Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

\(I=\int e^xcos2xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=cos2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=\dfrac{1}{2}sin2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x-\dfrac{1}{2}\int e^xsin2xdx\)

Xét \(I_1=\int e^xsin2xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^x\\dv=sin2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=e^xdx\\v=-\dfrac{1}{2}cos2x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}\int e^xcos2xdx=-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}I\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}e^xcos2x+\dfrac{1}{2}I\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{4}I=\dfrac{1}{2}e^xsin2x+\dfrac{1}{4}e^xcos2x+C\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{5}e^xsin2x+\dfrac{1}{5}e^xcos2x+C\)

Lời giải:

Đặt \(u=\ln (x+\sqrt{x^2+1}); dv=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

\(\Rightarrow du=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}; v=\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow \int \frac{x\ln (x+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int udv=uv-vdu=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\int dx\)

\(=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-x+C\)

Hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right).e^2\)  hay \(\left(x^2-3x+3\right)e^x\) bạn?

Nếu hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right)e^2\) thì đơn giản là bạn khảo sát như khảo sát hàm \(g\left(x\right)=x^2-3x+3\)

Trước hết ta xét: \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{x+a}=\left(x+a\right)^{-1}\) với a là hằng số bất kì

\(g'\left(x\right)=-1.\left(x+a\right)^{-2}=\left(-1\right)^1.1!.\left(x+a\right)^{-\left(1+1\right)}\) 

\(g''\left(x\right)=-1.\left(-2\right).\left(x+a\right)^{-3}=\left(-1\right)^2.2!.\left(x+a\right)^{-\left(2+1\right)}\)

Từ đó ta dễ dàng tổng quát được:

 \(g^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^n.n!.\left(x+a\right)^{-\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x+a\right)^{n+1}}\)

Xét: \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=-\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x+2}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Áp dụng công thức trên ta được:

\(f^{\left(30\right)}\left(1\right)=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{1^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1+2\right)^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1-2\right)^{31}}\)

Bạn tự rút gọn kết quả nhé

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3}-4x\) hay \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3-4x}\) bạn?

\(I_1=\int\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)^2dx=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+cos^22x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x\right)+C\)

\(I_2=\int\left(\frac{1+cos6x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}sin6x+C\)

\(I_3=\int sin^2x.cos^2x.sinxdx=-\int\left(1-cos^2x\right)cos^2x.d\left(cosx\right)\)

\(=\int\left(cos^4x-cos^2x\right)d\left(cosx\right)=\frac{1}{5}cos^5x-\frac{1}{3}cos^3x+C\)

\(I_4=\int sin^2x.cos^4x.cosxdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)^2d\left(sinx\right)\)

\(=\int\left(sin^6x-2sin^4x+sin^2x\right)d\left(sinx\right)\)

\(=\frac{1}{7}sin^7x-\frac{2}{5}sin^5x+\frac{1}{3}sin^3x+C\)

(với câu kiểu như \(I_3;I_4\) nếu bạn chưa quen tính nguyên hàm trực tiếp theo kiểu đưa hàm vào vi phân thì có thể qua 1 bước phụ đặt \(sinx=t\) khi đó nguyên hàm trở thành \(\int\left(t^6-2t^4+t^2\right)dt=...\) rồi trả biến về x như bình thường)

\(I_5=\frac{1}{5}\int sin^35x.d\left(sin5x\right)=\frac{1}{20}sin^45x+C\)

\(I_6=\frac{1}{4}\int\left(2sin3x.cos3x\right)^2dx=\frac{1}{4}\int sin^26xdx\)

\(=\frac{1}{8}\int\left(1-cos12x\right)dx=\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{12}sin12x\right)+C\)

\(I_7=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{cos^4x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{cos^2x}.\frac{dx}{cos^2x}\)

Đặt \(tanx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{cos^2x}dx=dt\\x=0\Rightarrow t=0\\x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=1\\\frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x=1+t^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_7=\int\limits^1_0\left(1+t^2\right)dt=\left(t+\frac{1}{3}t^3\right)|^1_0=\frac{4}{3}\)

\(I_8=\int\frac{cos^3x}{sin^3x}dx=\int\frac{cos^2x}{sin^3x}.cosxdx=\int\frac{1-sin^2x}{sin^3x}.cosxdx\)

Đặt \(sinx=t\Rightarrow cosx.dx=dt\)

\(I_8=\int\frac{1-t^2}{t^3}dt=\int\left(t^{-3}-\frac{1}{t}\right)dt=-\frac{1}{2t^2}-ln\left|t\right|+C\)

\(=-\frac{1}{2sin^2x}-ln\left|sinx\right|+C\)

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{1}{x^3}\)

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=\frac{1}{x^3}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow-8=-8+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)f\left(x\right)=-\frac{1}{2x^2}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2}dx\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\frac{1}{2x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow2=2+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow m=\int\limits^{16}_1-\frac{1}{\frac{2x}{4}\sqrt{\frac{x}{4}}}dx=-6\)

\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).f'\left(x\right)\right]'=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f\left(x\right).f'\left(x\right)=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{e}\Rightarrow3e=3e+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\int\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}dx=\frac{1}{2}\left(ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx\right)+C\)

Thay \(x=\frac{1}{e}\Rightarrow\frac{9}{2}=C\Rightarrow C=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow f^2\left(x\right)=ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9}\)

\(\Rightarrow m=f\left(e\right)-f\left(\frac{1}{e}\right)=1-3=-2\)

Chỗ lấy nguyên hàm của \(\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\) bạn giải rõ giúp mình được không

Không có cách nào nhanh được cả, chỉ có kiên nhẫn nguyên hàm từng phần thôi bạn

Sẽ tách ra và nguyên hàm từng phần lần lượt từ mũ to đến mũ nhỏ:

\(I=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\int\frac{-2ln^3x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=-2ln^3x\\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{-6ln^2x}{x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{2ln^3x}{x}-\int\frac{6ln^2x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\)

Tiếp tục tính cho bậc 2 cụm \(-\frac{6ln^2x}{x^2}+\frac{3ln^2x}{x^2}=-\frac{3ln^2x}{x^2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=-3ln^2x\\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{6lnx}{x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{3ln^2x}{x}-\int\frac{6lnx}{x^2}\)

Lại gom và tính tiếp phần \(\frac{lnx}{x^2}\) ...

Sau 4 lần tính như vậy sẽ ra kết quả thôi