Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG - Hỏi đáp

\(f\left(x\right)=2019^x\left(x-2\right)^2\left(x+2\right)\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)\) có 2 cực trị tại \(x=-2\) và \(x=1\)

\(\int\limits^2_{-1}f\left(x\right)dx=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx+\int\limits^2_1f\left(x\right)dx=\int\limits^1_{-1}\left(x^2+b\right)dx+\int\limits^2_1\left(ax+1\right)dx\)

\(=\left(\frac{x^3}{3}+bx\right)|^1_{-1}+\left(\frac{ax^2}{2}+x\right)|^2_1=\frac{5}{3}+2b+\frac{3a}{2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(2+x^2\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{2x}{x^2+2}dx\\v=\frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{x^2}{2}.ln\left(2+x^2\right)|^1_0-\int\limits^1_0\frac{x^3}{x^2+2}dx=\frac{1}{2}ln3-I_1\)

\(I_1=\int\limits^1_0\frac{x^3}{x^2+2}dx=\int\limits^1_0\left(x-\frac{2x}{x^2+2}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-ln\left(x^2+2\right)\right)|^1_0=\frac{1}{2}-ln3+ln2\)

\(\Rightarrow I=\frac{3}{2}ln3-ln2-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow a+b+c=\frac{3}{2}-1-\frac{1}{2}=0\)

\(\int\limits^2_0x.f'\left(2x\right)dx\) thì tính được, còn \(\int\limits^4_0x.f'\left(2x\right)dx\) thì mình nghĩ thế này chưa đủ dữ liệu để tính

Có 2 cách làm, tính đạo hàm của \(F'\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\), hoặc tính nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(F\left(x\right)\), nhưng rõ ràng là tính đạo hàm dễ hơn tính nguyên hàm nhiều lần

\(F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)\sqrt{2x-3}+\frac{\left(ax^2+bx+c\right)}{\sqrt{2x-3}}\)

\(=\frac{\left(2ax+b\right)\left(2x-3\right)+ax^2+bx+c}{\sqrt{2x-3}}=\frac{5ax^2+\left(3b-6a\right)x+c-3b}{\sqrt{2x-3}}\)

Đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}5a=20\\3b-6a=-30\\c-3b=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-2\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=3\)

Chuỗi hàm lũy thừa

\(lim\sqrt[n]{a_n}=lim\sqrt[n]{\frac{1}{4^n\left(n^2+1\right)}}=\frac{1}{4}\Rightarrow R=4\)

\(\Rightarrow\) khoảng hội tụ \(-4< x+3< 4\Rightarrow-7< x< 1\)

Vậy khoảng hội tụ là \(\left(-7;1\right)\)

\(z'_x=cos\frac{y}{x}+\frac{y}{x}sin\frac{y}{x}\) ; \(z'_y=-sin\frac{y}{x}\)

\(\Rightarrow z''_{xx}=\frac{y}{x^2}sin\frac{y}{x}-\frac{y}{x^2}sin\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^3}cos\frac{y}{x}=-\frac{y^2}{x^3}cos\frac{y}{x}\)

\(z''_{xy}=z''_{yx}=\frac{y}{x^2}cos\frac{y}{x}\)

\(z''_{yy}=-\frac{1}{x}cos\frac{y}{x}\)

Chị @Akai Haruma, anh @Nguyễn Tùng Lâm giúp em với ạ

Khi \(x\rightarrow+\infty\Rightarrow\frac{x+4}{x^2+4}\sim\frac{x}{x^2}\sim\frac{1}{x}\)

Mà \(\int\limits^{+\infty}_2\frac{dx}{x}\) phân kỳ nên tích phân đã cho phân kỳ

\(\left\{{}\begin{matrix}z'_x=y-2=0\\z'_y=4y^2+x-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=-11\end{matrix}\right.\)

Xét tại \(\left(-11;2\right)\)có: \(\left\{{}\begin{matrix}A=z''_{xx}=0\\B=z''_{xy}=1\\C=z''_{yy}=8y=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C>0\\B^2-AC< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow z\left(x;y\right)\) đạt cực tiểu tại \(\left(-11;2\right)\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2a\)

\(AM=BM=CM=\frac{1}{2}BC=a\)\(\Rightarrow\Delta ABM\) đều

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=60^0\Rightarrow\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AM}\right)=180^0-60^0=120^0\)

\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=AB.AM.cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AM}\right)=a.a.cos120^0=-\frac{a^2}{2}\)

\(\left(x+2\right)f\left(x\right)+\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^x\)

\(\Leftrightarrow e^x\left(x+2\right)f\left(x\right)+e^x\left(x+1\right)f'\left(x\right)=e^{2x}\)

