Chương 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Thầy nghĩ câu này tính d thôi chứ nhỉ?

Để xác định cấp số cộng thỏa mãn điều kiện trên, ta cần sử dụng công thức tổng của cấp số cộng.

Công thức tổng của cấp số cộng là: Sn = (n/2)(a1 + an), trong đó Sn là tổng n số hạng đầu, n là số lượng số hạng, a1 là số hạng đầu tiên và an là số hạng cuối cùng.

Theo yêu cầu của bài toán, tổng n số hạng đầu bằng n+1 lần một nửa số hạng thứ n. Ta có thể viết công thức như sau:

Sn = (n/2)(a1 + an) = (n+1)(an/2)

Giải phương trình trên, ta có:

(n/2)(a1 + an) = (n+1)(an/2)

n(a1 + an) = (n+1)an

n(a1 + an) = nan + an

n(a1 - an) = an

Vì n không bằng 0, ta có a1 - an = 1.

Điều này có nghĩa là hiệu giữa số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng của cấp số cộng là 1.

Ví dụ, nếu số hạng đầu tiên là 1, thì số hạng cuối cùng sẽ là 0. Nếu số hạng đầu tiên là 2, thì số hạng cuối cùng sẽ là 1, và cứ tiếp tục như vậy.

Vậy, cấp số cộng thỏa mãn điều kiện là a1 - an = 1, trong đó a1 là số hạng đầu tiên và an là số hạng cuối cùng.

 Đặt \(v_n=u_n-\dfrac{1}{n}\)

\(u_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(3u_n+\dfrac{n-3}{n^2+n}\right)\rightarrow v_{n+1}=\dfrac{3}{4}v_n\\ \rightarrow v_n=v_1\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}\\ \rightarrow u_n=2\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{n}\\ \rightarrow u_{2021}=\dfrac{4042.3^{2020}+4^{2020}}{4^{2020}.2021}\)

Lời giải:

$A=\frac{2}{3}+\frac{4}{3^2}+\frac{6}{3^3}+...+\frac{2n}{3^n}$

$3A=2+\frac{4}{3}+\frac{6}{3^2}+....+\frac{2n}{3^{n-1}}$

$3A-A=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+....+\frac{2}{3^{n-1}}-\frac{2n}{3^n}$

$2A=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+....+\frac{2}{3^{n-1}}-\frac{2n}{3^n}$

$A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}$

$3A=3+1+\frac{1}{3}+....+\frac{1}{3^{n-2}}-\frac{n}{3^{n-1}}$

$3A-A=3-\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^n}$

$2A=3-\frac{n+1}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^n}$

$2A=\frac{3^{n+1}-2n-3}{3^n}$

$A=\frac{3.3^n-2n-3}{2.3^n}$

$\Rightarrow a=3; b=1; c=2\Rightarrow abc=6$

\(cos^3x+sin^3x=sin2x+sinx+cosx\\ \Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1-\dfrac{sin2x}{2}\right)=sin2x+sinx+cosx\\ \Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}sin2x\left(sinx+cosx+2\right)=0\\ \)

Mà \(sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)>-2\)

\(\Rightarrow sin2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)

Tổng các nghiệm của phương trình trong \(\left[0;2018\pi\right]\) là:

\(S=\dfrac{\left(0+2018\pi\right)\left(\dfrac{2018\pi-0}{\dfrac{\pi}{2}}+1\right)}{2}=4073333\pi\)

\(S=\dfrac{\dfrac{1}{u_1}\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2020}\right]}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2\left(2^{2020}-1\right)}{2^{2020}u_1}\\ P=\left(u_1+u_2+...+u_{2020}\right)+\left(u_2+u_3+...+u_{2021}\right)\\ =\left(1+q\right)\left(u_1+u_2+...+u_{2020}\right)=3u_1\left(2^{2020}-1\right)\\ \rightarrow SP=\dfrac{3\left(2^{2020}-1\right)^2}{2^{2019}}\)

\(u_n=\dfrac{2n-5}{4n-6}\)