Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) được xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2019\\u_n=-\dfrac{2019}{n}.\left(u_1+u_2+u_3+...+u_{n-1}\right)\end{matrix}\right.\), n>1. Tính giá trị của biểu thức: \(A=2.u_1+2^2.u_2+...+2^{2019}.u_{2019}\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) được xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2019\\u_n=-\dfrac{2019}{n}.\left(u_1+u_2+u_3+...+u_{n-1}\right)\end{matrix}\right.\), n>1. Tính giá trị của biểu thức: \(A=2.u_1+2^2.u_2+...+2^{2019}.u_{2019}\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right):\left\{{}\begin{matrix}u_1=3\\u_{n+1}=u_n^2-3u_n+4\end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh rằng \(u_n>2\).
b) Chứng minh \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
c) Tìm số hạng tổng quát của \(\left(u_n\right)\).
Tìm m để hàm số \(y=\sqrt{mx+2m-1}+ln\left(x+5-3m\right)\) xác định trên [-2; +\(\infty\)]
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+2m-1\ge0\\x+5-3m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx\ge-2m+1\\x>3m-5\end{matrix}\right.\)
TH1: \(m=0\) ktm
TH2: \(m< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{-2m+1}{m}\\x>3m-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3m-5< x\le\dfrac{-2m+1}{m}=D\)
\(\Rightarrow D\subset[-2;+\infty)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-2m+1}{m}>3m-5\\3m-5\ge-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow...\)
TH3: \(x>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{-2m+1}{m}\\x>3m-5\end{matrix}\right.\)
Tới đây lại chia làm 2 TH:
\(\dfrac{-2m+1}{m}\ge3m-5>-2\)
Và \(3m-5>\dfrac{-2m+1}{m}\ge-2\)
Bài này làm theo kiểu cơ bản dài quá, khi người ta cho \(x\ge-2\) và biểu thức \(mx+2m-1=m\left(x+2\right)-1\) là đã hướng sẵn đến việc sử dụng đánh giá nhanh \(x+2\ge0\) để làm tắt rồi
Biết độ dài c,b,a các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm công bội
Do 3 cạnh c,b,a của tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta có:
\(c\cdot a=b^2\)
\(\Leftrightarrow c\cdot a=a^2-c^2\)
\(\Leftrightarrow c^2q^2=c^2q^4-c^2\) (q là công bội)
\(\Leftrightarrow q^2=q^4-1\)
\(\Leftrightarrow q^4-q^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q^2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\left(tm\right)\\q^2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}< 0\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\sqrt{5}}}{2}=\dfrac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}\)
Cho dãy số xác định bởi u1 = 1; \(u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(2u_n+\dfrac{n-1}{n^2+3n+2}\right)\). Khi đó \(u_{2030}\) là
\(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{2}{3}\left(u_n-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
Đặt \(u_n-\dfrac{1}{n+1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{2}{3}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là cấp số nhân
\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=v_n+\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+\dfrac{1}{n+1}\)
Dãy số \(u_n=\dfrac{-9n^2+7n-2024}{2n+1}\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên
\(4u_n=\dfrac{4\left(-9n^2+7n-2024\right)}{2n+1}=-18n+23+\dfrac{8119}{2n+1}\)
\(8119=23.353\) có 4 ước số dương nên dãy có 4 số hạng nguyên
\(\left\{{}\begin{matrix}a+c=2b\\ab=c^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2ab=2c^2\Rightarrow a\left(a+c\right)=2c^2\)
\(\Rightarrow2c^2-ac-a^2=0\Rightarrow2c^2-2ac+ac-a^2=0\)
\(\Rightarrow2c\left(c-a\right)+a\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(c-a\right)\left(2c+a\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=a\left(loại\right)\\2c+a=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c=-\dfrac{a}{2}\) \(\Rightarrow a;c\) trái dấu, mà \(a< c\Rightarrow a< 0< c\)
\(b=\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{c^2}{2c}=\dfrac{c}{2}\Rightarrow b\) cùng dấu c \(\Rightarrow b>0\)
Mà b nguyên nên b nhỏ nhất bằng 1, khi đó \(c=2b=2\)
Ta có:
\(u_1+u_2+...+u_{2n}=u_1+u_1q+u_1q^2+...+u_1q^{2n-1}\)
\(=u_1\left(1+q+q^2+...+q^{2n-1}\right)\)
\(=\dfrac{u_1\left(q^{2n}-1\right)}{q-1}\)
Lại có:
\(5\left(u_1+u_3+u_5+...+u_{2n-1}\right)\)
\(=5\left(u_1+u_1q^2+u_1q^4+...+u_1q^{2n-2}\right)\)
\(=5u_1\left(1+q^2+q^4+...+q^{2n-2}\right)\)
\(=\dfrac{5u_1\left(q^{2n}-1\right)}{q^2-1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{u_1\left(q^{2n}-1\right)}{q-1}=\dfrac{5u_1\left(q^{2n}-1\right)}{q^2-1}\)
\(\Rightarrow q+1=5\)
\(\Rightarrow q=4\)
3C
4A
5C
6A
7A
9C
10A
11B
13C
14A
15A
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\) với \(x\in\left(0;+\infty\right)\).
Note: Không sử dụng đạo hàm và các bất đẳng thức nâng cao.
\(\left(x+3\right)^2=x^2+6x+9\le x^2+\left(9x^2+1\right)+9=10\left(x^2+1\right)\)
Suy ra: \(P=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}\le\sqrt{10}\)
Vậy \(MaxP=\sqrt{10}\) (khi \(x=\dfrac{1}{3}\))