\(\Leftrightarrow\left[e^x\left(x+1\right).f\left(x\right)\right]'=e^{2x}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Leftrightarrow e^x\left(x+1\right).f\left(x\right)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\)

Do \(f\left(0\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow e^0\left(0+1\right).f\left(0\right)=\frac{1}{2}e^0+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow e^x\left(x+1\right)f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{e^{2x}}{2e^x\left(x+1\right)}=\frac{e^x}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{e^2}{6}\)

Do \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn nên ta luôn có \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\) và:

\(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(x\right)dx\Rightarrow\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Xét \(I=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\)

Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt;\left\{{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow t=1\\x=1\Rightarrow t=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_1f\left(-t\right).g\left(-t\right)d\left(-t\right)=-\int\limits^{-1}_1f\left(t\right)\left[1-g\left(t\right)\right]dt\)

\(I=\int\limits^1_{-1}f\left(t\right)dt-\int\limits^1_{-1}f\left(t\right).g\left(t\right)dt=\int\limits^1_{-1}f\left(x\right)dx-\int\limits^1_{-1}f\left(x\right).g\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow I=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx-I\Rightarrow2I=2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=12\)

\(f\left[x\right]\) là hàm phần nguyên hay bạn chỉ kí hiệu vậy thôi?

Hàm phần nguyên thì tích phân ẩn hàm này giải mệt đấy (chính xác là mình ko biết suy từ kết quả tích phân giả thiết ra tích phân phần nguyên thế nào, vì cách thức tích phân của 2 hàm này quá khác nhau), còn hàm bình thường thì khá đơn giản

\(I=\int\limits^2_1\frac{ln\left(1+2x\right)}{x^2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(1+2x\right)\\dv=\frac{dx}{x^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{2}{1+2x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\frac{1}{x}.ln\left(1+2x\right)|^2_1+\int\limits^2_1\frac{2dx}{x\left(2x+1\right)}=-\frac{1}{2}ln5+ln3+I_1\)

\(I_1=\int\limits^2_1\frac{4dx}{2x\left(2x+1\right)}=4\int\limits^2_1\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x+1}\right)dx=2ln\left(\frac{2x}{2x+1}\right)|^2_1=2ln2+2ln3-2ln5\)

\(\Rightarrow I=-\frac{5}{2}ln5+3ln3+2ln2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+2\left(b+c\right)=5\)

\(I=\int\left(2e^{2x}+sinx\right)dx=\int e^{2x}d\left(2x\right)+\int sinx.dx=e^{2x}-cosx+C\)

\(I=\int4sinx.cosxdx=\int4sinx.d\left(sinx\right)=2sin^2x+C\)

Ủa đây là bài toán chuyển động bình thường mà, đâu cần phức tạp đến tích phân gì đâu nhỉ?

B đuổi kịp A sau 8s nên A đã đi được 20s, vậy A chuyển động 10s đầu nhanh dần đều và 10s thẳng đều

\(v=at\Rightarrow a=\frac{v}{t}=0,8\left(m/s^2\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}at^2+vt'=\frac{1}{2}.0,8.10^2+10.8=120m\)

Câu 2:

\(I_1=\int\limits^3_1\frac{xf'\left(x\right)}{x+1}dx=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{x}{x+1}\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\frac{xf\left(x\right)}{x+1}|^3_1-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{3.3}{3+1}-\frac{1.3}{1+1}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=0\)

\(\Rightarrow\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}\)

Ta có:

\(I=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)+lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx+\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}+I_2\)

Xét \(I_2=\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{-1}{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_2=\frac{-lnx}{x+1}|^3_1+\int\limits^3_1\frac{dx}{x\left(x+1\right)}=-\frac{1}{4}ln3+\int\limits^1_0\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx\)

\(=-\frac{1}{4}ln3+ln\left(\frac{x}{x+1}\right)|^3_1=-\frac{1}{4}ln3+ln\frac{3}{4}-ln\frac{1}{2}=\frac{3}{4}ln3-ln2\)

\(\Rightarrow I=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}ln3-ln2\)

Câu 1:

\(\int\limits^3_0\left(f'\left(x\right)+1\right)\sqrt{x+1}dx=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\int\limits^3_0\sqrt{x+1}dx\)

\(=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\frac{14}{3}=\frac{302}{15}\Rightarrow\int\limits^1_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx=\frac{232}{15}\)

Xét:

\(I=\int\limits^3_0\frac{f\left(x\right)dx}{\sqrt{x+1}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=2\sqrt{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=2f\left(x\right)\sqrt{x+1}|^3_0-2\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx\)

\(=4f\left(3\right)-2f\left(0\right)-2.\frac{232}{15}\)

\(=2\left(2f\left(3\right)-f\left(0\right)\right)-\frac{464}{15}=36-\frac{464}{15}=\frac{76}{15}\)