\ln x-\int (x^2-3x).\frac{dx}{x}\)

\(=(x^2-3x)\ln x-\int (x-3)dx=(x^2-3x)\ln x-(\frac{x^2}{2}-3x)+c\)

Với \(x=1\)

\(F(1)=\frac{5}{2}+c=0\Rightarrow c=\frac{-5}{2}\)

Vậy \(F(x)=(x^2-3x)\ln x-\frac{x^2}{2}+3x-\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow 2F(x)+x^2-6x+5=2(x^2-3x)\ln x-x^2+6x-5+x^2-6x+5\)

\(=2(x^2-3x)\ln x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=3\\ x=1\end{matrix}\right.\)

Tức là pt có 3 nghiệm.